Tables des matières

Introduction.  3
I Unités Cyclotomiques.  7
I.1 La formule d’indice de Sinnott.  7
I.2 Quelques informations sur la structure galoisienne.  8
I.3 ℤ_{p}-extensions cyclotomiques.  11
I.4 Normes universelles.  12
II Définitions, premières propriétés.  15
II.1 Conventions et notations.  15
II.2 Propriétés élémentaires.  15
III Une présentation galoisienne de D_{n} (K).  21
III.1 Notations, énoncé du résultat principal.  21
III.2 Préparation.  25
III.3 Les idéaux normiques.  26
III.4 Suites exactes récursives.  28
IV ℤ[G_{0}^{n}]-structure de D_{n} (K), sous les hypothèses A et B. 33
IV.1 Retour sur \frac{L_{n}}{H_{n}}.  34
IV.2 Un autre calcul de rang.  35
IV.3 Preuve du théorème 4.5.  38
V Cohomologie des unités Cyclotomiques.  41
V.1 Quelques rappels sur les groupes de cohomologie.  41
V.2 La méthode de Kim.  43
V.3 Applications cohomologiques du théorème 4.5.  46
Etude des hypothèses A et B .  51

VI.1 Une liste de conditions suffisantes.  51
VI.2 Un contre-exemple avec p = 2.  55
VI.3 Un contre-exemple avec p = 3.  57
VII Les p-unités cyclotomiques de Solomon.  61
VII.1 Construction des p-unités cyclotomiques.  61
VII.2 Caractère et premières propriétés de ces p-unités.  63
VII.3 ℤ_{p}[G_{0}^{n}]-structure de K_{n}(K).  65
Bibliographie.  69

0 Introduction

Cette thèse est consacrée à l’étude de la structure galoisienne du groupe des unités cyclotomiques. Les diverses définitions de ce sous-groupe des unités d’un corps abélien sont apparues au tout début avec les travaux de Kummer dans les corps cyclotomiques, suivis des résultats de Hasse et des définitions de Leopoldt qui généralisent ce groupe à des corps abéliens quelconques. On peut aussi mentionner le groupe des unités de Ramachandra qui est en général strictement contenu dans les unités cyclotomiques telles que définies ici.

Ce n’est que beaucoup plus récemment, au début des années 80, que Sinnott a défini son groupe des unités circulaires, dans les articles [Si 1] et [Si 2]. Aujourd’hui, celui-ci semble faire le consensus. Pour cette raison, on a choisi d’étudier cette version parmi tant d’autres des unités cyclotomiques.

La description effective de la structure galoisienne de ce groupe ne peut se faire que pour les cas des corps abéliens K, dont le conducteur est une puissance d’un seul nombre premier, ou dont le degré sur ℚ est premier. Dans ces cas, ce groupe est monogène sur l’anneau de groupe ℤ[Gal(K/ℚ)], et donc, isomorphe au quotient de cet anneau par l’idéal engendré par la norme de K sur ℚ. Pour des corps plus généraux, la quantité de générateurs nécessaire et le nombre de relations entre ces générateurs augmente considérablement. Cela rend les approches explicites beaucoup plus délicates, voire apparemment insolubles.

Dans le travail qui suit on s’est surtout intéressé à un problème légèrement plus simple. On a cherché à décrire la structure des unités cyclotomiques de certains corps relativement à l’action d’un sous-groupe très particulier du groupe de Galois. En effet, supposons que K soit un corps abélien réel, et soit p un nombre premier non ramifié dans K. On note K_{∞} la ℤ_{p}-extension cyclotomique de K, et K_{n} l’unique sous-corps de K_{∞} qui soit de degré p^{n} sur K. On a étudié la structure des unités cyclotomiques de K_{n}, en tant que ℤ[Gal(K_{n}/K)]-module.

Le premier chapitre contient, en quelque sorte, un état de l’art des connaissances actuelles sur les unités cyclotomiques. On y décrit, sans aucune démonstration, certains résultats antérieurs à cette thèse. Ces résultats ont servi de point de départ à l’étude qui suit. On y expose notamment la définition de Sinnott ainsi que sa formule d’indice. Ensuite on passe à des résultats plus en rapport avec la structure galoisienne. On y rappelle la description des relations galoisiennes, entre les générateurs de Sinnott, due à Solomon. Ce chapitre se termine avec un exposé des résultats de Greither sur les “normes universelles” dans les ℤ_{p}-extensions. Ces résultats ne s’appliquent pas, à proprement parler, aux normes universelles des unités ni à celles des unités cyclotomiques. Par contre, ils montrent que la structure galoisienne des normes universelles est très souvent simple. A partir de cette constatation, on est amené à définir puis à étudier un module D_{n} (K). Celui-ci ne contient que des normes universelles de (p−)unités, et son tensorisé avec ℤ_{p} contient le tensorisé avec ℤ_{p} des normes universelles des unités cyclotomiques.

La définition de ce module, ainsi que la description de son caractère est faite dans le chapitre II de cette thèse. Ce chapitre contient aussi quelques résultats élémentaires sur ce module, comme sa comparaison avec le module des unités cyclotomiques de Sinnott. On y démontre aussi que D_{n} (K) ⊗ ℤ_{p} contient le tensorisé avec ℤ_{p} des unités cyclotomiques.

Le chapitre III est consacré à l’étude des relations entre les générateurs de D_{n} (K). Le principal résultat de ce chapitre, le théorème 3.6, est dans le même style que le théorème 2.2 de [So 2]. Par contre la preuve présentée ici est complètement indépendante de celle de [So 2]. Elle ne s’appuie que de très loin sur le fait que L(1, χ) ≠ 0. En fait on n’utilise que la connaissance des rangs sur ℤ des unités cyclotomiques. On est aussi amené à distinguer deux types de relations galoisiennes. D’une part les relations appartenant au module noté H_{n}, dites relations “horizontales” et qui sont d’une certaine manière indépendantes de l’étage n dans la ℤ_{p}-extension considérée. Ces relations sont des ‘relevés’ des relations existant entre les générateurs des unités cyclotomiques du corps K, et l’action de Gal(K_{n}/K), n’intervient que très peu dans ces relations. La présence de relations d’une autre nature, dites ”verticales”, complique considérablement ce travail. Ces relations formées des éléments du module V_{n} concernent directement l’action de Gal(K_{n}/K). Elles se révèlent être l’obstruction majeure à la liberté du module D_{n} (K), comme cela se voit dans le chapitre IV.

Le chapitre IV contient le résultat central de cette thèse, à savoir le théorème 4.5. On y formule deux hypothèses, l’une de nature globale, l’hypothèse A, l’autre de nature locale, l’hypothèse B. Grâce à ces hypothèses, et en s’appuyant sur la présentation libre du chapitre précédent, on décrit complètement la structure globale, sous l’hypothèse A, locale sous l’hypothèse B, du module D_{n} (K). Comme on pouvait l’espérer, et même si D_{n} (K) n’est pas libre sur ℤ[Gal(K_{n}/K)] ou ℤ_{p}[Gal(K_{n}/K)], sa structure reste très simple. En effet on montre que :

Si K vérifie H. A alors on a :

D_{n} (K) ≃ (ℤ[Gal(K_{n}/K)])^{r} ⊕ (\frac{ℤ[Gal(K_{n}/K)]}{I_{n}})^{t}

Si (K, p) vérifie H. B alors on a :

D_{n} (K) ⊗ ℤ_{p} ≃ (ℤ_{p}[Gal(K_{n}/K)])^{r} ⊕ (\frac{ℤ_{p}[Gal(K_{n}/K)]}{I_{n} ⊗ ℤ_{p}})^{t}

Où on note I_{n} l’idéal de ℤ[Gal(K_{n}/K)] engendré par la norme de K_{n} sur K. Les entiers r et t dépendent de la décomposition en idéaux premiers de p dans K et se déduisent facilement du caractère calculé au chapitre II. On peut remarquer que la présence de facteurs du type ℤ[Gal(K_{n}/K)]/I_{n} n’est due qu’aux éléments de V_{n} (les relations dites “verticales”).

Dans le chapitre V, on décrit, dans certains cas, la cohomologie des unités cyclotomiques par rapport à l’action des groupes de Galois relatifs d’une ℤ_{p}-extension. On utilise deux techniques différentes qui permettent d’atteindre des cas assez dissemblables. La première est entièrement due à Kim et est extraite de l’article [K 1].

On applique simplement cette méthode à des cas un peu plus généraux que celui de l’article [K 1].

L’approche présentée en section V.3, s’appuie, elle, entièrement sur la version locale du théorème 4.5, et permet de traiter des corps K plus généraux car on n’y fait aucune hypothèse sur la divisibilité par p du degré de K sur ℚ. Coïncidence (peut-être signifivative), la version locale de 4.5 entraîne ce que certains auteurs appellent la “descente galoisienne” pour les unités cyclotomiques dans la ℤ_{p}-tour. Et cette propriété, qui n’est pas vérifiée en général, est l’ingrédient principal dans la démarche de Kim.

Dans le chapitre VI, on étudie plus en détail les hypothèses A et B du théorème 4.5. On commence par donner des conditions suffisantes à la validité de ces hypothèses. L’hypothèse B se trouve être vérifiée dans un grand nombres de cas, où la structure galoisienne des unités cyclotomiques semblait hors d’atteinte. En effet ces conditions suffisantes peuvent être réalisées, même sur des corps non cycliques dont le conducteur a un nombre quelconque de diviseurs premiers. De plus une de ces conditions suffisantes s’exprime en terme du groupe des classes de K. Ensuite on vérifie sur deux exemples que la conclusion locale de 4.5 n’est pas toujours vraie. Cela justifie l’utilisation des hypothèses A et B. Le dernier exemple dément en outre la propriété de descente galoisienne dans la ℤ_{p}-tour.

Dans le dernier chapitre, on applique le formalisme des chapitres III et IV au ℤ_{p} module galoisien engendré par les p-unités cyclotomiques définies dans [So 1]. Sous l’hypothèse B, ce groupe se révèle être libre sur l’anneau ℤ_{p}[Gal(K_{n}/K)]. Ici, les preuves se simplifient considérablement grâce à l’absence de relations comparables aux relations verticales. Cette absence explique aussi la liberté de ce module.

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I Unités cyclotomiques

Dans ce chapitre on résume, sans démonstration, des résultats qui ont servi de point de départ à l’étude qui suit. Dans cette thèse, on a choisi la définition de Sinnott des unités cyclotomiques, même si de nombreuses variantes de ce type de sous-groupes des unités coëxistent encore (unités cyclotomiques formelles de Leopoldt [Le], de Greenberg [Gree 2], les groupes définis dans [Gi] et dans [Fr]).

I.1 La formule d’indice de Sinnott.

Soit K un corps de nombres abélien sur ℚ. On notera G_{K} le groupe Gal(K/ℚ), et cond(K) le conducteur de K qui est un entier positif non congru à 2 modulo 4. E(K) désignera le groupe des unités de K, et on notera μ(K) les racines de l’unité contenues dans K. Si l est un nombre premier qui ne se ramifie pas dans K, (\frac{K}{l} ) ∈ G_{K} désignera le Frobenius de l. Pour chaque entier n non nul on note ζ_{n} la racine primitive n^{ieme} de l’unité suivante :

ζ_{n} = exp (\frac{2iπ}{n} )

On peut donc voir K comme un sous-corps de ℚ(ζ_{cond(K)}).

On rappelle tout d’abord la définiton des unités cyclotomiques de Sinnott.

Définition I.1. Soit D(K) le groupe multiplicatif engendré dans K par les entiers de la forme :

N_{K∩ℚ(ζ_{n})}^{ℚ(ζ_{n})}(1 − ζ_{n}^{a}),

Où on fait parcourir à n l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à 3 et, pour chaque n, à a l’ ensemble des entiers non divisibles par n. On appelle groupe des unités cyclotomiques (circulaires chez certains auteurs dont Sinnott lui-même) et on note C(K) le groupe suivant :

C(K) = ({±1}D(K)) ∩ E(K)

C(K) est évidemment un ℤ[G_{K}]-module avec l’action naturelle de G_{K}. Une des propriétés les plus remarquables de ce groupe est qu’il est d’indice fini dans E(K). Dans [Si 1] et [Si 2], Sinnott évalue cet indice sous la forme :

Théorème I.2. Soit K^{+} le sous-corps réel maximal de K et h^{+} le nombre de classes de K^{+}. On a :

(†)  [E(K) : C(K)] = h^{+} Q 2^{a} \frac{1}{[K : ℚ]} ∏_{p^{e}|cond K p^{e+1}∤cond K}[ℚ(ζ_{p^{e}}) ∩ K : ℚ] c_{K}

Où a = [K : ℚ] − 1 lorsque K est réel, a est un entier négatif sinon, p décrit l’ensemble des diviseurs premiers de cond K, et Q = [E(K) : μ(K)E(K^{+})], c’est-à-dire que Q = 1 lorsque K est réel, et vaut 1 ou 2 sinon.

Dans son article [Si 2], Sinnott donne un encadrement de a dans le cas où K est imaginaire et définit précisément la constante c_{K} comme l’indice dans ℤ[G_{K^{+}}] d’un réseau de ℚ[G_{K^{+}}]. Il montre que cet indice, a priori un nombre rationnel, est un entier qui ne peut être divisible que par les (puissances des) nombres premiers divisant [K : ℚ]. Cependant Sinnott n’explicite pas cette constante.

Néanmoins dans certains cas particuliers (qui d’ailleurs avaient été étudiés avant ce résultat) la formule (†) se simplifie considérablement. Par exemple, lorsque K est cyclotomique ou cyclique sur ℚ, la constante c_{K} vaut 1. Et lorsque K est cyclique et totalement réel il est parfois préférable, d’un certain point de vue, de définir un groupe C′(K) vérifiant [E(K) : C′(K)] = h_{K}. Cette construction est par exemple possible lorsque cond K n’est divisible que par les (puissances d’) un seul nombre premier ou lorsque K est cyclique de degré premier sur ℚ, voir [Ha]. Un autre résultat de [Si 2] est que les indices c_{K_{n}} ont le bon goût de rester bornés lorsque que (K_{n})_{n∈ℕ} décrit les étages de degré fini de la ℤ_{p}-extension cyclotomique de K, pour p ≠ 2.

I.2 Quelques informations sur la structure galoisienne.

Si l’on s’intéresse à la ℤ[G_{K}]-structure des modules C(K), une première approche est de décrire les relations entre les générateurs de D(K) donnés dans la définition I.1. L’étude de ces relations remonte à l’article de Bass [Ba] corrigé par Ennola dans [E], où sont considérées les relations multiplicatives en voyant C(K) comme un simple ℤ-module et lorsque K est un corps cyclotomique. Ici on énonce des résultats extraits de [So 2].

Nous commençons par rappeler les relations de Bass entre les entiers suivants :

Lemme I.3. Soit f un entier naturel non congru à 2 modulo 4 et p un nombre premier divisant f. Soit f′ = \frac{f}{p}. Alors si p | f′ et si f′ ≠ 2 on a :

N_{ℚ(ζ_{f′})}^{ℚ(ζ_{f})}(1 − ζ_{f}) = 1 − ζ_{f′}

si p ∤ f′ et si f′ ∉ {1, 2} on a :

N_{ℚ(ζ_{f′})}^{ℚ(ζ_{f})}(1 − ζ_{f}) = (1 − ζ_{f′})^{(1−( \frac{ℚ(ζ_{f′})}{p} )^{−1})}

si f′ ∈ {1, 2} on a (pour p ≠ 2) :

N_{ℚ}^{ℚ(ζ_{p})}(1 − ζ_{p}) = p

et pour p = 2 :

N_{ℚ}^{ℚ(i)}(1 − i) = 2

Ces relations se combinent en divisant f par des puissances de plusieurs nombres premiers, et, par restriction des normes et des Frobenius elles donnent les relations de la formule (††) ci-dessous, entre les générateurs de D(K) . On reprend le formalisme de [So 2] pour expliquer en quoi ces relations sont (presque) les seules. A partir d’ici on suppose que K est totalement réel. Sous cette condition on voit que les générateurs de D(K) sont totalement positifs et qu’ils engendrent un module sans ℤ-torsion. Soient s le nombre de sous-corps de K distincts de ℚ, et P l’ensemble des nombres premiers divisant cond K. Soit Σ un ensemble de symbole de cardinal s + #P. On fixe une bijection σ ↦ [σ], partant de Σ et à valeur dans la réunion disjointe {F, F corps de nombres, F ≠ ℚ, F ⊂ K} ⋃ P. Soit σ ∈ Σ, on note F(σ) = [σ] lorsque [σ] est un corps, et F([σ]) = ℚ sinon. On note G_{σ} = Gal(F(σ)/ℚ). Et on note de plus cond σ = cond[σ] si [σ] est un corps, cond σ = [σ] si [σ] est un nombre premier impair et cond σ = 4, si [σ] = 2. A chaque élément σ de Σ on associe l’entier algébrique :

ϵ_{σ} = N_{F(σ)}^{ℚ(ζ_{cond σ})} (1 − ζ_{cond σ})

Dans [So 2] Solomon utilise la relation d’ordre suivante sur Σ : σ ≺ σ′ si et seulement si F(σ) ⊂ F(σ′) et cond σ | cond σ′. Pour σ ≺ σ′ le lemme I.3 permet d’établir les relations :

(††)  N_{F(σ)}^{F_{(}σ′)}ϵ_{σ′} = ϵ_{σ}^{∏_{p}(1−(\frac{F(σ)}{p})^{−1})}

en faisant varier p parmi les diviseurs premiers de cond σ′ qui ne divisent pas cond σ. Pour toute partie T de Σ, formons la somme directe :

W_{T} = ⨁_{σ∈T} ℤ[G_{σ}]σ

On a évidemment un ℤ[G_{K}]-homomorphisme α_{T} : W_{T} ⟶ D(K), défini par ℤ[G_{K}]-linéarité avec α_{T} (σ) = ϵ_{σ}. De plus, on a {±1}Im (α_{Σ}) ∩ E(K) = C(K). En fait Im (α_{Σ}) ne diffère de D(K) que par le groupe libre engendré par les premiers ne divisant pas cond K. L’étude des relations sur D(K) consiste donc à décrire le noyau de α_{Σ}.

Définition I.4. Soit T une partie de Σ. Appelons U_{T} le ℤ[G_{K}]-sous-module de W_{T} engendré par les éléments de la formes :

R_{σ}^{σ′} = N_{F(σ)}^{F(σ′)} σ′ − ∏_{p|cond σ′ ; p∤cond σ} (1 − (\frac{F(σ)}{p})^{−1}) σ

En faisant varier {σ, σ′} parmi tous les couples contenus dans T tels que σ ≺ σ′

D’après ce qui précède on a U_{T} ⊂ ker α_{T}. Dans [So 2] les théorèmes suivants sont démontrés :

Théorème I.5. Soit G le sous-ensemble de Σ formé des σ tels que F_{σ} soit cyclique sur ℚ (en particulier les σ tels que [σ] soit un nombre premier), on a : ker α_{G} = U_{G}

On peut remarquer que lorsque K est cyclique on a G = Σ. De plus Im α_{G}∩E(K) est toujours d’indice fini dans E(K).

Théorème I.6. Soit T une partie de Σ contenant G. Alors U_{T} est d’indice fini dans ker α_{T} et cet indice n’est divisible que par les (puissances des) nombres premiers divisant [K : ℚ].

Dans l’article [So2] la proposition suivante est démontrée. Soit L un sous-corps de K et α′_{T} les homomorphismes du même type que ce qui précède en remplaçant K par L et soit G(L) la partie de Σ correspondant à la réunion des sous-corps cycliques de L et des premiers divisant cond L. On a :

Proposition I.7.

Im α_{G} ∩ E(L) = Im α′_{G(L)} ∩ E(L) .

En particulier lorsque K est cyclique, on a C(K) ∩ L = C(L), ce qui avait déjà été démontré dans [Grei 1].

Pour les unités cyclotomiques de Sinnott ces propriétés d’intersection (improprement appelées parfois “descente galoisienne”) ont été étudiées dans les articles [Grei 1] et [G K]. L’article [Grei 1] contient un contre-exemple à cette propriété entre deux corps (l’un contenant l’autre, le premier n’étant pas cyclique sur ℚ) dans lesquels tous les premiers ramifiés sont modérément ramifiés. Dans l’article [G K] Gold et Kim démontrent le théorème suivant :

Théorème I.8. Soient a et b, deux entiers non congrus à 2 modulo 4 et tels que a | b. Alors, on a :

C (ℚ (ζ_{b})) ∩ ℚ (ζ_{a}) = C (ℚ (ζ_{a}))

I.3 ℤ_{p}-extensions cyclotomiques.

