Sous-modules d’unités en théorie d’Iwasawa

Jean-Robert Belliard

Université de Franche-Comté, Laboratoire de mathématiques UMR 6623, 16 route de Gray, 25030 Besançon cedex, France.

                       belliard@math.univ-fcomte.fr

10 septembre 2002

Résumé On donne une condition nécessaire et suffisante, en termes de “descente galoisienne”, pour que le module d’Iwasawa obtenu à partir des unités circulaires à la Sinnott soit libre. On détaille ensuite des exemples qui ne satisfont pas à cette condition.

0 Introduction

Soit p un nombre premier impair fixé. Soit K un corps de nombres et K_{∞}/K une ℤ_{p}-extension. On utilise les notations habituelles qui suivent : Γ := Gal(K_{∞}/K), Γ_{n} := Γ^{p^{n}}, G_{n} := Γ/Γ_{n} et K_{n} := K_{∞}^{Γ_{n}}. Dans toute la suite \overline{U}_{n} désignera le pro-p-complété du quotient des unités de K_{n} par les racines de l’unité de K_{n} et Λ = ℤ_{p}[[Γ]] l’algèbre d’Iwasawa usuelle. L’objet de cet article est de dégager une condition nécessaire et suffisante à la liberté du Λ-module \overline{C}