Rappelons tout d’abord la construction des ℤ_{p}-extensions de ℚ. Soit p un nombre premier et soit q = p si p est impair, q = 4 sinon. Soit L = ⋃_{n∈ℕ} ℚ (ζ_{qp^{n}}). Alors L est un corps abélien sur ℚ et son groupe de Galois est naturellement isomorphe à ℤ_{p}^{×} par l’application d’Artin (les Frobenius). Ainsi L contient un unique sous-corps 𝔹_{∞} tel que :

Gal(𝔹_{∞}/ℚ) ≃ ℤ_{p} ≃ \frac{ℤ_{p}^{×}}{μ (ℚ_{p})}

On appelle 𝔹_{∞} la ℤ_{p}-extension cyclotomique de ℚ, et c’est sa seule ℤ_{p}-extension. Pour tout n ∈ ℕ, le corps 𝔹_{∞} contient un unique sous-corps cyclique de degré p^{n} sur ℚ, que l’on note 𝔹_{n}. ce dernier corps est totalement réel et son conducteur vaut qp^{n} (de telle sorte que p est totalement ramifié dans 𝔹_{n}). Maintenant si K est un corps de nombres ne contenant pas 𝔹_{∞}, on appelle le composé K_{∞} = K 𝔹_{∞} la ℤ_{p}- extension cyclotomique de K. Soit m l’entier tel que 𝔹_{m} = K ∩ 𝔹_{∞}, alors l’unique sous-corps de K_{∞} de degré p^{n} sur K est le composé K_{n} = K 𝔹_{m+n}. Dans cette thèse nous allons essayer de donner le plus d’informations possible sur la structure galoisienne des unités cyclotomiques dans la ℤ_{p}-extension cyclotomique d’un corps abélien K, relativement à l’action des groupes de Galois G_{n}^{l} = Gal (K_{l}/K_{n}). A ma connaissance les seuls autres résultats dans cette direction sont de nature cohomologique et contenus dans [K 1] et [K 2]. On en donne ici un résumé. Soient p un nombre premier distinct de 2 et K = ℚ (ζ_{pd}) pour un entier d tel que p ∤ d φ(d) (où φ est la fonction d’Euler, c’est-à-dire φ(n) = [ℚ (ζ_{n}) : ℚ]). Ici la ℤ_{p}-extension cyclotomique de K est la réunion des corps ℚ (ζ_{p^{n+1}d}) pour n ∈ ℕ. En conséquence le théorème I.8 s’applique et Kim dans [K 1] en déduit le théorème suivant :

Théorème I.9. Soient m > n ≥ 0 deux entiers, soit r le ℤ-rang des unités modulo leur ℤ-torsion du corps de décomposition de p dans K. Notons Ĥ^{i} les deux groupes de cohomologie modifiés à la Tate, on a :

Ĥ^{0}(G_{n}^{m}, C(K_{m})) ≃ (\frac{ℤ}{p^{m−n} ℤ})^{r}

et

Ĥ^{1}(G_{n}^{m}, C(K_{m})) ≃ (\frac{ℤ}{p^{m−n} ℤ})^{r+1}

De plus Kim construit des générateurs explicites du Ĥ^{0} dans [K 1] et du H^{1} dans [K 2]. Les résultats des chapitres qui suivent ont aussi des applications cohomologiques, mais s’appuient sur une démarche différente, qui a été motivée en partie par les résultats de Greither dans [Grei 2] sur les normes universelles. On énonce ces résultats dans le paragraphe suivant (le dernier de ce chapitre de rappels).

I.4 Normes universelles.

Soit p un nombre premier et soit A un foncteur de la catégorie des corps de nombres avec les morphismes d’inclusions, dans celle des ℤ_{p}-modules de type fini. Supposons que A vérifie les conditions suivantes :

P1). Il existe un homorphisme de norme, N_{K}^{L} : A(L) ⟶ A(K) pour toute extension L/K et lorsque L/K est galoisienne, de groupe de Galois G, l’homomorphisme composé :

A(L) ⟶ A(K) ⟶^{A(K⊂L)} A(L)

coïncide avec la multiplication par la norme ∑_{g∈G} g

P2). A vérifie une propriété d’intersection semblable à celle de I.8, à savoir : pour toute extension L/K galoisienne de groupe de Galois G, l’application A(K) ⟶ A(L) est injective d’image A(L)^{G} (on peut la voir comme une inclusion).

Etant donné une ℤ_{p}-extension (pas nécessairement cyclotomique), F_{∞} = ⋃_{n} F_{n} d’un corps de nombres F = F_{0}, avec [F_{n} : F] = p^{n}, en notant A_{∞} la réunion ⋃_{n} A(F_{n}), on suppose en outre que :

P3). Pour n assez grand, le ℤ_{p}-rang de A(F_{n}) peut s’écrire sous la forme sp^{n} + t où les entiers positifs s et t sont indépendants de n.

P4). Les cardinaux des groupes de cohomologie continue H^{1} (G_{n}^{∞}, A_{∞}) sont bornés, et les groupes de cohomologie H^{1} (G_{n}^{∞}, (A_{∞})_{tor}) sont réduits à zéro (en notant ici aussi G_{n}^{m} = Gal(F_{m}/F_{n}), pour m > n, m ∈ {∞} ∪ ℕ.

Alors, on a :

Théorème I.10.

Les modules ⋂_{m≥n} N_{F_{n}}^{F_{m}} (\frac{A(F_{m})}{A(F_{m})_{tor}} ) ⊂ \frac{A(F_{n})}{A_{(}F_{n})_{tor}} (il s’agit des normes universelles associées à A/A_{tor}) sont libres de rang s sur l’anneau ℤ_{p}[G_{0}^{n}]. En conséquence, leur limite projective (par rapport aux applications de norme) est libre de rang s sur l’algèbre d’Iwasawa Λ = lim_{n^{⟵}} ℤ_{p}[G_{0}^{n}] .

Greither donne dans son article divers exemples de foncteurs A satisfaisant ses conditions, en particulier les p-unités tensorisées avec ℤ_{p} vérifient les propriétés 1) à 4). Malheureusement cette démarche ne s’applique pas aux unités tensorisées avec ℤ_{p} elles-mêmes. En fait les propriétés 2 et 3 ne sont pas vérifiées. Greither sauve une partie de son résultat sur les unités en s’appuyant sur la connaissance des punités. En supposant qu’aucune place de F divisant p ne se décompose totalement dans F_{∞}, on a la proposition :

Proposition I.11. Soit g un générateur de G_{0}^{∞}. En posant A(L) = E(L) ⊗ ℤ_{p}, les modules ∩_{m≥n}N_{F_{n}}^{F_{m}} (ker N_{F}^{F_{m}} ∩ (A (F_{m}))) sont isomorphes à (1 − g) (ℤ_{p}[G_{0}^{n}])^{s}, où s est la somme du nombre de places complexes de F avec le nombre de places réelles de F.

Cela laisse supposer une G_{0}^{n} structure assez simple pour les normes universelles des unités. Le théorème 5.8 de [F K N] énonce que si on se place dans la ℤ_{p}-extension cyclotomique d’un corps abélien sur ℚ, sous la conjecture de Greenberg, énoncée dans [Gree 1], ces normes universelles coïncident, avec les normes universelles des unités cyclotomiques d’après le théorème 5.8 de [F K N]. L’idée directrice de cette thèse consiste à introduire un module galoisien (le module D_{n} (K) dans ce qui suit), qui correspondrait à une “globalisation” de ces normes universelles. Et d’étudier par une approche plus explicite que celle de [Grei 2], la G_{0}^{n}-structure de ce module.

14

II Définitions, premières propriétés

Dans ce chapitre on définit le module D_{n} (K), et on établit certaines des propriétés utiles de ce module. Plus précisément, on calcule son caractère (proposition 2.4) et on le compare avec le module des unités circulaires de Sinnott (proposition 2.6 et lemme 2.3).

II.1 Conventions et notations.

Dans toute la suite K est un corps abélien réel, et p un nombre premier rationnel fixé qui ne se ramifie pas dans K. On notera K_{n} le sous-corps de degré p^{n} sur K de la ℤ_{p}-extension cyclotomique de K. Pour m ≥ n ≥ 0 on notera N_{n}^{m} la norme de K_{m} à K_{n}. Si G est un groupe et si M est un ℤ[G]-module on notera χ_{M}^{G} son caractère (i.e. la trace de la représentation linéaire de G donnée par M ⊗ ℚ), et M^{G} le sous-module des G-invariants de M.

Définition 2.1. A un couple (K, n) où K est un corps abélien réel de conducteur non divisible par p et n est un entier naturel, on associe le sous-module de K_{n}^{×}, noté D_{n} (K) et engendré comme ℤ[G_{K_{n}}]-module par les entiers algébriques :

N_{ℚ(ζ_{qp^{n}m})∩K_{n}}^{ℚ(ζ_{qp^{n}m})}(1 − ζ_{qp^{n}m}), m ∈ ℕ, m | cond(K), si n ≠ 0
et par p et N_{ℚ(ζ_{m})∩K}^{ℚ(ζ_{m})}(1 − ζ_{m}), m ∈ ℕ, m > 2, m | cond(K), si n = 0

Remarque 2.2. Ces entiers sont des p-unités si n ≠ 0, égaux à p ou à une cond(K)-unité si n = 0.

II.2 Propriétés élémentaires.

Une bonne façon de décrire ce module D_{n} (K), consiste, comme c’est fait dans le rapport de Gillard, à parler d’unités cyclotomiques nouvelles. En effet le Lemme 2.3 (3) ci-dessous montre que D_{n} (K) décrit les unités cyclotomiques de K_{n} qui ne sont pas dans C(K).

Lemme 2.3. Soit n un entier positif ou nul, on a :

(1) Tout élément de D_{n} (K) est totalement positif.

(2) C(K) = {±1} × (D_{0} (K) ∩ E(K))

(3) Si n ≠ 0, alors C(K_{n}) = C(K) (D_{n} (K) ∩ E(K_{n})).

(4) Si n ≠ 0, alors N_{0}^{n}(D_{n} (K)) = p^{ℤ} × (D_{0} (K))^{1−(\frac{K}{p})} (5) Pour tout n, on a D_{n} (K) ∩ E(K_{n}) = ker N_{ℚ}^{K_{n}} ∩ D_{n} (K)

Démonstration :

(1)

Comme K_{n} est totalement réel et que chaque générateur de D_{n} (K) est une norme depuis un corps totalement imaginaire vers un sous-corps de K_{n}, (1) est vrai pour un système générateur de D_{n} (K) donc pour chaque élément de D_{n} (K).

Dans (2) et (3) l’inclusion du groupe de droite dans le groupe de gauche provient directement des définitions. On vérifie les deux inclusions réciproques.

(2)

Un élément ϵ de C(K) est une unité qui peut s’écrire:

(i)  ϵ = ± ∏_{m} ∏_{m∤a} N_{ℚ(ζ_{m})∩K}^{ℚ(ζ_{m})}(1 − ζ_{m}^{a})^{x(m,a)}

où m, a, x(m, a) sont des entiers, et où les x(m, a) sont presque tous nuls.

Les identités du lemme I.3 et la transitivité de la norme donnent l’existence d’éléments y_{m} de ℤ[G_{K}] et d’entiers s_{m} divisant m qui vérifient :

N_{ℚ(ζ_{m})∩K}^{ℚ(ζ_{m})}(1 − ζ_{m}) = \{ \begin{matrix}N_{ℚ(ζ_{d})∩K}^{ℚ(ζ_{d})}(1 − ζ_{d})^{y_{m}} si pgcd(m, cond(K)) = d et d ≠ 1 \\ s_{m} si pgcd(m, cond(K)) = 1 \end{matrix}

On constate donc que (i) se réécrit:

ϵ = ± ∏_{m|cond(K)} N_{ℚ(ζ_{m})∩K}^{ℚ(ζ_{m})}(1 − ζ_{m})^{x_{m}} s

où s est un nombre rationnel de valuation nulle en tout premier divisant cond(K), et où les x_{m} sont des éléments de ℤ[G_{K}]. De plus si L est un idéal premier de K ne divisant pas cond(K), et si v_{L} désigne sa valuation sur K, on a (voir remarque 2.2):

0 = v_{L}(ϵ) − v_{L} ( ∏_{m|cond(K)} N_{ℚ(ζ_{m})∩K}^{ℚ(ζ_{m})}(1 − ζ_{m})^{x_{m}} ) = v_{L}(s)

ce qui donne s ∈ {±1} puis :

±ϵ = ∏_{m|cond(K)} N_{ℚ(ζ_{m})∩K}^{ℚ(ζ_{m})}(1 − ζ_{m})^{x_{m}} ∈ D_{0} (K) ∩ E(K)

On peut aussi remarquer que le générateur p n’intervient pas ici. □

(3)

Soit ϵ ∈ C(K_{n}). De même que dans la preuve de (2) ϵ peut s’écrire :

(ii)  ϵ = ± ∏_{m|qp^{n} cond(K)} N_{ℚ(ζ_{m})∩K_{n}}^{ℚ(ζ_{m})}(1 − ζ_{m})^{x_{m}}

Pour des x_{m} ∈ ℤ[G_{K_{n}}]. En séparant les indices m divisibles par p de ceux qui divisent cond K et en utilisant les identités (vraies pour n ≥ s ≥ 0 et pour tout f ∈ ℕ, f ≠ 0) :

N_{ℚ(ζ_{qp^{s}f})}^{ℚ(ζ_{qp^{n}f})} (1 − ζ_{qp^{n}f}) = (1 − ζ_{qp^{s}f})

on peut réécrire (ii) comme suit :

ϵ = ± ∏_{m|cond(K)} N_{ℚ(ζ_{m})∩K_{n}}^{ℚ(ζ_{m})}(1 − ζ_{m})^{x_{m}} ∏_{m|cond(K)} N_{ℚ(ζ_{qp^{n}m})∩K_{n}}^{ℚ(ζ_{qp^{n}m})}(1 − ζ_{qp^{n}m})^{y_{m}}

Or d’une part le premier produit est une cond K-unités et d’autre part le second produit est une p-unité. Comme p ∤ cond K et comme ϵ est une unité, les deux produits sont deux unités. Donc le premier produit est un élément de C(K), tandis que le second est un élément de D_{n} (K) ∩ E(K), ce qui prouve (3). □

(4) Pour m | cond K, m ≠ 1, on a :

N_{0}^{n} (N_{K_{n}∩ℚ(ζ_{mqp^{n}})}^{ℚ(ζ_{mqp^{n}})} (1 − ζ_{mqp^{n}})) = N_{K∩ℚ(ζ_{m})}^{ℚ(ζ_{mqp^{n}})} (1 − ζ_{mqp^{n}})
= N_{K∩ℚ(ζ_{m})}^{ℚ(ζ_{m})} (N_{ℚ(ζ_{m})}^{ℚ(ζ_{mqp^{n}})} (1 − ζ_{mqp^{n}}))
= N_{K∩ℚ(ζ_{m})}^{ℚ(ζ_{m})} (1 − ζ_{m})^{(1−(\frac{ℚ(ζm)}{p})^{−1})}
= N_{K∩ℚ(ζ_{m})}^{ℚ(ζ_{m})} (1 − ζ_{m})^{(1−(\frac{K}{p})^{−1})}

D’autre part on a aussi :

N_{0}^{n}N_{K_{n}∩ℚ(ζ_{qp^{n}})}^{ℚ(ζ_{qp^{n}})} (1 − ζ_{qp^{n}}) = N_{ℚ}^{ℚ(ζ_{qp^{n}})} (1 − ζ_{qp^{n}}) = p

On constate donc qu’un système de générateurs de D_{n} (K) s’envoie par N_{0}^{n} sur un système de générateurs du module :

p^{ℤ} × (D_{0} (K))^{(1−(\frac{K}{p})^{−1})} = p^{ℤ} × (D_{0} (K))^{(1−(\frac{K}{p}))}

Ce qui prouve (4). □

(5)

L’inclusion du groupe de gauche dans celui de droite se déduit directement de (1) et l’inclusion réciproque vient de l’identité:

v(ϵ^{#G_{Kn}}) = v(N_{ℚ}^{K_{n}}(ϵ))

qui est vraie pour tout ϵ de D_{n} (K) et toute valuation non archimédienne de v de K_{n}. En effet si m est un entier naturel divisible par au moins deux premiers distincts, 1 − ζ_{m} est une unité. Si par contre m = l^{n} avec l premier, n ≥ 1 si l ≠ 2 et n > 1 sinon, 1 − ζ_{m} est alors un générateur de l’unique idéal premier de ℚ(ζ_{m}) divisant l ( ce dernier étant totalement ramifié dans ℚ(ζ_{m}) ). Dans tous les cas, et pour tout g ∈ G_{K_{n}}, N_{ℚ(ζ_{m})∩K}^{ℚ(ζ_{m})}(1 − ζ_{m})^{g} vérifie notre identité. □

On peut maintenant calculer le caractère de la représentation linéaire de G_{K_{n}} donnée par D_{n} (K) ⊗ ℚ.

Proposition 2.4.

(1) Soient n un entier naturel, n ≠ 0, et K_{dec} = K^{⟨(\frac{K}{p})⟩} le corps de décomposition de p dans K on a:

χ_{D_{n}(K)}^{G_{Kn}} = χ_{ℤ[G_{Kn}]}^{G_{Kn}} − χ_{ℤ[G_{K_{dec}} ]}^{G_{Kn}} + χ_{ℤ}^{G_{Kn}}

(2) Toujours pour n ≠ 0 on a :

χ_{N_{0}^{n}(D_{n}(K))}^{G_{Kn}} = χ_{ℤ[G_{K}]}^{G_{Kn}} − χ_{ℤ[G_{Kdec}]}^{G_{Kn}} + χ_{ℤ}^{G_{Kn}}

(3) Soit P(K) l’ensemble des diviseurs premiers de cond(K) on a:

χ_{D_{0}(K)}^{G_{K}} = χ_{ℤ[G_{K}]}^{G_{K}} + #P(K)χ_{ℤ}^{G_{K}}

Corollaire 2.5. Soient f = [K : K_{dec}] et g = [K_{dec} : ℚ]. Si n ≠ 0 on a:

dim_{ℚ}(D_{n} (K) ⊗_{ℤ} ℚ) = χ_{D_{n}(K)}^{G_{Kn}}(1) = gfp^{n} − g + 1,

dim_{ℚ}(N_{0}^{n}(D_{n} (K)) ⊗_{ℤ} ℚ) = χ_{N_{0}^{n}(D_{n}(K))}^{G_{Kn}}(1) = gf − g + 1

En outre on a:

dim_{ℚ}(D_{0} (K) ⊗_{ℤ} ℚ) = gf + #P(K)

Démonstration de 2.4 (1) : Le théorème de Dirichlet donne pour tout sous-corps F de K_{n}:

(ii)  χ_{E(F)}^{G_{Kn}} = χ_{ℤ[G_{F}]}^{G_{Kn}} − χ_{ℤ}^{G_{Kn}}

Donc 2.4 (1) est une conséquence de l’exactitude des suites suivantes:

1 w(ker N_{0}^{n} ∩ E(K_{n})) ⊗ ℚ wD_{n} (K) ⊗ ℚ w(p^{ℤ} × (ker N_{K_{dec}}^{K} ∩ E(K))) ⊗ ℚ w1
1 w(ker N_{0}^{n} ∩ E(K_{n})) ⊗ ℚ  wE(K_{n}) ⊗ ℚ  w N_{0}^{n} E(K) ⊗ ℚ  w1
1 w(ker N_{K_{dec}}^{K} ∩ E(K)) ⊗ ℚ  wE(K) ⊗ ℚ  w N_{K_{dec}}^{K} E(K_{dec}) ⊗ ℚ  w1

L’exactitude des deux dernières suites est immédiate. Pour obtenir la première suite exacte on part de :

1 wker N_{0}^{n} ∩ D_{n} (K)  wD_{n} (K)  wN_{0}^{n} (D_{n} (K))  w1

Ensuite on utilise le fait que C(K) est d’indice fini dans E(K) dont on tire :

(∗)  Pour tout corps abélien F : C(F) ⊗ ℚ = E(F) ⊗ ℚ

Et par tensorisation avec ℚ on déduit notre suite exacte des identités qui suivent.

(ker N_{K}^{K_{n}} ∩ E(K_{n})) ⊗ ℚ = (ker N_{K}^{K_{n}} ∩ C(K_{n})) ⊗ ℚ d’après (∗)
= (ker N_{K}^{K_{n}} ∩ (C(K)(D_{n} (K) ∩ E(K_{n})))) ⊗ ℚ
d’après 2.3 (3)
= (ker N_{K}^{K_{n}} ∩ E(K_{n}) ∩ D_{n} (K)) ⊗ ℚ
car ∀x ∈ C(K) on a N_{K}^{K_{n}}(x) = x^{p^{n}}
= (ker N_{K}^{K_{n}} ∩ D_{n} (K)) ⊗ ℚ d’après 2.3 (5)

Ce qui donne l’exactitude à gauche de D_{n} (K). D’autre part on a :

N_{K}^{K_{n}}(D_{n} (K)) ⊗ ℚ = (p^{ℤ} × (D_{0} (K))^{1−(\frac{K}{p})}) ⊗ ℚ d’après 2.2 (4)
= (p^{ℤ} × (ker N_{K_{dec}}^{K} ∩ D_{0} (K))) ⊗ ℚ
car H^{1}(⟨(\frac{K}{p} )⟩, D_{0} (K)) est fini
= (p^{ℤ} × (ker N_{K_{dec}}^{K} ∩ C(K))) ⊗ ℚ
d’après 2.3 (2) et (5)
= (p^{ℤ} × (ker N_{K_{dec}}^{K} ∩ E(K))) ⊗ ℚ d’après (∗)

Ce qui donne l’exactitude à droite de D_{n} (K) et conclut cette preuve. □ Démonstration de 2.4 (2) : C’est une conséquence évidente de (1) □ Démonstration de 2.4 (3) : 2.3 (5), 2.3 (2), 1.3 et (∗) donnent la suite:

1  wE(K) ⊗ ℚ  wD_{0} (K) ⊗ ℚ  w N_{ℚ}^{K} (p^{ℤ} × ∏_{l∈P(K)} l^{ℤ}) ⊗ ℚ  w1

ce qui avec (ii) démontre 2.4 (3). □

Proposition 2.6. Le lemme I.3 donne, pour chaque couple d’entiers strictement positifs m et n, les inclusions :

N_{K_{n}}^{K_{m+n}}(D_{m+n} (K) ∩ E(K_{m+n})) ⊂ D_{n} (K) ∩ E(K_{n})

On désigne la limite projective relativement aux applications normiques des modules :

(D_{n} (K) ∩ E(K_{n})) ⊗ ℤ_{p} (resp. C(K_{n}) ⊗ ℤ_{p}) par lim_{⟵} ((D_{n} (K) ∩ E(K_{n})) ⊗ ℤ_{p}) (resp. lim_{⟵} (C(K_{n}) ⊗ ℤ_{p})) On a :

lim_{⟵} ((D_{n} (K) ∩ E(K_{n})) ⊗ ℤ_{p}) = lim_{⟵} (C(K_{n}) ⊗ ℤ_{p})

Démonstration : Le lemme 2.3 (3) et l’exactitude à gauche de lim_{⟵} donnent l’inclusion ⊂. Pour vérifier l’inclusion réciproque on utilise quelques notations supplémentaires. On note E^{1}(K_{n}) les éléments de E(K_{n}) congrus à 1 modulo tout premier divisant p. Pour tout premier 𝔏 de K_{n} on note U_{𝔏}^{1} les unités principales du localisé de K_{n} en 𝔏. Soit ℘_{i}, 1 ≤ i ≤ g les premiers de K qui divisent p et pour tout n soit 𝔓_{i,n} le premier de K_{n} qui divise ℘_{i}. On utilise ici la conjecture de Léopoldt (démontrée dans [Br] pour les corps abéliens) et on identifie E(K_{n}) ⊗ ℤ_{p} = E^{1}(K_{n}) ⊗ ℤ_{p} avec un sous-ℤ_{p}[Gal(K_{n}/K_{dec})]-module du produit ∏_{i} U_{𝔓_{i,n}}^{1}. Soit maintenant (ϵ_{n})_{n} une suite cohérente en norme avec ϵ_{n} ∈ C(K_{n}) ⊗ ℤ_{p}, alors le lemme 2.3 (3) donne l’existence pour tout n ∈ ℕ d’un x_{n} ∈ C(K) ⊗ ℤ_{p} et d’un x′_{n} ∈ (D_{n} (K) ∩ E(K_{n})) ⊗ ℤ_{p} vérifiant : ϵ_{n} = x_{n}x′_{n}. Ici la théorie du corps de classe locale donne pour tout n : N_{K_{dec}}^{K_{n}}(ϵ_{n}) = 1 ⊗ 1. Il suit :

1 ⊗ 1 = N_{K_{dec}}^{K_{n}}(ϵ_{n}) = N_{K_{dec}}^{K_{n}}(x_{n}x′_{n}) = N_{K_{dec}}^{K}(x_{n}^{p^{n}}) d’après 2.3 (4)

Ainsi pour chaque n ∈ ℕ, comme U_{𝔓_{i,n}}^{1} ne contient pas de racines q^{ieme} de l’unité, on a N_{K_{dec}}^{K}(x_{n}) ∈ {±1 ⊗ 1}.

En outre C(K)^{1−(\frac{K}{p})} est d’indice fini dans ker N_{K_{dec}}^{K} ∩ C(K), donc le lemme 2.3 (2) assure l’existence d’un entier m, indépendant de n, tel que :

x_{n}^{p^{m}} ∈ D_{0} (K)^{1−(\frac{K}{p})} ⊗ ℤ_{p}

Pour un n dorénavant fixé on a ici :

ϵ_{n} = N_{K_{n}}^{K_{m+n}}(x_{m+n}x′_{m+n}) = x_{m+n}^{p^{m}}N_{K_{n}}^{K_{m+n}}(x′_{m+n}) ∈ (D_{n} (K) ∩ E(K_{n})) ⊗ ℤ_{p}

En effet l’inclusion D_{0} (K)^{1−(\frac{K}{p})} ⊂ D_{n} (K) a déjà été prouvée en 2.3 (4) tandis que D_{0} (K)^{1−(\frac{K}{p})} ⊂ E(K) est une conséquence de 2.3 (5). □

III Une présentation galoisienne de D_{n} (K)

III.1 Notations, énoncé du résultat principal.

A partir d’ici, on désigne par P = P(K) l’ensemble des nombres premiers divisant cond(K) Pour l ∈ P on notera l^{e_{l}} l’exacte puissance de l qui divise cond(K).

Pour deux entiers naturels, m ≥ n, on désigne par G_{n}^{m} le groupe Gal(𝔹_{m}/𝔹_{n}) qui s’identifie avec Gal(K_{m}/K_{n}). C’est un groupe cyclique d’ordre p^{m−n}. On notera N_{n}^{m} ∈ ℤ[G_{n}^{m}] l’élément : N_{n}^{m} = ∑_{g∈G_{n}^{m}} g.

Si G est un groupe abélien, on notera Ĝ l’ensemble de ses caractères irréductibles sur ℂ, que l’on identifie avec le groupe des homomorphismes de G dans ℂ^{×}. Si n ∈ ℕ et si L est un sous-corps de K_{n} on identifiera Ĝ_{L} avec le sous-groupe de Ĝ_{K_{n}} constitué des χ ∈ Ĝ_{K_{n}} dont le noyau contient Gal(K_{n}/L). Si χ ∈ Ĝ, on notera

e_{χ} = \frac{1}{#G} ∑_{g∈G} χ(g^{−1})g, l’idempotent de ℂ[G] associé à χ. Dans toute la suite on notera additivement la multiplication dans ℂ^{×}.

Définition 3.1 (et notation). A un couple (J, n) où J ⊂ P et n ∈ ℕ, on associe les objets :

(1)  \{ \begin{matrix}d_{J} & = ∏_{l∈J} l^{e_{l}}; \\ ξ_{n} (J) & = ζ_{qp^{n}d_{J}} si n ≠ 0; \\ ξ_{0} (J) & = ζ_{d_{J}} \end{matrix}

(2)  \{ \begin{matrix}K_{n} (J) & =^{def.} K_{n} ∩ ℚ(ξ_{n} (J)) = (K ∩ ℚ(ξ_{0} (J)))_{n} \\ K(J) & =^{def.} K_{0} (J) \\ G(J) & =^{def.} G_{K(J)} \\ K_{dec}(J) & =^{def.} K_{dec} ∩ K(J) = (K(J))_{dec} \end{matrix}

(3)  \{ \begin{matrix}ϵ_{n} (J) & = N_{K_{n}(J)}^{ℚ(ξ_{n}(J))}(1 − ξ_{n} (J)) si n ≠ 0 ou J ≠ ∅ \\ ϵ_{0} (∅) & = p \end{matrix}

Remarque 3.2. Il est bien connu que pour I et J contenus dans P et tout n ∈ ℕ on a :

ℚ(ξ_{n} (J)) ∩ ℚ(ξ_{n} (I)) = ℚ(ξ_{n} (I ∩ J))

Il suit directement :

K_{n} (J) ∩ K_{n} (I) = K_{n} (I ∩ J) et K_{dec}(J) ∩ K_{dec}(I) = K_{dec}(I ∩ J)

Remarque 3.3. On voit immédiatement que ϵ_{n} (J) ∈ D_{n} (K(J)) + ℚ^{×}. On montrera plus tard que {ϵ_{n} (I) ; I ⊂ J} est un système ℤ[G_{K_{n}}]-générateur de D_{n} (K(J)) si n ≠ 0 ou de

D_{0} (K(J)) ⊕ ⨁_{{l∈J \atop l∤cond(K(J))}} ℤ l sinon .

Pour la suite, on aura besoin d’une relation d’ordre sur l’ensemble des sousensembles de P. Celle-ci doit être totale et prolonger l’inclusion. On choisit la relation d’ordre correspondant à l’ordre archimédien sur les d_{J} (qui est totale et prolonge la divisibilité).

Plus formellement on pose :

Définition 3.4. I ≺ J ⟺ d_{I} ≤ d_{J}

Jusqu’à la fin de ce chapitre, tous les homomorphismes utilisés seront des homomorphismes de ℤ[G_{K_{n}}]-modules et on identifie ce dernier anneau avec ℤ[G_{K}] ⊗_{ℤ} ℤ[G_{0}^{n}]. Si M est un ℤ[G_{K_{n}}]-module et F une partie non vide de M, on notera ⟨F ⟩_{M} ou ⟨F ⟩, s’il n’y a pas d’ambiguïté possible, le sous-module de M engendré sur ℤ[G_{K_{n}}] par les éléments de F. On définit maintenant les objets nécessaires à l’énoncé du résultat principal de ce chapitre.

Définition 3.5. Soient J ⊂ P et n ∈ ℕ

(1) Soit l ∈ J, on notera N_{l}^{J} ∈ ℤ[G(J)] l’élément :

N_{l}^{J} = ∑_{g∈Gal(K(J)/K(J−{l}))} g

(2) Soit (w_{n} (I))_{I⊂P} un ensemble de symboles en bijection avec les sous-ensembles de P, on forme la somme :

L_{n} (J) = ⨁_{{I⊂P \atop I≺J}}(ℤ[G (I)] ⊗ ℤ[G_{0}^{n}])w_{n} (I)

et pour J′ ≺ J on considère L_{n} (J′) comme un sous-ℤ[G_{K}]⊗ℤ[G_{0}^{n}]-module (facteur direct) de L_{n} (J)

(3) Soit l ∈ J on définit R_{n} (J, l) ∈ L_{n} (J) par :

R_{n} (J, l) =0 si n = 0 et J = {l}
R_{n} (J, l) =(N_{l}^{J} ⊗ 1)w_{n} (J) − w_{n} (J − {l})
+ ((\frac{K(J − \{l\})}{l})^{−1} ⊗ (\frac{𝔹_{n}}{l} )^{−1}) w_{n} (J − \{l\})

sinon (4) On définit v_{n} (J) ∈ ℤ[G (J)] ⊗ ℤ[G_{0}^{n}] par :

v_{0} (J) = 0; v_{n} (∅) = 0; v_{n} (J) = N_{K_{dec}(J)}^{K(J)} ⊗ N_{0}^{n} si n ≠ 0 et J ≠ ∅

(5) On désignera par H_{n} (J) le sous-ℤ[G_{K}] ⊗ ℤ[G_{0}^{n}]-module de L_{n} (J) engendré par les R_{n} (I, l) suivants :

H_{n} (J) = ⟨{R_{n} (I, l) : I ⊂ P, I ≺ J, l ∈ I}⟩

(6) On désignera par V_{n} (J) le sous-ℤ[G_{K}] ⊗ ℤ[G_{0}^{n}]-module de L_{n} (J) engendré par les éléments suivants :

V_{n} (J) = ⟨{v_{n} (I) w_{n} (I) : I ⊂ P, I ≺ J}⟩

Le résultat principal de ce chapitre est :

Théorème 3.6. Soit J ⊂ P, soit n ∈ ℕ et soit

α_{n} (J) : L_{n} (J) ⟶ D_{n} (K)

définie par ℤ[G_{K}] ⊗ ℤ[G_{0}^{n}]-linéarité avec ∀I ≺ J w_{n} (I) ⟼ ϵ_{n} (I) . Pour tout I ⊂ P, l’action de G_{K} sur ϵ_{n} (I) se factorise par G(I). Donc α_{n} (J)

est bien défini, et on a :

D_{n} (K(J)) ⊂ Im α_{n} (J) , et (H_{n} (J) + V_{n} (J)) ⊂ ker α_{n} (J) ,

De plus il existe un entier non nul z_{J} tel que :

z_{J} ker α_{n} (J) ⊂ (H_{n} (J) + V_{n} (J))

Remarque 3.7. Dans le chapitre V, on introduira l’hypothèse H.B portant sur K et un nombre premier. Pour n = 0, on peut choisir les z_{J} étrangers à tout premier satisfaisant cette hypothèse avec K. En particulier, il suivra de l’étude faite dans le chapitre VI, que l’on peut supposer que les z_{J} ne sont divisibles que par les (puissances des) nombres premiers divisant [K : ℚ], au moins pour n = 0.

La vérification de cette dernière remarque se fera aussitôt après que l’on aura énoncé l’hypothèse B, en début du chapitre V. Démonstration de 3.6 : On réduit ici la preuve de 3.6 à un calcul de rang que l’on fait en fin de chapitre. Les deux inclusions sont des conséquences des lemmes 3.9 et 3.10 qui suivent. On se préoccupe ici de trouver des z_{J} convenables. On utilise ≺ pour faire une récurrence sur les sous-ensembles de P. Si J = ∅ alors 3.6 suit directement des identités H_{n} (∅) = V_{n} (∅) = {0} qui se traduisent par :

\frac{L_{n} (∅)}{H_{n} (∅) + V_{n} (∅)} = ℤ[G_{0}^{n}]w_{n} (∅)

Comme on a D_{n} (ℚ) = ⟨{ϵ_{n} (∅)}⟩_{K_{n}^{×}}, La connaissance du caractère de D_{n} (ℚ) (proposition 2.4) donne que ce dernier est libre sur ℤ[G_{0}^{n}] engendré par ϵ_{n} (∅). D’où l’isomorphisme :

\frac{L_{n} (∅)}{H_{n} (∅) + V_{n} (∅)} ≃ D_{n} (ℚ)

Soit I ⊂ P, avec I ≠ ∅. On suppose que 3.6 est vrai pour J = I′, le précédent immédiat de I. On note M le module suivant :

M = \{ \begin{matrix}\frac{ℤ[G (I)] ⊗ ℤ[G_{0}^{n}]}{N(I) ⊗ ℤ[G_{0}^{n}] + ⟨\{v_{n} (I)\}⟩} si n ≠ 0 ou #I > 1 \\ ℤ[G(I)] si n = 0 et #I = 1 \end{matrix}

et on note β_{n} (I) l’homomorphisme :

\begin{matrix}β_{n} (I) : M ⟶ & X_{n} (I) \\ x ⟼ & xϵ_{n} (I) \end{matrix}

β_{n} (I) est bien défini d’après 3.10 (2) et parce que v_{n} (I) ϵ_{n} (I) = 0 en vertu de 1.3. De plus β_{n} (I) est clairement surjectif. On note M_{1} (resp M_{2}) le module ⟨{ϵ_{n} (I′′) : I′′ ⊂ P, I′′ ≺ I′}⟩ (resp. ⟨{ϵ_{n} (I′′) : I′′ ⊂ P, I′′ ≺ I}⟩) et soit X_{n} (I) le quotient M_{2}/M_{1}, on considère le diagramme suivant :

\frac{L_{n} (I′)}{H_{n} (I′) + V_{n} (I′)}  w u_{ᾱ_{n} (I′)} \frac{L_{n} (I)}{H_{n} (I) + V_{n} (I)}  w^{π̄_{n} (I)} u_{ᾱ_{n} (I)} Mu β_{n} (I) w 1

1 w M_{1} w M_{2} w X_{n} (I) w 1

Les homomorphismes de la deuxième ligne sont évidemment bien définis et la suite est clairement exacte. Les applications verticales sont bien définies en factorisant les α_{n}. Soit π_{n} (I) : L_{n} (I) ⟼ ℤ[G (I)] ⊗ ℤ[G_{0}^{n}], la projection naturelle (de noyau L_{n} (I′)) qui envoie H_{n} (I) + V_{n} (I) surjectivement dans N(I) ⊗ ℤ[G_{0}^{n}] + v_{n} (I) si n ≠ 0 ou #I ≥ 2 (resp. dans {0} si n = 0 et #I = 1). En passant aux quotients on obtient la première ligne (exacte), et le diagramme commute clairement. Le lemme du serpent donne la suite :

\frac{ker α_{n} (I′)}{H_{n} (I′) + V_{n} (I′)}  w \frac{ker α_{n} (I)}{H_{n} (I) + V_{n} (I)}  w ker β_{n} (I) w 1

dont le premier terme est fini par récurrence. Pour conclure cette preuve il suffit de montrer que les rangs sur ℤ de M et de X_{n}(I) coïncident, ce qui entraîne la finitude de ker β_{n} (I) et donc de ker ᾱ_{n} (I). Pour vérifier cette égalité on est amené à introduire d’autres définitions.

III.2 Préparation.

Définition 3.8. Soit J ⊂ P

(1) On notera g_{J} l’entier : g_{J} = [K_{dec}(J) : ℚ]

(2) On notera f_{J} l’entier : f_{J} = [K(J) : K_{dec}(J)]

(3) Si n ≠ 0 on notera f_{n}(J) l’entier : f_{n}(J) = g_{J}f_{J}p^{n} − g_{J}

(4) On appellera idéal normique associé à J, et on notera N(J), le sous-module de ℤ[G(J)] engendré par tous les N_{l}^{J}, en faisant parcourir J à l.

(5) On désignera par X_{n} (J) le module quotient :

X_{n} (J) = \frac{⟨\{ϵ_{n} (J)\}⟩_{K_{n}^{×}}}{⟨\{ϵ_{n} (I) : I ⊂ P, I ≺ J, I ≠ J\}⟩_{K_{n}^{×}} ∩ ⟨\{ϵ_{n} (J)\}⟩_{K_{n}^{×}}}

(6) Si I ⊂ J ⊂ P on désignera par X_{n} (I, J) le module quotient :

X_{n} (I, J) = \frac{⟨\{ϵ_{n} (I)\}⟩_{K_{n}^{×}}}{⟨\{ϵ_{n} (L) : L ⊂ J, L ≺ I, L ≠ I\}⟩_{K_{n}^{×}} ∩ ⟨\{ϵ_{n} (I)\}⟩_{K_{n}^{×}}}

(7) Si A est un anneau intègre de corps des fractions Fr (A) et si M est un A-module on abrègera dim_{Fr (A)} (M ⊗ Fr (A)) en rang_{A} M, et lorsque A = ℤ on le notera plus simplement rang M

A partir d’ici et jusqu’à la fin de la preuve de 3.6 on fixe un n ∈ ℕ.

Lemme 3.9. Soit J ⊂ P

(1) Si n ≠ 0 alors {ϵ_{n} (I) : I ⊂ J} est un système générateur de D_{n} (K(J))

(2) {ϵ_{0} (I) : I ⊂ J} est un système générateur de :

D_{0} (K(J)) ⊕ ⨁_{{l∈J \atop l∤cond(K(J))}} ℤ l

Démonstration : Pour I ⊂ J, on voit facilement que ϵ_{n} (I) ∈ D_{n} (K(J)), dès que K_{n}(I) ≠ ℚ. On a aussi l ∈ D_{0} (K(J)) dès que l | cond(K(J)). Cela donne une inclusion. On vérifie l’inclusion réciproque de (1). Soit m | cond(K(J)), il suffit de voir que :

N_{ℚ(ζ_{qp^{n}m})∩K_{n}(J)}^{ℚ(ζ_{qp^{n}m})}(1 − ζ_{qp^{n}m}) ∈ ⟨{ϵ_{n} (I) : I ⊂ J}⟩

Soit I l’ensemble des diviseurs premiers de m, on a clairement I ⊂ J et aussi

ℚ(ζ_{qp^{n}m}) ⊂ ℚ(ξ_{n} (I))

Ici le lemme I.3 donne :

N_{ℚ(ζ_{qp^{n}m})∩K_{n}(J)}^{ℚ(ζ_{qp^{n}m})}(1 − ζ_{qp^{n}m}) = N_{ℚ(ζ_{qp^{n}m})∩K_{n}(J)}^{ℚ(ξ_{n}(I))}(1 − ξ_{n} (I))
= N_{ℚ(ζ_{qp^{n}m})∩K_{n}(J)}^{K_{n}(I)}(ϵ_{n} (I))
∈ ⟨{ϵ_{n} (I) : I ⊂ J}⟩

Ce qui prouve (1). Un raisonnement semblable donne (2). □

Lemme 3.10. Soient I et J deux sous-ensembles de P, on a :

(1) (H_{n} (J) + V_{n} (J)) ⊂ ker α_{n} (J).

(2) Si n ≠ 0 ou I ∩ J ≠ ∅ alors N_{K_{n}(I)}^{K_{n}}(ϵ_{n} (J)) ∈ ⟨{ϵ_{n} (I ∩ J)}⟩. Si de plus I ⊂ J,

alors on a N_{K_{n}(I)}^{K_{n}(J)}(ϵ_{n} (J)) ∈ ⟨{ϵ_{n} (I)}⟩.

(3) Si I ∩ J = ∅ alors N_{K(I)}^{K}(ϵ_{0} (J)) ∈ ⟨J⟩.

Démonstration : C’est une conséquence immédiate des formules du lemme I.3, de la transitivité de la norme, et de la remarque 3.2. □

Lemme 3.11. Soient I et J deux sous-ensembles de P, avec I ⊂ J, on a rang(X_{n} (I, J)) = rang(X_{n} (I))

Démonstration : Comme on a :

(⟨{ϵ_{n} (I′) : I′ ⊂ J, I′ ≺ I, I′ ≠ I}⟩) ⊂ (⟨{ϵ_{n} (I′) : I′ ⊂ P, I′ ≺ I, I′ ≠ I}⟩)

l’inégalité rang(X_{n} (I, J)) ≥ rang(X_{n} (I)) est évidente. Réciproquement, on a :

(⟨{ϵ_{n} (I′) : I′ ⊂ P, I′ ≺ I, I′ ≠ I}⟩ ∩ ⟨{ϵ_{n} (I)}⟩) ⊗ ℂ
= [K_{n} : K_{n} (I)](⟨{ϵ_{n} (I′) : I′ ⊂ P, I′ ≺ I, I′ ≠ I}⟩ ∩ ⟨{ϵ_{n} (I)}⟩) ⊗ ℂ
= N_{K_{n}(I)}^{K_{n}}(⟨{ϵ_{n} (I′) : I′ ⊂ P, I′ ≺ I, I′ ≠ I}⟩ ∩ ⟨{ϵ_{n} (I)}⟩) ⊗ ℂ
⊂ (⟨{ϵ_{n} (I′) : I′ ⊂ I, I′ ≠ I}⟩ ∩ ⟨{ϵ_{n} (I)}⟩) ⊗ ℂ d’après 3.10 (2)
⊂ (⟨{ϵ_{n} (I′) : I′ ⊂ J, I′ ≺ I, I′ ≠ I}⟩ ∩ ⟨{ϵ_{n} (I)}⟩) ⊗ ℂ
car I ⊂ J et ≺ prolonge ⊂ .

□

III.3 Les idéaux normiques.

Proposition 3.12. Soit J ⊂ P tel que J ≠ ∅. On a :

(1) rang N(J) = ∑_{{I⊂J \atop I≠J}}(−1)^{#J−#I+1}g_{I}f_{I}

(2) Si n ≠ 0 alors :

∀J ⊂ P : rang (\frac{ℤ[G (J)] ⊗ ℤ[G_{0}^{n}]}{(N(J) ⊗ ℤ[G_{0}^{n}]) + ⟨\{v_{n} (J)\}⟩}) = ∑_{I⊂J}(−1)^{#J−#I}f_{n}(I)

Démonstration de (1) : On laisse le soin au lecteur de vérifier la formule (principe d’inclusion-exclusion) :

(†)  # ⋃_{s=1}^{s=t} A_{s} = ∑_{{M⊂\{1,...,s\} \atop M≠∅}}(−1)^{#M+1}# ⋂_{s∈M} A_{s}

qui est vraie pour toute famille A_{1}, ..., A_{t} d’ensembles contenus dans un même ensemble fini (c’est un exercice sur les ensembles finis qui peut se faire par récurrence sur t). On a :

rang N(J) = #{χ ∈ Ĝ(J) : ∃l ∈ J avec e_{χ}N_{l}^{J} ≠ 0}

= #{χ ∈ Ĝ(J) : ∃l ∈ J avec Gal(K(J)/K(J − {l})) ⊂ ker χ}

= # ⋃_{l∈J} Ĝ(J − {l})

= ∑_{{L⊂J \atop L≠∅}}(−1)^{#L+1}#Ĝ(J − L)

en utilisant la remarque 3.2 et le principe d’inclusion-exclusion (†). En posant I = J − L on en déduit :

rang N(J) = ∑_{{I⊂J \atop I≠J}}(−1)^{#J−#I+1}g_{I}f_{I} comme attendu. □

Démonstration de (2) : On a naturellement :

rang ((N(J) ⊗ ℤ[G_{0}^{n}]) + ⟨{v_{n} (J)}⟩) = rang(N(J) ⊗ ℤ[G_{0}^{n}]) + rang⟨{v_{n} (J)}⟩
− rang ((N(J) ⊗ ℤ[G_{0}^{n}]) ∩ ⟨{v_{n} (J)}⟩)

Or on a :

rang ((N(J) ⊗ ℤ[G_{0}^{n}]) ∩ ⟨{v_{n} (J)}⟩)
= rang (⟨{N_{K_{dec}(J)}^{K(J)}N_{l}^{J} ⊗ N_{0}^{n} : l ∈ J}⟩)
car (v_{n} (J))^{2} ∈ ℚv_{n} (J)
=#{χ ∈ Ĝ(J) : ∃l ∈ J avec Gal(K(J)/K_{dec}(J − {l})) ⊂ ker χ}
=# ⋃_{l∈J} Ĝ_{K_{dec}(J−{l})}
= ∑_{{I⊂J \atop I≠J}}(−1)^{#J−#I+1}g_{I}

en utilisant à nouveau le principe d’inclusion-exclusion (†) et 3.2

Et comme rang⟨{v_{n} (J)}⟩ = g_{J}, cette dernière identité et (1) montrent (2). □

III.4 Suites exactes récursives.

Proposition 3.13. Soit J ⊂ P, si n ≠ 0 alors on a :

(1) rang (⟨\{ϵ_{n} (I) : I ⊂ J, I ≠ J\}⟩) = \{ \begin{matrix}0 si J = ∅ \\ 1 + ∑_{{I⊂J \atop I≠J}}(−1)^{#J−#I+1}f_{n}(I) sinon \end{matrix}

(2)  rang(X_{n} (J)) = \{ \begin{matrix}p^{n} si J = ∅ \\ ∑_{I⊂J}(−1)^{#J−#I}f_{n}(I) sinon \end{matrix}

Proposition 3.14. Soit J ⊂ P, on a :

(1) rang (⟨\{ϵ_{0} (I) : I ⊂ J, I ≠ J\}⟩) = #J + ∑_{{I⊂J \atop I≠J}}(−1)^{#J−#I+1}g_{I}f_{I} si #J ≥ 2

(2)  rang(X_{0} (J)) = ∑_{I⊂J}(−1)^{#J−#I}g_{I}f_{I} si #J ≥ 2

(3) pour #J < 2 : rang(p^{ℤ}) = 1 et rang(X_{0} (J)) = g_{J}f_{J} = 1 + ∑_{I⊂J}(−1)^{#J−#I}g_{I}f_{I}

Démonstration de 3.13 : Le lemme 3.9 donne un isomorphisme :

X_{n} (J, J) ≅ \frac{D_{n} (K(J))}{⟨\{ϵ_{n} (I) : I ⊂ J, I ≠ J\}⟩}

et avec le lemme 3.11 et le corollaire 2.5 qui se traduit ici par : rang D_{n} (K(J)) = 1 + f_{n}(J), on en déduit l’équivalence entre (1) et (2). On vérifie (1) par récurrence sur #J. Si J = ∅ alors (1) est évident. On suppose (1) (et donc (2)) vrai pour tout J ⊂ P tel que #J ≤ s et soit J_{0} ⊂ P de cardinal s + 1. On note l l’élément de J_{0} tel que {l} soit le plus petit élément des sous-ensembles de J_{0} relativement à ≺. D’après la définition de X_{n} (I, J) on peut associer à chaque sous-ensemble I non vide de J_{0} (ou encore à chaque générateur de D_{n} (K(J_{0})) hormis ϵ_{n} (∅)) la suite exacte S_{n}(I) suivante :

1 w ⟨{ϵ_{n} (L) : L ⊂ J_{0}, L ≺ I, L ≠ I}⟩ w ⟨{ϵ_{n} (L) : L ⊂ J_{0}, L ≺ I}⟩ w X_{n} (I, J_{0}) w 1

On peut remarquer que S_{n}({l}) se lit :

1 w ⟨{ϵ_{n} (∅)}⟩ w ⟨{ϵ_{n} ({l}) , ϵ_{n} (∅)}⟩ w X_{n} ({l}, J_{0}) w 1

Les suites ci-dessus nous donnent les identités (vraies pour tout I strictement supérieur à {l} et strictement contenu dans J_{0}):

rang (⟨{ϵ_{n} (L) : L ⊂ J_{0}, L ≺ I}⟩) = rang (⟨{ϵ_{n} (L) : L ⊂ J_{0}, L ≺ I, L ≠ I}⟩)
+ rang (X_{n} (I, J_{0}))

Donc le lemme 3.11 nous donne les identités:

rang (⟨{ϵ_{n} (L) : L ⊂ J_{0}, L ≺ I}⟩) = rang (⟨{ϵ_{n} (L) : L ⊂ J_{0}, L ≺ I, L ≠ I}⟩)
+ rang (X_{n} (I))

En regroupant toutes ces égalités on obtient:

rang(⟨{ϵ_{n} (I) : I ⊂ J_{0}, I ≠ J_{0}}⟩)

= rang (⟨\{ϵ_{n} (∅) , ϵ_{n} (\{l\})\}⟩) + ∑_{{I⊂J_{0}, I≠∅ \atop I≠J_{0}, I≠\{l\}}} rang (X_{n} (I))

= p^{n} + rang X_{n} (\{l\}) + ∑_{{I⊂J_{0}, I≠∅ \atop I≠J_{0}, I≠\{l\}}} rang (X_{n} (I))

= p^{n} + ∑_{{I⊂J_{0} \atop I≠J_{0}, I≠∅}} rang(X_{n} (I))

= 1 + f_{n}(∅) + ∑_{{I⊂J_{0} \atop I≠J_{0}, I≠∅}} ∑_{L⊂I}(−1)^{#I−#L}f_{n}(L)

par récurrence

= 1 + ∑_{{I⊂J_{0} \atop I≠J_{0}}} ∑_{L⊂I}(−1)^{#I−#L}f_{n}(L)

= 1 + ∑_{{I⊂J_{0} \atop I≠J_{0}}}(−1)^{#J_{0}−#I+1}f_{n}(I)

La dernière égalité s’obtient avec le lemme 3.15 ci-dessous, et prouve (1) pour J = J_{0} . □

Lemme 3.15. Soit s ∈ ℕ et soit ℝ^{ℙ({1,...,s})}, l’ensemble de toutes les applications de ℙ({1, ..., s}) dans ℝ. On définit une application ϕ ↦ T_{ϕ} de ℝ^{ℙ({1,...,s})} dans lui-même par :

T_{ϕ}(J) = ∑_{{I⊂J \atop I≠J}} ∑_{L⊂I}(−1)^{#I−#L}ϕ(L). Alors on a : T_{ϕ}(J) = ∑_{{I⊂J \atop I≠J}}(−1)^{#J−#I+1}ϕ(I)

Démonstration de 3.15 : L’identité ∑_{I′⊂I}(−1)^{#I′} = 0 est vraie pour tout ensemble I fini. En effet, ce dernier contient nécessairement autant de sous-ensembles de cardinaux pairs que de sous-ensembles de cardinaux impairs. On voit alors que l’on a :

(−1)^{#I+1} = ∑_{{I′⊂I \atop I′≠I}}(−1)^{#I′}

Et on en tire :

\begin{aligned}T_{ϕ}(J) & = ∑_{{I⊂J \atop I≠J}} ϕ(I) ∑_{{I′⊂J \atop I′≠J,I⊂I′}}(−1)^{#I′−#I} = ∑_{{I⊂J \atop I≠J}} ϕ(I) ∑_{{I′⊂(J−I) \atop I′≠(J−I)}}(−1)^{#I′} \\ & = ∑_{{I⊂J \atop I≠J}}(−1)^{#J−#I+1}ϕ(I) \end{aligned}

□ Démonstration de 3.14 : Ici aussi on a l’équivalence entre (1) et (2), grâce au lemme 3.11 et au corollaire 2.5 qui donne les égalités :

rang (⟨\{ϵ_{0} (I) : I ⊂ J\}⟩) = rang D_{0} (K(J)) ⊕ ⨁_{{l∈J \atop l∤cond K(J)}} ℤ l = g_{J}f_{J} + #J

De plus (3) est immédiat et cela nous permet de démarrer une récurrence pour démontrer (1) ou (2) à partir de #J ≥ 2. Comme dans la preuve de 3.13 on utilise ≺ pour démontrer (1) par récurrence. On suppose (1) (et donc (2)) vrai pour tout J ⊂ P tel que #J ≤ s et soit J_{0} ⊂ P de cardinal s + 1. On note l l’élément de J_{0} tel que {l} soit le plus petit élément des sous-ensembles de J_{0} relativement à ≺. D’après la définition de X_{o} (I, J) on retrouve des suites S_{0}(I) semblables à celle de 3.13 :

1 w ⟨{ϵ_{0} (L) : L ⊂ J_{0}, L ≺ I, L ≠ I}⟩ w ⟨{ϵ_{0} (L) : L ⊂ J_{0}, L ≺ I}⟩ w X_{0} (I, J_{0}) w 1

Une différence avec le cas n = 0 vient du fait que S_{0}({l}) se lit :

1 w ℤp w ⟨{ϵ_{n} ({l})}⟩ ⊕ ℤ p w X_{n} ({l}, J_{0}) w 1

tandis que S_{0} (J_{0}) se lit :

1 w ⟨{ϵ_{n} (I) : I ⊂ J_{0}, I ≠ J_{0}}⟩ w D_{n} (K(J_{0})) w X_{n} (J_{0}, J_{0}) w 1

Les suites ci-dessus nous donnent les identités (vraies pour tout I strictement supérieur à {l} et strictement contenu dans J_{0}):

rang (⟨{ϵ_{0} (L) : L ⊂ J_{0}, L ≺ I}⟩) = rang (⟨{ϵ_{0} (L) : L ⊂ J_{0}, L ≺ I, L ≠ I}⟩)
+ rang (X_{n} (I))

En remplaçant rang (X_{n} (I, J_{0})) par rang (X_{n} (I)) grâce au lemme 3.11. En regroupant toutes ces égalités, on obtient:

rang (⟨{ϵ_{0} (I) : I ⊂ J_{0}, I ≠ J_{0}}⟩)

= 1 + ∑_{r∈J_{0}} rang (X_{n} (\{r\})) + ∑_{{I⊂J_{0},#I>1 \atop I≠J_{0}}} rang (X_{n} (I))

= 1 + #J_{0} + ∑_{r∈J_{0}} ∑_{L⊂\{r\}}(−1)^{#\{r\}−#L}g_{L}f_{L} + ∑_{{I⊂J_{0},#I>1 \atop I≠J_{0}}} ∑_{L⊂I}(−1)^{#I−#L}g_{L}f_{L}

en utilisant (3) et l’hypothèse de récurrence

= 1 + #J_{0} + ∑_{{I⊂J_{0} \atop I≠J_{0}, I≠∅}} ∑_{L⊂I}(−1)^{#I−#L}g_{L}f_{L}

= #J_{0} + ∑_{{I⊂J_{0} \atop I≠J_{0}}} ∑_{L⊂I}(−1)^{#I−#L}g_{L}f_{L}

= #J_{0} + ∑_{{I⊂J_{0} \atop I≠J_{0}}}(−1)^{#J_{0}−#I+1}g_{I}f_{I}

La dernière égalité s’obtient aussi en utilisant le lemme 3.15. Cela prouve (1) pour J = J_{0} . □

Maintenant pour terminer la preuve de 3.6, il suffit de comparer les rangs calculés en 3.12, 3.13 et 3.14. Dans tous les cas les rangs de M et de X_{n} (I) sont égaux. □

32

IV ℤ[G_{0}^{n}]-structure de D_{n} (K), sous les hypothèses A et B.

Dans ce chapitre on conserve les notations et conventions du chapitre III, mais les modules sont ici des ℤ[G_{0}^{n}]-modules et les homomorphismes des homomorphismes de ℤ[G_{0}^{n}]-modules. (On “oublie” l’action de G_{K}). On travaille avec les hypothèses suivantes :

Hypothèse A :  ∀J ⊂ P : \frac{ℤ[G(J)]}{N(J)} est sans ℤ-torsion

Hypothèse B :  ∀J ⊂ P : \frac{ℤ[G(J)]}{N(J)} est sans p-torsion

Remarque 4.1. Dans le cas où n = 0, le module \frac{ℤ[G(J)]}{N(J)} coïncide avec celui noté M dans la preuve de 3.6. On en tire aisément la preuve de la remarque 3.7

L’hypothèse A (resp. l’hypothèse B) entraîne que \frac{ℤ[G(J)]}{N(J)} ⊗ℤ[G_{0}^{n}] (resp. \frac{ℤ[G(J)]}{N(J)} ⊗ ℤ_{p}[G_{0}^{n}] ) est ℤ[G_{0}^{n}]-libre (resp. ℤ_{p}[G_{0}^{n}]-libre) pour tout J.

Remarque 4.2. On a l’équivalence entre :

∀ l premier, (K, l) vérifie H.B

et :

K vérifie H.A.

Remarque 4.3. Avant d’étudier H.A ou H.B, on donne l’exemple d’un couple (K, p) qui ne vérifie pas la seconde hypothèse.

Si on pose K = ℚ(\sqrt{5 . 17}, \sqrt{5 . 13}) et p = 2, alors on a le

Lemme 4.4.

\frac{ℤ[G(P)]}{N(P)} ≅ \frac{ℤ}{2ℤ}

Démonstration : Chaque générateur de N(P) est d’augmentation paire donc 1 ∉ P. Par contre on a : 2 = N_{5}^{P} + N_{17}^{P} + N_{13}^{P} − N_{5}^{P}N_{13}^{P} ∈ N(P) et pour tout g ∈ G_{K} on a aussi 1 + g ∈ N(P). □

Dans la suite de ce chapitre on établit la conséquence suivante des hypothèses A et B :

Théorème 4.5.

(1) Si (K, p) vérifie H.B., on a :

∀n ∈ ℕ − \{0\} : D_{n} (K) ⊗ ℤ_{p} ≅ (ℤ_{p}[G_{0}^{n}])^{r} ⨁ (\frac{ℤ_{p}[G_{0}^{n}]}{⟨N_{0}^{n}⟩})^{t}

(2) Si de plus K vérifie H.A. on a :

∀n ∈ ℕ − \{0\} : D_{n} (K) ≅ (ℤ[G_{0}^{n}])^{r} ⨁ (\frac{ℤ[G_{0}^{n}]}{⟨N_{0}^{n}⟩})^{t}

avec r = g_{P}f_{P} − g_{P} + 1 et t = g_{P} − 1

La preuve occupe le reste de ce chapitre. Dans toute la suite L_{n}, H_{n}, α_{n} etc. signifieront L_{n} (P) , H_{n} (P) , α_{n} (P) ... En outre D_{n} signifiera D_{n} (K). On fixe un n ∈ ℕ non nul. On suppose dans la suite de ce chapitre que (K, p) vérifie H.B. On pose R = ℤ si K vérifie H.A. et R = ℤ_{p} sinon. La preuve repose essentiellement sur la R[G_{0}^{n}]-liberté de \frac{L_{n}}{H_{n}} ⊗ R.

Pour obtenir cette liberté on construit une application surjective d’un module libre dans \frac{L_{n}}{H_{n}} ⊗ R en section 4.1. On vérifie (en comparant les rangs) que cette application est injective en section 4.2, et la conclusion suivra en section 4.3.

IV.1 Retour sur \frac{L_{n}}{H_{n}}.

Proposition 4.6. Pour tout J ⊂ P il existe une surjection de R[G_{0}^{n}]-modules :

ψ_{n}(J) : ⨁_{{I⊂P \atop I≺J}} \frac{ℤ[G(I)]}{N(I)} ⊗ R[G_{0}^{n}] ⟶ \frac{L_{n} (J)}{H_{n} (J)} ⊗ R (= \frac{L_{n} (J)}{H_{n} (J)} si K vérifie H.A.)

Démonstration : On utilise à nouveau ≺ pour faire une récurrence sur J. Pour J = ∅ on définit ψ_{n}(∅) par R[G_{0}^{n}]-linéarité avec 1 ↦ w_{n} (∅). Soit I ⊂ P et soit I′ son précédent immédiat. On suppose l’existence d’une

application ψ_{n}(I′) qui satisfaisait 4.6 pour J = I′. On considère le diagramme suivant :

0 w⨁_{{I′′⊂P \atop I′′≺I′}} \frac{ℤ[G(I′′)]}{N(I′′)} ⊗ R[G_{0}^{n}] w u ψ̄_{n}(I′)  _{‹ ‹ ‹ ‹‹ ›} ψ⨁_{{I′′⊂P \atop I′′≺I}} \frac{ℤ[G(I′′)]}{N(I′′)} ⊗ R[G_{0}^{n}] w u ψ_{n}(I)  \frac{ℤ[G(I)]}{N(I)} ⊗ R[G_{0}^{n}] u β̄  w ff ff ff ff ff fl β̃  0

0 w\frac{L_{n} (I′)}{L_{n} (I′) ∩ H_{n} (I)} ⊗ R  w\frac{L_{n} (I)}{H_{n} (I)} ⊗ R  w\frac{L_{n} (I)}{H_{n} (I) + L_{n} (I′)} ⊗ R w0

Les lignes sont évidemment exactes (celle du dessus est même scindée). ψ̄_{n}(I′) est la composée de ψ_{n}(I′) avec la surjection :

\frac{L_{n} (I′)}{H_{n} (I′)} ⊗ R ⟶ \frac{L_{n} (I′)}{L_{n} (I′) ∩ H_{n} (I)} ⊗ R

Donc ψ̄_{n}(I′) est surjective. β̄ provient par passage au quotient de la surjection β : ℤ[G(I)] ⊗ R[G_{0}^{n}] ⟶ \frac{L_{n}(I)}{L_{n}(I′)} ⊗ R (en remarquant que β(N(I) ⊗ R[G_{0}^{n}]) ⊂

(H_{n} (I)+L_{n} (I′))⊗R ) et β̄ est donc surjectif. La R[G_{0}^{n}]-liberté de \frac{ℤ[G(I)]}{N(I)} ⊗R[G_{0}^{n}] (provenant de H.A. ou H.B.) garantit l’existence d’un β̃ relevant β̄. En posant ψ_{n}(I) = ψ ⊕ β̃ (ψ provenant de ψ̄_{n}(I′)) on obtient un diagramme commutatif aux lignes exactes. Les surjectivités de ψ̄_{n}(I′) et de β̄ entraînent (via le lemme du serpent) celle de ψ_{n}(I). Cela montre 4.6 pour J = I. □

Proposition 4.7. ψ_{n} est un isomorphisme. En particulier :

\frac{L_{n}}{H_{n}} ⊗ R est R[G_{0}^{n}]-libre

Démonstration : Il reste à voir que ψ_{n} est injective, et pour ce, que son noyau est de R-torsion. Maintenant 4.7 est une simple conséquence de la proposition 4.8 qui fait l’objet de la section suivante. □

IV.2 Un autre calcul de rang.

Proposition 4.8. On a :

rang_{R} (H_{n} ⊗ R) = rang_{R} (⨁_{I⊂P} N(I) ⊗ R[G_{0}^{n}]) = rang_{R} (L_{n} ⊗ R) − g_{P}f_{P}p^{n}

Et comme rang_{R} (L_{n} ⊗ R) = rang_{R} (⨁ ℤ[G(I)] ⊗ R[G_{0}^{n}]) = ∑_{I⊂P} g_{I}f_{I}p^{n} le rang du noyau de ψ_{n} est nul.

Démonstration : On calcule indépendamment les rangs de

H_{n} ⊗ R et ⨁_{I⊂P} N(I) ⊗ R[G_{0}^{n}]

dans les lemmes qui suivent. □

Lemme 4.9.

rang_{R} ⨁_{I⊂P} N(I) ⊗ R[G_{0}^{n}] = rang_{R} L_{n} ⊗ R − g_{P}f_{P}p^{n}

Démonstration : On a :

rang_{R}(⨁_{I⊂P} N(I) ⊗ R[G_{0}^{n}]) = ∑_{I⊂P} ∑_{{J⊂I \atop J≠I}}(−1)^{#I−#J+1}g_{J}f_{J}p^{n} d’après 3.12 (1)

= − ∑_{{I⊂P \atop I≠P}} ∑_{J⊂I}(−1)^{#I−#J}g_{J}f_{J}p^{n} + ∑_{{I⊂P \atop I≠P}} g_{I}f_{I}p^{n}

− ∑_{{J⊂P \atop J≠P}}(−1)^{#P−#J}g_{J}f_{J}p^{n}

= ∑_{{I⊂P \atop I≠P}} g_{I}f_{I}p^{n} d’après 3.15

= rang_{R}(L_{n} ⊗ R) − g_{P}f_{P}p^{n} comme annoncé.

□ Le rang de H_{n} est un petit peu plus difficile à calculer. On utilise le :

Lemme 4.10.

rang(V_{n}) = ∑_{I⊂P,I≠∅} g_{I}, rang(N_{0}^{n}H_{n}) = ∑_{I⊂P,I≠P} g_{I}f_{I}

Démonstration : La première identité est facile. Pour vérifier la seconde on considère l’homomorphisme surjectif δ : L_{n} ⟶ L_{0} défini par ℤ[G_{0}^{n}]-linéarité avec

∀I ∀g ∈ G(I) : g ⊗ 1 w_{n} (I) ↦ g w_{0} (I)

Il est clair que la restriction de δ réalise un isomorphisme entre N_{0}^{n}L_{n} et p^{n}L_{0}. De plus pour tout J ⊂ P de cardinal au moins 2 et tout l ∈ J on a δ(N_{0}^{n}R_{n} (J, l)) = p^{n}R_{0} (J, l), tandis que pour J = {l} on a δ(N_{0}^{n}R_{n} (J, l)) = p^{n}N_{l}^{{l}}w_{0} ({l}). Ainsi on obtient l’isomorphisme suivant :

N_{0}^{n}H_{n} ≅^{δ} p^{n}H_{0} + ⨁_{l∈P} p^{n}ℤN_{l}^{{l}}w_{0} ({l})

De plus, comme H_{0} ⊂ ker α_{0} et α_{0}(N_{l}^{{l}}w_{0} ({l})) = l, on a (δ(N_{0}^{n}H_{n}) ∩ ker α_{0}) = p^{n}H_{0}. Donc la suite suivante est exacte :

0  wp^{n}H_{0}  wδ(N_{0}^{n}H_{n})  w α_{0}  ⨁_{l∈P} p^{n}ℤl  w0

Et cette suite donne :

rang(N_{0}^{n}H_{n}) = rang(p^{n}H_{0}) + #P = rang(L_{0}) − rang D_{0} + #P
= rang(L_{0}) − g_{P}f_{P} − #P + #P
d’après le corollaire 2.5
= ∑_{{I⊂P \atop I≠P}} g_{I}f_{I} comme annoncé

□

Lemme 4.11.

rang(H_{n}) = rang(L_{n}) − g_{P}f_{P}p^{n}

Démonstration : En utilisant les résultats précédents la preuve se résume au calcul suivant :

rang(H_{n}) = rang(H_{n} + V_{n}) − rang(V_{n}) + rang(H_{n} ∩ V_{n})
= rang(L_{n}) − rang(D_{n}) − rang(V_{n}) + rang(H_{n} ∩ V_{n})
d’après le théorème 3.6
= rang(L_{n}) − rang(D_{n}) − rang(N_{0}^{n}V_{n}) + rang(N_{0}^{n}H_{n} ∩ N_{0}^{n}V_{n})
car N_{0}^{n} agit comme p^{n} sur V_{n}
= rang(L_{n}) − rang(D_{n}) + rang(N_{0}^{n}H_{n}) − rang(N_{0}^{n}H_{n} + N_{0}^{n}V_{n})

En constatant que rang (N_{0}^{n}L_{n} ∩ ker α_{n}) = rang (N_{0}^{n} ker α_{n}), ce qui provient de l’inclusion du module p^{n} (N_{0}^{n}L_{n} ∩ ker α_{n}) dans le module N_{0}^{n} ker α_{n} on en déduit que:

rang(H_{n}) = rang(L_{n}) − rang(D_{n}) + rang(N_{0}^{n}H_{n}) − rang(N_{0}^{n}L_{n} ∩ ker α_{n})
= rang(L_{n}) − rang(N_{0}^{n}L_{n}) + rang(N_{0}^{n}H_{n}) − rang(D_{n})
+ rang (N_{0}^{n}α_{n}(L_{n}))

Pour conclure il suffit ici d’utilser les identités suivantes :

rang (N_{0}^{n}L_{n}) = ∑_{I⊂P} g_{I}f_{I}(évident), rang (N_{0}^{n}H_{n}) = ∑_{I⊂P, I≠P} g_{I}f_{I}(lemme 4.10),

rang (D_{n}) = g_{P}f_{P}p^{n} − g_{P} + 1(corollaire 2.5)

et

rang (N_{0}^{n} (α_{n} (L_{n}))) = rang (N_{0}^{n}D_{n}) = g_{P}f_{P} − g_{P} + 1(corollaire 2.5).

Cela nous donne :

rang(H_{n}) = rang(L_{n}) − g_{P}f_{P} − g_{P}f_{P}p^{n} + g_{P} − 1 + g_{P}f_{P} − g_{P} + 1
= rang(L_{n}) − g_{P}f_{P}p^{n} comme annoncé. □

Avec la liberté de \frac{L_{n}}{H_{n}}, l’essentiel de la preuve du théorème 4.5 est achevé. Par exemple lorsque g_{P} = 1 (i.e. p est inerte dans K), il est facile de voir que V_{n} ⊂ H_{n}, et, dans ce cas notre preuve est terminée. La section qui suit traite aussi les autres cas.

IV.3 Preuve du théorème 4.5.

A partir d’ici θ_{n} : \frac{L_{n}}{H_{n}} ⊗ R ⟶ D_{n} ⊗ R désignera l’homomorphisme surjectif qui factorise α_{n} ⊗ 1.

Lemme 4.12. ker θ_{n} ⊂ (\frac{L_{n}}{H_{n}} ⊗ R)^{G_{0}^{n}} = N_{0}^{n} \frac{L_{n}}{H_{n}} ⊗ R

Lemme 4.13. Soit M un R[G_{0}^{n}]-module libre, et soit {x_{1}, x_{2}, ..., x_{s}} une R-base de N_{0}^{n}M. Il existe une R[G_{0}^{n}]-base de M, disons {x̃_{1}, x̃_{2}, ..., x̃_{s}} qui vérifie :

∀i : N_{0}^{n}x̃_{i} = x_{i}

On admet momentanément les deux lemmes et on prouve 4.5. En vertu du lemme 4.12 l’application

\frac{N_{0}^{n} \frac{L_{n}}{H_{n}} ⊗ R}{ker θ_{n}} ↪^{θ_{n}} D_{n} ⊗ R est une injection bien définie.

Comme (L_{n}/H_{n}) ⊗ R et D_{n} ⊗ R sont sans R torsion d’après la proposition 4.7 et le lemme 2.3 (1), les modules ker θ_{n} et (N_{0}^{n} (L_{n}/H_{n} ⊗ R)) / ker θ_{n} sont libres sur R. Il existe donc une R-base de N_{0}^{n} \frac{L_{n}}{H_{n}} ⊗ R qui contient une R-base de ker θ_{n}. En appliquant le lemme 4.13 à M = \frac{L_{n}}{H_{n}} ⊗ R et à cette base, on obtient, en passant aux quotients, un isomorphisme entre D_{n} et un module de la forme voulue. Il reste à calculer les entiers r et t du théorème 4.5. Mais r est précisément la puissance du caractère trivial pour G_{0}^{n} intervenant dans la décomposition en caractère absolument irréductible de D_{n}. Donc d’après la proposition 2.4 (1) on a r = g_{P}f_{P} −g_{P} +1. Et en utilisant l’identité : p^{n}r + (p^{n} − 1)t = p^{n}g_{P}f_{P} − g_{P} + 1, on conclut que t est bien égal à g_{P} − 1. □

Démonstration de 4.12 : La dernière identité est un corollaire de la liberté de \frac{L_{n}}{H_{n}} ⊗ R. Pour l’inclusion, soit x ∈ ker θ_{n} alors d’après le théorème 3.6 il existe un entier z non nul tel que l’on ait :

z x ∈ (\frac{V_{n}}{V_{n} ∩ H_{n}} ⊗ R) ⊂ (\frac{L_{n}}{H_{n}} ⊗ R)^{G_{0}^{n}} par définition de V_{n}

Soit g ∈ G_{0}^{n}, alors on a : z(x − gx) = 0 et comme \frac{L_{n}}{H_{n}} ⊗ R est sans R-torsion, on a bien x = gx. □

Démonstration de 4.13 : Soit {y_{1}, y_{2}, ..., y_{s}} une R[G_{0}^{n}]-base de M, clairement {N_{0}^{n}y_{1}, N_{0}^{n}y_{2}, ..., N_{0}^{n}y_{s}} est une R-base de N_{0}^{n}M. Il existe donc une matrice A = (a_{i,j}) dans Gl_{s}(R) telle que (en notant b_{i,j} les coefficients de A^{−1}) :

∀i : ∑_{j=1}^{j=s} a_{i,j}N_{0}^{n}y_{j} = x_{i}; ∀j : ∑_{i=1}^{i=s} b_{i,j}x_{i} = N_{0}^{n}y_{j}

On pose x̃_{i} = ∑_{j=1}^{j=s} a_{i,j}y_{j}. Alors les x̃_{i} vérifient clairement N_{0}^{n}x̃_{i} = x_{i}. Et quel que soit j, on a : y_{j} = (∑_{i=1}^{i=s} b_{i,j}x̃_{i}) ∈ (∑ Rx̃_{i}). Il suit donc :

M = ∑_{i} R[G_{0}^{n}]x̃_{i} = ⨁_{i} R[G_{0}^{n}]x_{i}

Pour la dernière égalité on utilise la R[G_{0}^{n}]-liberté de M. □

40

V Cohomologie des unités cyclotomiques

Dans ce chapitre on étudie les deux groupes de cohomologie modifiés à la Tate, des unités cyclotomiques. Plus précisément on va calculer les Ĥ^{i} (G_{n}^{m}, C(F_{m})), pour i = 1 ou 2, et pour certains corps abéliens F, en conservant les notations F_{m} et G_{n}^{m} des chapitres précédents. Cela peut se faire de deux façons différentes. Une méthode est due à Kim ([K 1]) et on la généralise quelque peu dans la première partie. Une autre méthode consiste à utiliser la version locale du théorème 4.5 (sous l’hypothèse B, donc).

V.1 Quelques rappels sur les groupes de cohomologie.

Définition 5.1. Soit G un groupe cyclique fini, et soit g un générateur de G. Soit M un ℤ[G]-module. On note T et S les homomorphismes :

\begin{aligned}T : & M → M \\ & x ↦ ∑_{g∈G} gx \end{aligned}

\begin{aligned}S : & M → M \\ & x ↦ (g − 1)x \end{aligned}

On appelle groupes de cohomologie modifiés les groupes :

Ĥ^{0}(G, M) = \frac{ker S}{T (M)} et Ĥ^{1}(G, M) = \frac{ker T}{S(M)}

On énonce, sans démonstration, quelques propriétés classiques de ces groupes. Toutes les preuves peuvent se trouver dans [La 1] ou [Se] ou [C F].

Proposition 5.2. Soit G un groupe cyclique et soit A,B, et C trois ℤ[G]-modules reliés par une suite exacte :

0  w ; A  w ; B  w ; C  w ; 0

Alors, on a l’hexagone exact (où les flèches horizontales sont les homomorphismes évidents et où les flèches verticales s’obtiennent par deux applications du lemme du serpent) :

\begin{matrix}Ĥ^{0}(G, A)  w \\ Ĥ^{0}(G, B)  w \\ Ĥ^{0}(G, C) u \end{matrix} ; Ĥ^{1}(G, C) u  Ĥ^{1}(G, B) u  Ĥ^{1}(G, A) u

Proposition 5.3. Soient G un groupe cyclique, L un sous-groupe de G, et soit M un ℤ[G]-module. Soit T̃ un relevé dans ℤ[G] de la somme ∑_{g∈G/L} g et soit H^{1} (G/L, M^{L}) ⟶ Ĥ^{1} (G, M) l’application obtenue par l’inclusion M^{L} ⊂ M. Alors on a la suite exacte (où la première application s’appelle l’inflation la seconde la restriction) :

0  wĤ^{1} (G/L, M^{L})  wĤ^{1} (G, M) T̃ wĤ^{1} (L, M)

Définition 5.4. Soit G un groupe cyclique et M un ℤ[G]-module, en supposant que Ĥ^{0}(G, M) et Ĥ^{1}(G, M) sont finis, ce qui est vrai lorsque M est de type fini, on appelle quotient de Herbrand de M pour l’action de G la constante :

q_{G,M} = \frac{#Ĥ^{0}(G, M)}{#Ĥ^{1}(G, M)}

Proposition 5.5. Soit G un groupe cyclique et soient N ⊂ M deux ℤ[G]-modules tels que M/N soit fini, alors on a :

q_{G,M} = q_{G,N}

Proposition 5.6. Soit F un corps de nombres et soit G un sous-groupe cyclique du groupe des automorphismes de F. Alors on a :

q_{G,E(F)} = \frac{1}{#G}

Démonstration : C’est une conséquence immédiate du corollaire 2 du paragraphe 5 chapitre IX de [La 1].

Corollaire 5.7. avec les notations du début de ce chapitre on a :

q_{G_{n}^{m},C(F_{m})} = \frac{1}{p^{m−n}}

Démonstration : Compte-tenu du fait que C(K_{m}) est d’indice fini dans E(K_{m}) cela suit des propositions 5.5 et 5.6.

V.2 La méthode de Kim.

Ici on reprend la démarche de [K 1], et on se donne un corps F abélien sur ℚ, de degré fini sur ℚ et un nombre premier p ≠ 2 au plus modérément ramifié dans F. Mais contrairement à [K 1] on ne suppose plus que F = ℚ (ζ_{pd}). On est cependant amené a faire les deux hypothèses qui suivent :

Soit Δ le groupe de ramification de p dans G_{F}, on admet que p ∤ [F^{Δ} : F_{dec}] On admet que pour tout m ≥ n ≥ 0 on a C(F_{m}) ∩ F_{n} = C(F_{n}). Ces deux hypothèses sont par exemple vérifiées dans les corps considérés par Kim

dans [K 1] ou bien par les corps F réels tels que (F, p) vérifie H.B. et p ∤ [F^{Δ} : F_{dec}]. On verra plus tard que d’une part H.B entraîne la deuxième hypothèse ci-dessus, et que d’autre part H.B est vraie lorsque p ∤ [F : ℚ]. Dans cette section on applique exactement la technique de Kim [K 1], et on se permet de seulement esquisser certaines preuves, qui sont faites en détails dans [K 1], pour son cas particulier.

On a besoin tout d’abord de quelques notations supplémentaires. Soit D′_{n}(F) le sous-module de F_{n}^{×}, engendré sur ℤ[G_{F_{n}}] par les racines de l’unité dans F_{n} et par les entiers de la forme :

N_{F_{n}∩ℚ(ζ_{f})}^{ℚ(ζ_{f})} (1 − ζ_{f})

avec p | f et f non congru à 2 modulo 4.

Soit C′_{n} = D′_{n}(F)∩E(F_{n}). De la même manière que dans 2.3 (3) on peut vérifier que C(F_{n}) = C(F^{Δ})C′_{n}. Et on a aussi pour tout m ≥ n ≥ 0, N_{n}^{m} (C′_{m}) = C′_{n}. Pour simplifier on note N la norme de F^{Δ} à F_{dec}. Soit _{N}C(F^{Δ}) = {ξ ∈ C(F^{Δ})|N(ξ) = 1\} et soit \overline{_{N}C(F^{Δ})} = \{ξ ∈ C(F^{Δ})|N(ξ) ∈ μ (F_{dec})\}. On a :

Lemme 5.8. Pour tout m ≥ 0 :

(C (F^{Δ}))^{((^{\frac{F^{Δ}}{p}} )−1)} ⊂ C (F^{Δ}) ∩ C′_{m} ⊂ \overline{_{N}C(F^{Δ})}

Démonstration : On omet la preuve. Cela peut se faire en adaptant le raisonnement de 2.3 (4) à cette situation □

Théorème 5.9. Soit r le ℤ-rang des unités de F_{dec}. Pour tout m > n ≥ 0 on a :

Ĥ^{0} (G_{n}^{m}, C (F_{m})) = (\frac{ℤ}{p^{m−n}ℤ})^{r}

Démonstration : L’application naturelle obtenue en composant les deux homomorphismes :

C (F^{Δ})  wC (F_{n})  w\frac{C (F_{n})}{N_{n}^{m} (C (F_{m}))}

est surjective, comme C (F_{n}) = C (F^{Δ}) C′_{n} et N_{n}^{m} (C′_{m}) = C′_{n}. Il s’agit de décrire son noyau, que l’on note ker. On a :

ker = C (F^{Δ}) ∩ N_{n}^{m} (C (F_{m}))
= C (F^{Δ}) ∩ N_{n}^{m} (C (F^{Δ}) C′_{m})
= C (F^{Δ}) ∩ (C (F^{Δ}))^{p^{m−n}} C′_{n}
= C (F^{Δ})^{p^{m−n}} (C (F^{Δ}) ∩ C′_{n})

Comme on suppose que C(F_{m})^{G_{n}^{m}} = C(F_{n}), on en tire :

Ĥ^{0} (G_{n}^{m}, C (F_{m})) = \frac{C (F^{Δ})}{(C (F^{Δ}))^{p^{m−n}} (C (F^{Δ}) ∩ C′_{n})}

De plus il est évident que \overline{_{N}C (F^{Δ})} est un sous-groupe, facteur direct de C (F^{Δ}) et que le rang d’un supplémentaire est égal au rang de N (E (F^{Δ})), c’est-à-dire r. D’après le lemme 5.8 on a les surjections :

\frac{C (F^{Δ})}{C (F^{Δ})^{p^{m−n}} C (F^{Δ})^{((^{\frac{F^{Δ}}{p}} )−1)}}  w \frac{C (F^{Δ})}{C (F^{Δ})^{p^{m−n}} (C (F^{Δ}) ∩ C′_{n})}

et

\frac{C (F^{Δ})}{C (F^{Δ})^{p^{m−n}} (C (F^{Δ}) ∩ C′_{n})} w ; \frac{C (F^{Δ})}{C (F^{Δ})^{p^{m−n}} \overline{_{N}C (F^{Δ})}}

Le théorème est donc une conséquence du lemme qui suit. □

Lemme 5.10. On a

\frac{C (F^{Δ})}{C (F^{Δ})^{p^{m−n}} \overline{_{N}C (F^{Δ})}} = \frac{C (F^{Δ})}{C (F^{Δ})^{p^{m−n}} C (F^{Δ})^{((^{\frac{F^{Δ}}{p}} )−1)}} ≃ (\frac{ℤ}{p^{m−n}ℤ})^{r}

Démonstration : Partant d’une écriture de C (F^{Δ}) sous la forme :

C (F^{Δ}) = \overline{_{N}C (F^{Δ})} ⊕ ℤ^{r}

on obtient :

\begin{aligned}\frac{C (F^{Δ})}{(C (F^{Δ})^{p^{m−n}} \overline{_{N}C (F^{Δ})}} & = \frac{\overline{_{N}C (F^{Δ})} ⊕ ℤ^{r}}{\overline{_{N}C (F^{Δ})} ⊕ p^{m−n}ℤ^{r}} \\ & = (\frac{ℤ}{p^{m−n}ℤ})^{r} \end{aligned}

Soient f = [F^{Δ} : F_{dec}] et w = # (μ (F^{Δ})). Alors \overline{_{N}C (F^{Δ})}/ (C (F^{Δ}))^{((^{\frac{F^{Δ}}{p}} )−1)} est annulé par le produit wf car w annule \overline{_{N}C (F^{Δ})}/_{N}C (F^{Δ}) d’une part, et f annule _{N}C (F^{Δ}) / (C (F^{Δ}))^{((^{\frac{F^{Δ}}{p}} )−1)} qui coïncide avec H^{1} (⟨(\frac{F^{Δ}}{p} )⟩ , C (F^{Δ})).

Comme p est différent de 2, il ne peut diviser w car il ne se ramifie pas dans F^{Δ}. Comme nous avons supposé de plus que p ne divise pas f, et que p^{m−n} annule

\overline{_{N}C (F^{Δ})}/ (\overline{_{N}C (F^{Δ})})^{p^{m−n}} C (F^{Δ})^{((^{\frac{F^{Δ}}{p}} )−1)}, ce dernier quotient est trivial. On en déduit donc que :

\frac{C (F^{Δ})}{C (F^{Δ})^{p^{m−n}} C (F^{Δ})^{((^{\frac{F^{Δ}}{p}} )−1)}}

= \frac{\overline{_{N}C (F^{Δ})} ⊕ (ℤ)^{r}}{(\overline{_{N}C (F^{Δ})}^{p^{m−n}} ⊕ (p^{m−n}ℤ)^{r}) C (F^{Δ})^{((^{\frac{F^{Δ}}{p}} )−1)}}

= \frac{\overline{_{N}C (F^{Δ})}}{\overline{_{N}C (F^{Δ})}^{p^{m−n}}C (F^{Δ})^{((^{\frac{F^{Δ}}{p}} )−1)}} ⊕ (\frac{ℤ}{p^{m−n}ℤ})^{r}

= (\frac{ℤ}{p^{m−n}ℤ})^{r}

□

Corollaire 5.11. La preuve ci-dessus montre aussi que \overline{_{N}C (F^{Δ})} est contenu dans N_{n}^{m} (C (F_{m})).

On calcule maintenant Ĥ^{1} (G_{n}^{m}, C (F_{m}))

Lemme 5.12. Soit a > b > c. Si δ ∈ C (F_{b}) est tel que N_{c}^{b}(δ) = 1, alors δ ∈ N_{b}^{a} (C (F_{a})).

Démonstration : Soit S un sous-groupe de C (F^{Δ}) supplémentaire de \overline{_{N}C (F^{Δ})}. Clairement on a C (F_{m}) = S\overline{_{N}C (F^{Δ})}C′_{m}. Ecrivons ici δ = ξuv, avec ξ ∈ S, u ∈ \overline{_{N}C (F^{Δ})} et v ∈ C′_{m}. Alors, on a :

1 = N_{n}^{m}(δ) = ξ^{p^{m−n}}u^{p^{m−n}}N_{n}^{m}(v) .

Or on a aussi N_{n}^{m}v ∈ C′_{n} et donc on en déduit :

N_{n}^{m}v = ξ^{−p^{m−n}}u^{−p^{m−n}} ∈ C (F^{Δ}) ∩ C′_{n} ⊂ \overline{_{N}C (F^{Δ})}

Cela entraine ξ^{−p^{m−n}} = N_{n}^{m}(v)u^{p^{m−n}} ∈ \overline{_{N}C (F^{Δ})} et donc ξ^{−p^{m−n}} = 1, puis ξ = 1. D’après la remarque qui précède on a donc δ ∈ \overline{_{N}C (F^{Δ})}C′_{m} ⊂ N_{m}^{s} (C (F_{s})), comme attendu. □

Théorème 5.13. Pour tout m > n ≥ 0 on a :

Ĥ^{1} (G_{n}^{m}, C (F_{m})) ≃ (\frac{ℤ}{p^{m−n}ℤ})^{r+1}

Démonstration : On fait une récurrence sur m ≥ n + 1. Si m = n + 1, comme le quotient d’Herbrand pour C (F_{m}) est le même que celui des unités de F_{m}, il vaut 1/#G_{n}^{n+1} = 1/p. Comme en outre on a p Ĥ^{1} (G_{n}^{n+1}, C (F_{n+1})) = 0 on a bien Ĥ^{1} (G_{n}^{n+1}, C (F_{n+1})) ≃ 𝔽_{p}^{r+1}. Supposons le théorème vrai pour m = s, avec s ≥ n + 1, et vérifions le pour m = s + 1. En utilisant l’injectivité de l’inflation et l’égalité

C (F_{s+1})^{G_{s}^{s+1}} = C (F_{s})

on obtient une injection :

1  wĤ^{1} (G_{n}^{s}, C (F_{s}))  wĤ^{1} (G_{n}^{s+1}, C (F_{s+1}))

Le lemme 5.12 et le fait que pour tout δ ∈ Ĥ^{1} (G_{n}^{s+1}, C (F_{s+1})) on a N_{s}^{s+1}(δ) = p δ, montre que l’image de Ĥ^{1} (G_{n}^{s}, C (F_{s})) est contenu dans p Ĥ^{1} (G_{n}^{s+1}, C (F_{s+1})). On connaît le cardinal de Ĥ^{1} (G_{n}^{s+1}, C (F_{s+1})) car on connaît le Ĥ^{0} et le quotient de Herbrand correspondant. Comme p^{s+1−n} Ĥ^{1} (G_{n}^{s+1}, C (F_{s+1})) = 0 on en déduit l’égalité entre l’image de Ĥ^{1} (G_{n}^{s}, C (F_{s})) et le sous-groupe p Ĥ^{1} (G_{n}^{s+1}, C (F_{s+1})). L’hypothèse de récurrence et l’identité

# (Ĥ^{1} (G_{n}^{s+1}, C (F_{s+1}))) = p^{s+1−n} # (Ĥ^{0} (G_{n}^{s+1}, C (F_{s+1})))

prouvent donc le théorème pour m = s + 1. □

V.2 Applications cohomologiques du théorème 4.5.

Dans cette section on calcule sous l’hypothèse B les deux groupes de cohomologie modifiés à la Tate, associés à l’action de G_{n}^{m} sur C(K_{m}) (pour m > n ≥ 0). On reprend les conventions et la notation K des chapitres II, III, et IV.

Une conséquence directe de 4.5 (1) est :

Corollaire 5.14. Si (K, p) vérifie H.B, alors pour tout m ≥ n ≥ 0 :

Ĥ^{0}(G_{n}^{m}, D_{m} (K)) = \{0\} et Ĥ^{1}(G_{n}^{m}, D_{m} (K)) ≃ (\frac{ℤ}{p^{m−n} ℤ})^{g_{P} −1}

On peut en déduire les deux propositions suivantes :

Proposition 5.15. Si (K, p) vérifie H.B. alors on a pour tout m ≥ n ≥ 0 :

C(K_{m}) ∩ K_{n} = C(K_{n})

Proposition 5.16. (D_{0} (K))^{(^{\frac{K}{p}})−1} est contenu dans C(K) d’après 1.3 (5). Soit F le sous-ℤ-module de torsion de _{\frac{C(K)}{(D_{0}(K))^{(\frac{K}{p})−1}}} et pour tout entier r ∈ ℤ soit

F_{p^{r}} = ker{F ⟶^{p^{r}} F }. Si (K, p) vérifie H.B. alors pour tout m > n ≥ 0 on a :

Ĥ^{0}(G_{n}^{m}, C(K_{m})) ≃ \frac{F}{p^{r}F} ⊕ (\frac{ℤ}{p^{m−n} ℤ})^{g_{P} −1}

et

Ĥ^{1}(G_{n}^{m}, C(K_{m})) ≃ F_{p^{m−n}} ⊕ (\frac{ℤ}{p^{m−n} ℤ})^{g_{P}}

Démonstration de 5.15 : Par la définition des deux modules, on a l’inclusion du module de droite dans le module de gauche. Réciproquement, soit x ∈ C(K_{m})∩K_{n} alors d’après le lemme 2.3 (3) il existe x_{0} ∈ C(K) et x′ ∈ D_{m} (K) ∩ E(K_{m}) tels que x = x_{0}x′. Comme x et x_{0} sont fixés par G_{n}^{m}, x′ l’est aussi. Le corollaire 5.14 donne donc x′ ∈ N_{n}^{m}(D_{m} (K)) ⊂ D_{n} (K). On en déduit x′ ∈ D_{n} (K) ∩ E(K_{n}) puis x ∈ C(K_{n}) en utilisant à nouveau 2.3 (3) ou 2.3 (2). □ Démonstration de 5.16 : On calcule d’abord la cohomologie de D_{m} (K) ∩ E(K_{m}) à l’aide de la suite suivante dont l’exactitude est donnée par le lemme 2.3 (5) et par les identités N_{ℚ}^{K_{m}}(ϵ_{m} (I)) = 1 si I ≠ ∅ et N_{ℚ}^{K_{m}}(ϵ_{m} (∅)) = p^{f_{P} g_{P}} :

0  wD_{m} (K) ∩ E(K_{m})  wD_{m} (K)  w N_{ℚ}^{K_{m}} ℤ p^{f_{P} g_{P}}  w0

En utilisant l’hexagone exact de cohomologie et le corollaire 5.14, on obtient :

Ĥ^{0}(G_{n}^{m}, D_{m} (K) ∩ E(K_{m})) = 0

Et on en déduit la suite exacte courte de ℤ/p^{m−n}ℤ-modules :

0  w\frac{ℤ}{p^{m−n}ℤ}  wĤ^{1}(G_{n}^{m}, D_{m} (K) ∩ E(K_{m}))  w(\frac{ℤ}{p^{m−n}ℤ})^{g_{P} −1}  w0

qui se scinde en Ĥ^{1}(G_{n}^{m}, D_{m} (K) ∩ E(K_{m})) ≃ (ℤ/p^{m−n}ℤ)^{g_{P}} puisque le dernier terme est libre. Cela étant, le corollaire 5.14 et le lemme 2.3 (4) donnent aussi :

C(K) ∩ D_{m} (K) ⊂ (D_{m} (K))^{G_{0}^{m}} = N_{0}^{m}(D_{m} (K)) = (D_{0} (K))^{(^{\frac{K}{p}})−1} ⊕ ℤ p

On en déduit avec le lemme 2.3 (5) :

\begin{aligned}C(K) ∩ D_{m} (K) ⊂ ((D_{0} (K))^{(^{\frac{K}{p}})−1} ⊕ ℤ p) ∩ E(K) & ⊂ (D_{0} (K))^{(^{\frac{K}{p}})−1} \\ & ⊂ C(K) ∩ D_{m} (K) \end{aligned}

d’où l’égalité C(K) ∩ D_{m} (K) = (D_{0} (K))^{(^{\frac{K}{p}})−1} et avec le lemme 2.3 (3) on a l’exactitude de la suite :

0  wD_{m} (K) ∩ E(K_{m})  wC(K_{m})  w\frac{C(K)}{(D_{0} (K))^{(^{\frac{K}{p}})−1}}  w0

Mais comme G_{n}^{m} agit trivialement sur C(K) on a aussi :

\frac{C(K)}{(D_{0} (K))^{(^{\frac{K}{p}})−1}} ≃ F ⊕ ℤ^{g_{P} −1}

car (D_{0} (K))^{(^{\frac{K}{p}})−1} est d’indice fini dans ker N_{K_{dec}}^{K} ∩ C(K)

Et l’hexagone exact de cohomologie donne :

\begin{matrix}0  w & Ĥ^{0}(G_{n}^{m}, C(K_{m}))  w & \frac{F}{p^{m−n}F} ⊕ (\frac{ℤ}{p^{m−n}} )^{g_{P} −1} u \\ F_{p^{m−n}} u & Ĥ^{1}(G_{n}^{m}, C(K_{m})) u & Ĥ^{1}(G_{n}^{m}, D_{m} (K) ∩ E(K_{m})) u ϕ \end{matrix}

Mais d’après 2.3 (3), pour tout générateur γ de G_{n}^{m}, on a :

C(K_{m})^{γ−1} = (C(K)(D_{m} (K) ∩ E(K_{m})))^{γ−1} = (D_{m} (K) ∩ E(K_{m}))^{γ−1} de telle sorte que ϕ est injective et que ce diagramme donne

Ĥ^{0}(G_{n}^{m}, C(K_{m})) ≅ \frac{F}{p^{m−n}F} ⊕ (\frac{ℤ}{p^{m−n}} )^{g_{P} −1} et la suite :

0  w(\frac{ℤ}{p^{m−n}ℤ})^{g_{P}}  wĤ^{1}(G_{n}^{m}, C(K_{m}))  wF_{p^{m−n}}  w0

Mais comme ℤ/Nℤ est injectif comme module sur lui-même la suite exacte ci-dessus est scindée et on a bien Ĥ^{1}(G_{n}^{m}, C(K_{m})) ≃ F_{p^{m−n}} ⊕ (\frac{ℤ}{p^{m−n}ℤ})^{g_{P}} . □

Pour l’étude de la cohomologie, il n’est plus nécessaire de supposer que les corps sont réels. En effet on a le :

Corollaire 5.17. Soit L un corps abélien imaginaire de sous-corps réel maximal K. Si p ≠ 2 et si (K, p) vérifie H.B, alors pour tout m > n ≥ 0 on a :

Ĥ^{0}(G_{n}^{m}, C(L_{m})) = Ĥ^{0}(G_{n}^{m}, C(K_{m})) ≃ \frac{F}{p^{m−n}F} ⊕ (\frac{ℤ}{p^{m−n} ℤ})^{g_{P} −1}

et Ĥ^{0}(G_{n}^{m}, C(L_{m})) = Ĥ^{0}(G_{n}^{m}, C(K_{m})) ≃ F_{p^{m−n}} ⊕ (\frac{ℤ}{p^{m−n} ℤ})^{g_{P}}

Démonstration : Les deux égalités viennent de la suite exacte (en notant μ(L_{m}) le groupe des racines de l’unité contenues dans L_{m}).

0  wμ(L_{m})  wC(L_{m})  w N_{K}^{L} C(K_{m})  w0

Comme p ≠ 2, μ(L_{m}) est cohomologiquement trivial. Cela donne les deux égalités. Et les deux isomorphismes sont ceux de la proposition 5.15. □

VI Etude des hypothèses A et B

Dans ce chapitre, on donne des conditions suffisantes pour qu’un couple (K, p) vérifie H.B. On en déduit des conditions suffisantes pour que K vérifie H.A : ce qui revient à dire que quelque soit p, le couple (K, p) vérifie H.B. Pour la commodité de l’exposé on laisse varier le nombre premier p, mais on conserve les autres conventions des chapitres II,III et IV. En deuxième section on détaillera l’exemple de deux couples (K, p) qui ne vérifient pas la conclusion locale (i.e. avec R = ℤ_{p}) de 4.5.

Si p est un nombre premier et G un groupe abélien, on notera G_{p} son (unique) p-sous-groupe de Sylow.

VI.1 Une liste de conditions suffisantes.

Proposition 6.1. Soit p un nombre premier, on suppose que le p-sous-groupe de Sylow de G_{K} est cyclique, alors (K, p) vérifie H.B.

Corollaire 6.2. Si G_{K} est cyclique, alors K vérifie H.A.

Démonstration de 6.2 : Cela vient de l’équivalence entre l’assertion K vérifie H.A et l’assertion pour tout p, (K, p) vérifie H.B. □

Démonstration de 6.1 : On fixe J ⊂ P. Comme G(J) est un quotient de G_{K}, son p-sous-groupe de Sylow est cyclique. On écrit G(J) = G′ × G_{p} où G_{p} est ce p-Sylow cyclique et où p ∤ #G′. Soit h un générateur de G_{p}. On note X l’ensemble des caractères ℚ_{p}-irréductibles de G′, et pour chaque élément χ de X, on note ẽ_{χ} l’idempotent de ℤ_{p}[G′] associé à χ. On a alors :

\frac{ℤ[G(J)]}{N(J)} ⊗ ℤ_{p} ≅ ⨁_{χ∈X} ẽ_{χ} \frac{ℤ[G(J)]}{N(J)} ⊗ ℤ_{p} ≅ ⨁_{χ∈X} \frac{ẽ_{χ}ℤ_{p}[G(J)]}{ẽ_{χ}N(J) ⊗ ℤ_{p}}

Soit G′_{l} le plus grand sous-groupe de Gal(K(J)/K(J − {l})) qui vérifie p ∤ #G′_{l}, alors pour chaque l ∈ J il existe un couple d’entiers s_{l} et t_{l} avec p^{s_{l}+t_{l}} = #G_{p} et tel que : N_{l}^{J} = ∑_{g∈G′_{l}} g ∑_{i=1}^{i=p^{t_{l}}} h^{is_{l}}. Et on a de plus :

ẽ_{χ}N_{l}^{J} = \{ \begin{matrix}0 si ∃ g ∈ G′_{l} tel que χ(g) ≠ χ(1) \\ #G′_{l} ẽ_{χ} ∑_{i=1}^{i=p^{t_{l}}} h^{is_{l}} sinon \end{matrix}

Soit s le maximum des s_{l} et t le minimum des t_{l}, alors comme p ∤ #G′ on a :

ẽ_{χ}N(J) ⊗ ℤ_{p} = ẽ_{χ} (∑_{i=1}^{i=p^{t}} h^{is}) ℤ_{p}[G(J)]

Si on note A_{χ} l’anneau A_{χ} = ẽ_{χ}ℤ_{p}[G′] on a donc :

\frac{ẽ_{χ}ℤ_{p}[G(J)]}{ẽ_{χ}N(J) ⊗ ℤ_{p}} ≅ \frac{A_{χ}[G_{p}]}{(∑_{i=1}^{i=p^{t}} h^{it}) A_{χ}[G_{p}]}

et comme pour tout χ ce dernier quotient est sans ℤ_{p}-torsion, cela conclut notre preuve. □

Proposition 6.3. Soit p un nombre premier. Pour chaque sous-ensemble J de P et chaque élément l de J, on note G_{l,p}^{J} le p-sous-groupe de Sylow du sous-groupe d’inertie en l de G(J). On suppose que G_{K,p} est le produit direct de tous ces sousgroupes : G_{K,p} = ∏_{l∈P} G_{l,p}^{P}.

Alors pour tout J ⊂ P, G(J)_{p} est le produit direct : G(J)_{p} = ∏_{l∈J} G_{l,p}^{J} et (K, p) vérifie H.B.

Corollaire 6.4. Si K est un corps de genres au sens de [F], i.e. si G_{K} est le produit direct G_{K} = ∏_{l∈P} Gal(K/K(P − {l})), alors K vérifie H.A.

Corollaire 6.5. Soit p un nombre premier impair ne divisant pas le cardinal des G_{K} coinvariants du groupe des classes de K. Alors (K, p) vérifie H.B.

Démonstration de 6.3 : Par restriction on a l’isomorphisme :

G(J)_{p} ≅ \frac{∏_{l∈P} G_{l,p}^{P}}{∏_{l∉J} G_{l,p}^{P}}

Et cela donne la première affirmation avec la propriété de restriction des groupes d’inertie. Pour la deuxième, on fixe un J ⊂ P, on écrit G(J) = G′ × G_{p} comme dans la preuve de 6.1. et on reprend les notations ẽ_{χ}, A_{χ} et X de cette preuve. Ici aussi il s’agit de vérifier que pour tout χ, le quotient \frac{A_{χ}[G_{p}]}{ẽ_{χ}N(J)⊗ℤ_{p}} est sans ℤ_{p}- torsion. On considère le diagramme commutatif suivant où les flèches diagonales représentent des applications A_{χ}-multilinéaires et les autres des homomorphismes de A_{χ}-algèbres unitaires.

A_{χ}[G_{p}]  w ψ u  ⊗_{A_{χ}}_{l∈J} A_{χ}[G_{l,p}^{J}] u π

∏_{l∈J} A_{χ}[G_{l,p}^{J}] u s^{```````}˜

\frac{A_{χ}[G_{p}]}{ẽ_{χ}N(J) ⊗ ℤ_{p}} ϕ w⊗_{A_{χ}}_{l∈J} \frac{A_{χ}[G_{l,p}^{J}]}{ẽ_{χ}N_{l}^{J}A_{χ}[G_{l,p}^{J}]}

∏_{l∈J} \frac{A_{χ}[G_{l,p}^{J}]}{ẽ_{χ}N_{l}^{J}A_{χ}[G_{l,p}^{J}]}^{N N N N N N N N N N N N N N N Q} ω  ^{4 4 4 47} can

ψ est l’isomorphisme naturel donné par la première affirmation, et s est le produit des surjections naturelles. Comme can ∘ s est A_{χ}-multilinéaire, π s’obtient avec la propriété universelle du produit tensoriel. ω est l’application A_{χ}-multilinéaire définie à l’aide des homomorphismes ω_{l} : \frac{A_{χ}[G_{l}^{J}]}{ẽ_{χ}N_{l}^{J} A_{χ}[G_{l}^{J}]} ⟶ \frac{A_{χ}[G_{p}]}{ẽ_{χ}N(J)⊗ℤ_{p}} et de la multi-

plication dans le deuxième anneau. ϕ se définit par factorisation avec π(ψ(ẽ_{χ}N_{l}^{J})) = 0. On peut vérifier que le diagramme commute. La propriété universelle du produit tensoriel donne donc , via ω, un homomorphisme réciproque à ϕ qui est un isomorphisme. On conclut la preuve en remarquant que chaque facteur de ⊗_{l} \frac{A_{χ}[G_{l,p}^{J}]}{ẽ_{χ}N_{l}^{J} A_{χ}[G_{l,p}^{J}]}

est un A_{χ}-module libre (de rang #G_{l,p}^{J} si ẽ_{χ}N_{l}^{J} = 0 et #G_{l,p}^{J} − 1 sinon) ce qui montre que leur produit tensoriel est sans ℤ_{p}-torsion. □

Démonstration de 6.4 : Voir la preuve de 6.2. □

Démonstration de 6.5 : Soit F_{K} le corps de genre abélien tel que K ⊂ F_{K} ⊂ ℚ(ζ_{cond(K)}) et tel que [F_{K} : K] est minimal. Alors l’extension F_{K}/K ne peut être ramifiée qu’aux places archimédiennes. F_{K}^{+}, le sous-corps réel maximal de K, est donc un sous-corps abélien sur ℚ du corps de classe de Hilbert de K. Donc p ∤ [F_{K}^{+} : K] et puisque p ≠ 2, p ne divise pas [F_{K} : K]. Cela prouve que la restriction réalise un isomorphisme entre la p-partie du groupe de Galois de F_{K} sur ℚ et celle du groupe de Galois de K sur ℚ. Les propriétés de restriction des sous-groupes d’inertie montrent que (K, p) vérifie l’hypothèse de 6.3 donc H.B. □

Proposition 6.6. Si #P(K) ≤ 2, alors K vérifie H.A.

Démonstration : Soit J ⊂ P. Si #J ≤ 1, il est clair que \frac{ℤ[G(J)]}{N(J)} est sans ℤtorsion. On peut donc supposer que l’on a J = P = {l_{1}, l_{2}}. On note ici G_{i} = Gal(K/K({l_{i}})) (pour i = 1 ou 2). Soit x ∈ ℤ[G_{K}] dont l’image est de torsion. Il s’agit de montrer que x ∈ N(P). Par hypothèse, il existe s ∈ ℤ tel que sx ∈ N(J). Soit H = G_{1} ∩ G_{2} et on désigne par N_{H} = ∑_{h∈H} h. On a évidemment s x ∈ (ℤ[G_{K}])^{H} = N_{H}ℤ[G_{K}] et comme \frac{ℤ[G_{K}]}{N_{H}ℤ[G_{K}]} est sans torsion on a aussi x ∈ N_{H}ℤ[G_{K}]. Soit donc x′ un élément de ℤ[G_{K}] tel que x = N_{H}x′. On fixe pour i = 1 ou 2 deux systèmes de représentants dans G_{i}, disons \{g_{i,k}\}_{k=1}^{k=t_{i}} du quotient \frac{G_{i}}{H}. Par hypothèse, il existe deux éléments x_{1} et x_{2} de ℤ[G_{K}] qui vérifient :

sx = sN_{H}x′ = N_{l_{1}}^{P}x_{1} + N_{l_{2}}^{P}x_{2} = N_{H} (∑_{j=1}^{j=t_{1}} g_{1,j}x_{1} + ∑_{j=1}^{j=t_{2}} g_{2,j}x_{2})

On utilise ici l’isomorphisme :

N_{H}ℤ[G_{K}] →^{ψ} ℤ[\frac{G_{1}}{H}] ⊗ ℤ[\frac{G_{2}}{H}]
N_{H}g ↦ g_{1,i}H ⊗ g_{2,j}H avec g_{1,i}g_{2,j}H = gH

On voit alors qu’il existe deux éléments, disons x̄_{1} et x̄_{2} de ℤ[\frac{G_{1}}{H}] ⊗ ℤ[\frac{G_{2}}{H}] tels que :

s ψ(N_{H}x′) = ( ∑_{g∈ \frac{G_{1}}{H}} g ⊗ 1)x̄_{1} + ( ∑_{g∈ \frac{G_{2}}{H}} 1 ⊗ g)x̄_{2}

Comme d’autre part il est clair que :

\frac{ℤ[\frac{G_{1}}{H}] ⊗ ℤ[\frac{G_{2}}{H}]}{ψ(N(J))} ≅ \frac{ℤ [\frac{G_{1}}{H} ]}{(∑_{k} g_{1,k}) ℤ [\frac{G_{1}}{H} ]} ⨂ \frac{ℤ [\frac{G_{2}}{H} ]}{(∑_{k} g_{2,k}) ℤ [\frac{G_{2}}{H} ]} est sans ℤ-torsion,

on a l’existence de deux éléments x′_{1} et x′_{2} tels que ψ(N_{H}x′) = (∑_{g} g ⊗ 1)x′_{1} + (∑_{g} 1 ⊗ g)x′_{2}. En appliquant ψ^{−1} on trouve ici :

x = N_{H}x′ = ∑_{i=1}^{i=t_{1}} g_{1,i}ψ^{−1}(x′_{1}) + ∑_{i=1}^{i=t_{2}} g_{2,i}ψ^{−1}(x′_{2}) ∈ N(P)

□

VI.2 Un contre-exemple avec p = 2.

Reprenons l’exemple p = 2 et K = ℚ(\sqrt{5 × 17}, \sqrt{5 × 13}) de la remarque 4.3. C’est un corps bi-quadratique dont les sous-corps sont :

M_{1} = ℚ (\sqrt{5 × 17}); M_{2} = ℚ (\sqrt{13 × 17}); M_{3} = ℚ (\sqrt{5 × 13})

Pour i ∈ {1, 2, 3} notons σ_{i} l’élément non trivial de Gal (M_{i}/ℚ), et ψ l’élément non trivial de Gal (𝔹_{1}/ℚ) = Gal (ℚ (\sqrt{2})). On remarque que pour #I = 1 on a K(I) = ℚ.

En utilisant le symbole de Legendre, on calcule les Frobenius suivants :

(\frac{M_{1}}{13} ) = (\frac{M_{1}}{2} ) = σ_{1}; (\frac{M_{2}}{5} ) = 1; (\frac{M_{2}}{2} ) = σ_{2};

(\frac{M_{3}}{17} ) = σ_{3}; (\frac{M_{3}}{2} ) = 1; (\frac{𝔹_{1}}{5} ) = (\frac{𝔹_{1}}{13} ) = ψ; (\frac{𝔹_{1}}{17} ) = 1

Pour l ∈ {5, 13, 17} on note J_{l} = P − {l}. En partant de l’identité 2 = N_{5}^{P} + N_{17}^{P} + N_{13}^{P} − N_{5}^{P}N_{17}^{P} et comme 17 est décomposé dans 𝔹_{1} et que ϵ_{1} ({13}) = (1 − (\frac{𝔹_{1}}{13} )) ϵ_{1} (∅) on obtient :

2 ϵ_{1} (P) = (1 − ψ)ϵ_{1} (J_{5}) + (1 − σ_{3})ϵ_{1} (J_{17}) + (1 − σ_{1}ψ)ϵ_{1} (J_{13}) .

De plus comme on a

(1 + σ_{1})ϵ_{1} (J_{13}) = (1 − (\frac{𝔹_{1}}{5} )) (1 − (\frac{𝔹_{1}}{17} )) ϵ_{1} (∅) = 0

et aussi

(1 + σ_{3})ϵ_{1} (J_{17}) = 2(1 − ψ)ϵ_{1} (∅)

on en déduit :

(†) 2 ϵ_{1} (P) = (1 − ψ)ϵ_{1} (J_{5}) + (1 + ψ)ϵ_{1} (J_{13}) + 2 ϵ_{1} (J_{17}) − 2 (1 − ψ)ϵ_{1} (∅)

Et en appliquant (1 − ψ) à (†) on trouve que :

2(1 − ψ)(ϵ_{1} (P) − ϵ_{1} (J_{5}) − ϵ_{1} (J_{17}) + (1 − ψ)ϵ_{1} (∅)) = 0

Comme D_{1} (K) est sans ℤ-torsion on a :

(1 − ψ)(ϵ_{1} (P) − ϵ_{1} (J_{5}) − ϵ_{1} (J_{17}) + (1 − ψ)ϵ_{1} (∅)) = 0

Soit u = (ϵ_{1} (P) − ϵ_{1} (J_{5}) − ϵ_{1} (J_{17}) + (1 − ψ)ϵ_{1} (∅)) on vient de montrer le :

Lemme 6.7.

u ∈ (D_{1} (K))^{G_{0}^{1}}

□

Il s’agit de montrer que u ∉ N_{0}^{1}D_{1} (K), auquel cas u sera un élément non trivial du Ĥ^{0} (G_{0}^{1}, D_{1} (K)), et cela montrera que la conclusion locale de 4.5 n’a pas lieu ici.

Pour ce faire nous utilisons la ℤ-base de N_{0}^{1}D_{1} (K) suivante :

Lemme 6.8. Les entiers {2; 2 ϵ_{0} (J_{13}) ; 2 ϵ_{0} (J_{5})} forment une ℤ-base de N_{0}^{1}D_{1} (K)

Démonstration : D’après la proposition 2.4 (2) et le lemme 2.3 (1) N_{0}^{1}D_{1} (K) est un ℤ-module libre de rang 3, et il s’agit de vérifier que notre système est générateur.

Mais ici on a :

N_{0}^{1}ϵ_{1} (∅) = 2
N_{0}^{1}ϵ_{1} (J_{17}) = 1
N_{0}^{1}ϵ_{1} (J_{13}) = (1 − σ_{1})ϵ_{0} (J_{13}) = 2 ϵ_{0} (J_{13})
N_{0}^{1}ϵ_{1} (J_{5}) = (1 − σ_{2})ϵ_{0} (J_{5}) = 2 ϵ_{0} (J_{5})

et

N_{0}^{1}ϵ_{1} (P) = (1 − (\frac{K}{2} )) ϵ_{0} (P)

Ici en utilisant 2 = N_{5}^{P} + N_{17}^{P} + N_{13}^{P} − N_{5}^{P}N_{17}^{P} on peut vérifier que : ϵ_{0} (P) = ϵ_{0} (J_{13}) + ϵ_{0} (J_{17}) et cela nous donne :

N_{0}^{1}ϵ_{1} (P) = 2 ϵ_{0} (J_{13})

De plus pour I ⊂ P tel que #(I) = 1, on a :

N_{0}^{1}ϵ_{1} (I) = 1 .

Ce qui prouve le lemme. □

On peut maintenant, montrer la proposition suivante :

Proposition 6.9. u ∉ N_{0}^{1}D_{1} (K)

Démonstration : Il suffit de calculer dans la base de 6.8 les coefficients de 2u = N_{0}^{1}u et de vérifier qu’ils ne sont pas divisibles par 2. Ce que l’on fait maintenant :

\begin{aligned}N_{0}^{1}u & = N_{0}^{1}ϵ_{1} (P) − N_{0}^{1}ϵ_{1} (J_{5}) − N_{0}^{1}ϵ_{1} (J_{17}) + N_{0}^{1}(1 − ψ)ϵ_{1} (∅) \\ & = 2 ϵ_{0} (J_{13}) − 2 ϵ_{0} (J_{5}) ∉ 2 N_{0}^{1}D_{1} (K) \end{aligned}

□

VI.3 Un contre-exemple avec p = 3.

Cet exemple avec p = 3, un peu plus difficile à décrire explicitement, est un peu plus significatif. Pour les problèmes survenant en 2 on pourra se rapporter à [Ku] où une amélioration explicite en 2 de C(K) est construite. Les calculs nécessaires à l’élaboration de cet exemple ont été réalisés à l’aide du logiciel GP PARI. Soit m = 7.181.673.3037, on va travailler dans un sous-corps de ℚ(ζ_{m}). Les premiers l_{i} ∈ {7, 181, 673, 3037} ont été choisis pour vérifier :

(1)  ∀i : l_{i} ≡ 1[3] et ∀j : i ≠ j ⟹ l_{i} est un cube modulo l_{j}

Les propriétés arithmétiques d’un corps K de conducteur m qui servent notre démarche sont les suivantes :

(a-)  G_{K} ≃ \frac{ℤ}{3ℤ} ⊕ \frac{ℤ}{3ℤ}

(b-) Chacun des quatre sous-groupes cycliques non triviaux de G_{K} est le sousgroupe d’inertie de l’un des quatre éléments de P (ici cela revient à dire que dans chaque sous-corps cubique de K, exactement trois éléments de P sont ramifiés).

Plusieurs sous-corps bi-cubiques de ℚ(ζ_{m}) vérifient la condition (b-). A titre d’exemple, on prend pour K le corps de rupture (et de décomposition) du polynôme qui suit :

X^{9} − 3X^{8} − 6335955X^{7} + 2459856427X^{6} + 9080370048953X^{5}
− 4520985235480441X^{4} − 1924917910115362484X^{3}
+ 843128942882377125914X^{2} + 16946067409725768149949X
− 14705849276302066316183777

Les quatre sous-corps cubiques de K (disons M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}) sont respectivement les corps de rupture des polynômes P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4} et respectivement les corps d’inertie dans K des premiers l_{1}, l_{2}, l_{3}, l_{4} suivants :

P_{1} = X^{3} − X^{2} − 123315360X + 296093881867; l_{1} = 7
P_{2} = X^{3} − X^{2} − 4769102X + 3507409816; l_{2} = 181
P_{3} = X^{3} − X^{2} − 1282626X − 442363571; l_{3} = 673
P_{4} = X^{3} − X^{2} − 284230X + 38592163; l_{4} = 3037

Enfin on a besoin de connaître le corps de décomposition de 3 dans K. Ici on a K_{dec} = M_{4}. On note {1, ψ, ψ^{2}} les éléments de G_{0}^{1} caractérisés par :

ψ = (\frac{𝔹_{1}}{7} )^{−1} = (\frac{𝔹_{1}}{673})^{−1} et ψ^{2} = (\frac{𝔹_{1}}{3037})^{−1}

Pour l ∈ P on notera J_{l} = P−{l}. En utilisant l’identité 3 = −N_{7}^{P}N_{181}^{P}+∑_{l∈P} N_{l}^{P}, le lemme 1.3 et le fait que 181 est décomposé dans 𝔹_{1} on constate qu’on a :

3ϵ_{1} (P) = ∑_{l∈P} N_{l}^{P}ϵ_{1} (P) − N_{7}^{P}N_{181}^{P}ϵ_{1} (P) = ∑_{l∈P} (1 − (\frac{K(J_{l})}{l})^{−1} (\frac{𝔹_{1}}{l} )^{−1}) ϵ_{1} (J_{l})

Mais ici les l ont été choisis de telle sorte que (\frac{K(J_{l})}{l}) = 1, et, notre équation se réécrit :

(†) 3ϵ_{1} (P) = (1 − ψ)ϵ_{1} (J_{7}) + (1 − ψ)ϵ_{1} (J_{673}) + (1 − ψ^{2})ϵ_{1} (J_{3037})

En utilisant les identités formelles (1 − ψ)(2 − ψ − ψ^{2}) = 3(1 − ψ), (1 − ψ^{2})(2 − ψ − ψ^{2}) = 3(1 − ψ)(1 + ψ) et (2 − ψ − ψ^{2}) = (1 − ψ)(1 − ψ^{2}) on voit qu’en multipliant (†) par 2 − ψ − ψ^{2} on obtient:

3(1 − ψ)(1 − ψ^{2})ϵ_{1} (P) = 3(1 − ψ) (ϵ_{1} (J_{7}) + ϵ_{1} (J_{673}) + (1 + ψ)ϵ_{1} (J_{3037}))

On note u = (1 − ψ^{2})ϵ_{1} (P) − (ϵ_{1} (J_{7}) + ϵ_{1} (J_{673}) + (1 + ψ)ϵ_{1} (J_{3037})). Comme D_{1} (K) est sans ℤ-torsion, cette dernière identité donne (1 − ψ)u = 0 c’est-à-dire u ∈ D_{1} (K)^{G_{0}^{1}}. Notre but dans cette section est de montrer :

Proposition 6.7. u ∈ D_{1} (K)^{G_{0}^{1}} et u ∉ N_{0}^{1}D_{1} (K) de telle sorte que l’on a :

Ĥ^{0}(G_{0}^{1}, D_{1} (K)) ≠ 0 et que D_{1} (K) ⊗ ℤ_{p} ≄ (ℤ_{p}[G_{0}^{1}])^{g_{P} f_{P} −g_{P} +1} ⊕ (\frac{ℤ_{p}[G_{0}^{1}]}{N_{0}^{1}})^{g_{P} +1}

Démonstration : Compte tenu de ce qui précède, il reste à voir que u ∉ N_{0}^{1}D_{1} (K). En fait, on montre quelque chose d’un peu plus fort :

Lemme 6.8. u ∉ D_{0} (K).

Remarque 6.9. Cela donne de plus que u ∈ C(K_{1})^{G_{0}^{1}} − C(K), et montre que l’hypothèse B n’est pas superflue, par exemple vis à vis de la proposition 5.14

Démonstration de 6.8 : On utilise une ℤ-base de D_{0} (K). Dans ce cas celle-ci est facile à construire. En fait les relations du lemme 1.3 permettent de voir, comme D_{0} (K) est sans ℤ-torsion et que tous les l ∈ P sont décomposés dans les K(J_{l}), que ϵ_{0} (P) = 1. On en déduit, en considérant les rangs sur ℤ, que D_{0} (K) coïncide avec la somme directe interne :

D_{0} (K) = ℤ 3 ⊕ ⨁_{l∈P} \frac{ℤ[G(J_{l})]}{N_{ℚ}^{K(J_{l})}} ϵ_{0} (J_{l}) ⊕ ⨁_{l∈P} ℤ l.

Pour conclure que u ∉ D_{0} (K), il suffit de calculer les coefficients dans cette base de 3u = N_{0}^{1}u. Or comme K_{dec} = K(J_{3037}) on a N_{0}^{1}ϵ_{1} (J_{3037}) = 1, et comme N_{0}^{1}ϵ_{1} (P) = 1, on en déduit :

\begin{aligned}N_{0}^{1}u & = −N_{0}^{1}ϵ_{1} (J_{7}) − N_{0}^{1}ϵ_{1} (J_{673}) \\ & = − (1 − (\frac{K(J_{7})}{3})^{−1}) ϵ_{0} (J_{7}) − (1 − (\frac{K(J_{673})}{3})^{−1}) ϵ_{0} (J_{673}) \end{aligned}

Et comme 3 est inerte dans K(J_{7}) et K(J_{673}), ces coefficients ne sont pas divisibles par 3. □

58

VII Les p-unités cyclotomiques de Solomon

Dans ce chapitre nous appliquons les techniques qui précèdent aux modules des p-unités cyclotomiques définies dans [So 1]. Comme dans [So 1] on suppose que p est totalement décomposé dans K. On reprend tout d’abord la construction de [So 1]. Pour toute la suite on fixe un ℤ_{p}-générateur γ de G_{0}^{∞}, et on notera E_{p}(K_{n}) le groupe des p-unités de K_{n}, c’est-à-dire les éléments de K_{n} de valuations nulles en tout idéal de K_{n} ne divisant pas p.

VII.1 Construction des p-unités cyclotomiques.

Soit I tel que ∅ ≠ I ⊂ P. Comme p est totalement décomposé dans K, pour tout m ≥ n on a N_{0}^{m}ϵ_{m} (I) = 1, et le théorème de Hilbert 90, donne l’existence d’un unique β_{m}(I) ∈ K_{m}(I)^{×}/K(I)^{×}, tel que :

(β_{m}(I))^{γ−1} = ϵ_{m} (I)

De plus comme pour tout m ≥ n > 0, on a N_{n}^{m}ϵ_{m} (I) = ϵ_{n} (I), on a évidemment aussi N_{n}^{m}β_{m}(I) = β_{n}(I), en notant N_{n}^{m} l’application :

K_{m}(I)^{×}/K(I)^{×} ⟶ K_{n}(I)^{×}/N_{n}^{m}K(I)^{×}

On fixe un n ∈ ℕ, pour tout m > n, les éléments N_{n}^{m}β_{m}(I) définissent, via la surjection K_{n}(I)^{×}/N_{n}^{m}(K(I)^{×}) ⟶ K_{n}(I)^{×}/ (K_{n}(I)^{×})^{p^{m−n}} une suite d’éléments cohérents pour les applications de restrictions naturelles :

K_{n}(I)^{×}/ (K_{n}(I)^{×})^{p^{m−n}} ⟶ K_{n}(I)^{×}/ (K_{n}(I)^{×})^{p^{m−1−n}}

Dans [So 2] les suites définies ainsi ont été notées :

Définition 7.1.

κ_{n}(I, γ) = (N_{n}^{n+1}(β_{n+1}(I)), ..., N_{n}^{m}(β_{m}(I)), ...) ∈ lim_{m>n^{⟵}} (K_{n}(I)^{×}/ (K_{n}(I)^{×})^{p^{m−n}})

Ici, pour simplifier les notations on les notera κ_{n}(I), et on rapelle que γ est fixé une fois pour toute. Toujours dans [So 1] les valuations (à valeur dans ℤ_{p}) de ces κ_{n}(I) ont été calculées pour n = 0. En fait comme ces valuations sont nulles en tout idéal ne divisant pas p, et que les idéaux divisant p se ramifient totalement dans l’extension K_{∞}/K, les calculs de [So 1] valent pour n > 0.

Lemme 7.2. Soit ∅ ≠ I ⊂ P, et soit 𝔓 un idéal premier de K_{n}(I), et v_{𝔓} la valua-

tion à valeurs dans ℤ_{p} associée à 𝔓 de lim_{m>n^{⟵}}K_{n}(I)^{×}/ (K_{n}(I)^{×})^{p^{m−n}}. Cette valuation

est l’application limite des valuations modulo p^{m−n} sur K_{n}(I)^{×}/ (K_{n}(I)^{×})^{p^{m−n}}. Alors on a :

(1) Si 𝔓 ne divise pas p, alors v_{𝔓}(κ_{n}(I)) = 0

(2) Si 𝔓 divise p, soient ℘ = 𝔓 ∩ K(I) et σ_{℘} le plongement de K(I) dans ℚ_{p} correspondant à ℘. D’autre part G_{0}^{∞} s’identifie naturellement avec un sous-groupe de Gal (ℚ (ζ_{p})_{∞} /ℚ) qui correspond via l’application du corps de classe au sousgroupe (1 + qℤ_{p}) de ℤ_{p}^{×}. On note γ̃ l’élément de (1 + qℤ_{p}) qui correspond à γ, et on note log_{p} le logarithme p-adique. On a :

v_{𝔓}(κ_{n}(I)) = v_{℘}(N_{0}^{n}(κ_{n}(I))) = v_{℘}(κ_{0}(I)) = \begin{matrix}log & p & (σ_{℘} (ϵ_{0} (I))) \\ log & p & \binom{}{γ̃} \end{matrix}

Démonstration : Pour (2) la dernière égalité est le théorème 2.1 de [So 1], la première vient de ce que ℘ se ramifie totalement dans K_{n}(I)/K(I) et on déduit la deuxième de l’identité N_{n}^{m}(κ_{m}(I)) = κ_{n}(I) qui s’obtient à partir de N_{n}^{m}(ϵ_{m} (I)) = ϵ_{n} (I). □

Démonstration de (1) : On adapte au cas n > 0 la preuve de la proposition 2.2 de [So 1]. Il s’agit de vérifier que pour chaque m > n on a v_{𝔓} (N_{n}^{m} (β_{m}(I))) ≡ 0 [p^{m−n}]. Soit \overline{γ_{n}} la restriction de γ^{p^{n}} à K_{m} et soit D = ∑_{i=1}^{i=p^{m−n}−1} i \overline{γ_{n}}^{i} ∈ ℤ[G_{n}^{m}], de telle sorte que l’on ait : (\overline{γ_{n}} − 1) D = p^{m−n} − N_{n}^{m} Soit b ∈ β_{m}(I) ⊂ K_{m}(I) et soit k = N_{n}^{m} (b). Soit δ = ∑_{i=0}^{i=p^{n}−1} γ^{i} ∈ ℤ[G_{0}^{m}], on a (\overline{γ_{n}} − 1) = δ(γ − 1). On note α la p-unité suivante α = (ϵ_{m} (I))^{δ}.

Alors on a :

b^{\overline{γ_{n}}−1} = α

et en appliquant D on trouve :

k = b^{p^{m−n}}/α^{D}

Soit 𝔓̃ un premier de K_{m}(I) divisant 𝔓. Comme 𝔓 ne divise pas p il ne se ramifie pas dans K_{m}(I) et cela donne :

v_{𝔓} (N_{n}^{m} (β_{m}(I))) ≡ v_{𝔓} (k) ≡ v𝔓̃ (k) ≡ −v𝔓̃ (α^{D}) ≡ 0

comme attendu. □

Lemme 7.3. Soit I ⊂ P. Alors on a :

κ_{n}(I) ∈ lim_{m>n^{⟵}} (E_{p} (K_{n}(I)) / (E_{p} (K_{n}(I))^{p^{m−n}})) ⊂ lim_{m>n^{⟵}} (K_{n}(I)^{×}/ (K_{n}(I)^{×})^{p^{m−n}})

Démonstration : Il s’agit de montrer que N_{n}^{m}β_{m}(I) ∩ E_{p}(K_{n}(I)) est non vide pour tout m. On note I′(K_{n}(I)) le groupe des idéaux fractionnaires de K_{n}(I) étranger à p. Soit θ l’homomorphisme qui envoie a ∈ K_{n}(I) sur la projection naturelle dans I′(K_{n}(I)) de l’idéal principal (a). Soit P′(K_{n}(I)) l’image de θ. Le quotient I′(K_{n}(I))/P′(K_{n}(I)) est fini, car c’est un quotient du groupe des classes de K_{n}(I). Soit p^{s} la puissance de p qui divise son annulateur d. Soit k ∈ N_{n}^{m+s}(β_{m+s}(I)). D’après le lemme 7.2 (1), on a θ(k) ∈ (p^{m+s−n}I′(K_{n}(I))) ∩ P′(K_{n}(I)). Donc il existe 𝔞 ∈ I′(K_{n}(I)) tel que p^{m+s−n}𝔞 = θ(k) ∈ P′(K_{n}(I)). Comme on a aussi d 𝔞 ∈ P′(K_{n}(I)) et que p^{s} est le p.g.c.d. de d et p^{m+s−n}, on en déduit que p^{s}𝔞 ∈ P′(K_{n}(I)). Donc on a θ(k) ∈ p^{m−n}P′(K_{n}(I)) = θ (K_{n}(I)^{p^{m−n}}). C’est-à-

dire qu’il existe un x ∈ K_{n}(I) tel que y = kx^{−p^{m−n}} ∈ ker θ = E_{p}(K_{n}(I)). Comme k ∈ N_{n}^{m}(β_{m}(I)) on a y ∈ N_{n}^{m}β_{m}(I) ∩ E_{p}(K_{n}(I)). □

A partir d’ici on va travailler dans le module lim_{m>n^{⟵}}E_{p}(K_{n})/E_{p}(K_{n})^{p^{m−n}} que l’on

identifie avec E_{p}(K_{n})⊗ℤ_{p}. Les p-unités qui précèdent ont été définies de telle sorte qu’elles vérifient :

Lemme 7.4. κ_{n}(I)^{γ−1} = ϵ_{n} (I) ⊗ 1 ∈ E_{p}(K_{n}) ⊗ ℤ_{p}

□

On va maintenant s’intéresser à la ℤ_{p}[G_{K_{n}}]-structure du module engendré par ces κ_{n}(I).

VII.2 Caractères et premières propriétés de ces p-unités.

A partir d’ici on note additivement l’action de ℤ_{p}[G_{K_{n}}] sur E_{p}(K_{n}) ⊗ ℤ_{p}.

Définition 7.5. On note K_{n}(K) le ℤ_{p}[G_{K_{n}}]-module engendré dans E_{p}(K_{n}) ⊗ ℤ_{p} par :

K_{n}(K) = ⟨{ϵ_{n} (∅)} ∪ {κ_{n}(I); ∅ ≠ I ⊂ P}⟩

On commence par calculer le caractère (à valeurs dans ℚ_{p} ) de ce module. Soit χ_{reg} le caractère régulier pour G_{K_{n}} (i.e. le caractère de ℚ_{p}[G_{K_{n}}]) et soit χ (K_{n}(K)) le caractère donné par le ℚ_{p}-espace K_{n}(K) ⊗_{ℤ_{p}} ℚ_{p}, alors on a :

Lemme 7.6.

χ (K_{n}(K)) = χ_{reg}

Démonstration : Il suit de l’équation (23) de [So 2] que ce lemme est vrai pour n = 0. Pour n > 0, il suffit d’utiliser la suite exacte suivante :

1 wK_{0}(K) ⊗_{ℤ_{p}} ℚ_{p}  wK_{n}(K) ⊗_{ℤ_{p}} ℚ_{p}  w γ − 1 (D_{n} (K) ∩ E(K_{n})) ⊗_{ℤ} ℚ_{p}  w1

L’exactitude à gauche provient des identités N_{n}^{m}κ_{n}(I) = κ_{0}(I), et N_{n}^{m}ϵ_{n} (∅) = p. L’exactitude à droite est donnée par 7.4 et le fait que D_{n} (K) ∩ E(K_{n}) est engendré par (γ − 1) (ϵ_{n} (∅)) et les autres ϵ_{n} (I). Enfin le caractère de D_{n} (K) ∩ E(K) se déduit facilement du lemme 2.3 (5) de la proposition 2.4 (1) et du fait que N_{ℚ}^{K_{n}}(D_{n} (K)) ≃ ℤ. □

On va maintenant établir des relations de normes entre les κ_{n}(I)

Lemme 7.7. Soit I ⊂ P et soit l ∈ I.

(1) Si I − {l} ≠ ∅, alors on a :

N_{K_{n}(I−\{l\})}^{K_{n}(I)}(κ_{n}(I)) = (1 − (\frac{K_{n}(I − \{l\})}{l})^{−1}) (κ_{n}(I))

(2) Si I = {l}, il existe un unique y_{l} = y_{l}(n, γ) ∈ ℤ_{p}[G_{0}^{n}] tel qu’on ait :

N_{𝔹_{n}}^{K_{n}(I)}(κ_{n}(I)) = y_{l} ϵ_{n} (∅)

Démonstration de (1) : Soit m ∈ ℕ, m > n, et soit ψ l’application injective qui factorise la multiplication par (γ − 1) : K_{n}^{×}(I − {l})/K^{×}(I − {l}) ⟶ K_{n}^{×}(I − {l}), on a :

ψ (N_{K(I−{l})}^{K(I)}(β_{m}(I))) = N_{K(I−{l})}^{K(I)}(ϵ_{m} (I))

= (1 − (\frac{K_{m}(I − \{l\})}{l})^{−1}) ϵ_{m} (I − \{l\})

= ψ ((1 − (\frac{K_{m}(I − \{l\})}{l})) β_{m}(I − \{l\}))

On en déduit l’identité (dans K_{n}^{×}(I − {l})/ (K_{n}^{×}(I − {l}))^{p^{m−n}}) :

N_{K(I−\{l\})}^{K(I)}N_{n}^{m}β_{m}(I) = (1 − (\frac{K_{m}(I − \{l\})}{l})^{−1}) N_{n}^{m}β_{m}(I)

Et en passant à la limite, cette identité donne (1). □ Démonstration de (2) : En appliquant ce qui précède au cas I = {l}, on obtient l’identité (dans E_{p}(𝔹_{n}) ⊗ ℤ_{p}) :

(γ − 1)N_{𝔹_{n}}^{K_{n}(\{l\})}κ_{n}(\{l\}) = (1 − (\frac{𝔹_{n}}{l} )^{−1}) ϵ_{n} (∅)

Comme la restriction de γ à K_{n} engendre G_{0}^{n}, il existe un z_{l} ∈ ℤ_{p}[G_{0}^{n}] tel que (γ − 1) z_{l} = (\frac{𝔹_{n}}{l} )^{−1}. On voit donc que N_{𝔹_{n}}^{K_{n}(\{l\})}(κ_{n}(\{l\})) − z_{l}ϵ_{n} (∅) appartient à (E_{p}(K_{n}) ⊗ ℤ_{p})^{G_{Kn}} = ℤ_{p} (p ⊗ 1).

Mais comme on a p = N_{0}^{n}ϵ_{n} (∅) il existe un t_{l} ∈ ℤ_{p}[G_{0}^{n}] qui vérifie :

N_{𝔹_{n}}^{K_{n}(I)}(κ_{n}(I)) − z_{l}ϵ_{n} (∅) = t_{l}ϵ_{n} (∅)

Pour conclure à l’existence de y_{l} il suffit de poser y_{l} = z_{l} + t_{l}. D’autre part son unicité provient de ce que l’annulateur dans ℤ_{p}[G_{0}^{n}] de ϵ_{n} (∅) ⊗ 1 est nul. □

VII.3 ℤ_{p}[G_{0}^{n}]-structure de K_{n}(K).

On va appliquer des techniques très semblables à celles des chapitres III et IV, pour étudier le module K_{n}(K). Par contre ici les preuves se simplifient considérablement car on n’a pas la gêne occasionnée par un équivalent de V_{n}. On commence par quelques définitions.

Définition 7.8. on reprend la notation w_{n} (J) des chapitres III et IV, ainsi que la relation d’ordre ≺ de 3.4. Soient n ∈ ℕ et J ⊂ P.

(1) On forme la somme directe :

\overline{L_{n} (J)} = ⨁_{I≺J} ℤ_{p}[G(J)] ⊗ ℤ_{p}[G_{0}^{n}] w_{n} (I)

et de même qu’en 3.5, pour I ≺ J on considérera \overline{L_{n} (I)} comme un sous-module (facteur direct) de \overline{L_{n} (J)}. \overline{L_{n} (J)} correspond à L_{n} (J) et on a \overline{L_{n} (J)} = L_{n} (J)⊗ℤ_{p}.

(2) Soit l ∈ J, on définit T_{n}(J, l) ∈ \overline{L_{n} (J)} par :

\begin{aligned}T_{n}(J, l) & = N_{K(J−\{l\})}^{K(J)} ⊗ 1 w_{n} (J) − w_{n} (J − \{l\}) \\ & + ((\frac{K(J − \{l\})}{l})^{−1} ⊗ (\frac{𝔹_{n}}{l} )^{−1}) w_{n} (J − \{l\}) \end{aligned}

lorsque J ≠ {l}, auquel cas on a T_{n}(J, l) = R_{n}(J, l) ⊗ 1 et par :

T_{n}(J, l) = (N_{ℚ}^{K(J)} ⊗ 1) w_{n} (J) − (1 ⊗ y_{l}) w_{n} (∅)

lorsque J = {l}.

(3) On désignera par T_{n} (J) le sous ℤ_{p}[G_{K}] ⊗ ℤ_{p}[G_{0}^{n}]-module de \overline{L_{n} (J)} engendré par les T_{n}(I, l) suivants :

T_{n} (J) = ⟨{T_{n}(I, l); I ⊂ P; I ≺ J; l ∈ I}⟩

T_{n} (J) est l’analogue de H_{n} (J)

(4) On obtient évidemment une surjection de ℤ_{p}[G_{K}]⊗ℤ_{p}[G_{0}^{n}]-modules \overline{L_{n} (P)} ⟶ K_{n}(K), en envoyant les w_{n} (I) sur κ_{n}(I), pour I ≠ ∅, et w_{n} (∅) sur ϵ_{n} (∅). D’après le lemme 7.7 cet homomorphisme se factorise en :

η_{n} : \frac{\overline{L_{n} (P)}}{T_{n} (P)} ⟶ K_{n}(K)

Proposition 7.9. On reprend les notations G(I) et N(I) du chapitre III. Posons A = ℤ_{p} si (K, p) vérifie H.B., et A = ℚ_{p} sinon. Pour tout I ⊂ P, il existe une surjection de A[G_{0}^{n}]-modules :

ψ_{n}(I) : ⨁_{J≺I} \frac{ℤ_{p}[G(J)]}{N(J) ⊗ ℤ_{p}} ⊗_{ℤ_{p}} A[G_{0}^{n}] ⟶ \frac{\overline{L_{n} (I)}}{T_{n} (I)} ⊗_{ℤ_{p}} A

Démonstration : La preuve est exactement calquée sur celle de la proposition 4.6. Ici K_{n}(K) joue le rôle de D_{n} (K), T_{n} (I) celui de H_{n} (I), A celui de R. Les deux ingrédients importants sont ici aussi la A[G_{0}^{n}]-liberté du module de départ de ψ_{n}(I) et le fait que les relations sont des relations de normes. □

On obtient ainsi les deux théorèmes suivants (analogues des théorèmes 4.5 et 3.6).

Théorème 7.10. Supposons que (K, p) vérifie H.B., alors l’application composée η_{n} ∘ ψ_{n}(P) est un isomorphisme entre deux ℤ_{p}[G_{0}^{n}]-modules libres de rang g_{P}f_{P}. En particulier η_{n} est un isomorphisme de ℤ_{p}[G_{K}] ⊗ ℤ_{p}[G_{0}^{n}]-modules.

Démonstration : Les lemmes 4.9 et 7.6 donnent les identités :

rang_{ℤ_{p}} (⨁_{J⊂P} \frac{ℤ_{p}[G(J)]}{N(J) ⊗ ℤ_{p}} ⨂_{ℤ_{p}} ℤ_{p}[G_{0}^{n}]) = rang_{ℤ_{p}} (K_{n}(K)) = g_{P}f_{P}p^{n}

Donc comme η_{n} ∘ψ_{n}(P) est surjective et que (⊕_{J⊂P}ℤ_{p}[G(J)]/N(J) ⊗ ℤ_{p})⊗ℤ_{p}[G_{0}^{n}] est sans ℤ_{p}-torsion le noyau de cette composée est nul. □

Théorème 7.11. En toute généralité le noyau de η_{n} est fini.

Démonstration : En appliquant le même raisonnement que pour 7.10 on constate que le noyau de l’application obtenue à partir de η_{n} par tensorisation avec ℚ_{p} est nul. Et cela entraine que le noyau de η_{n} est fini. □

Remarque 7.12. En utilisant la même démarche que dans [So 1], on peut voir que K_{n}(I) est sans ℤ_{p}-torsion (cela ne pose de problèmes que lorsque p = 2). De cette manière on montre que ker η_{n} coïncide avec la ℤ_{p}-torsion de \overline{L_{n} (P)}/T_{n}(P).

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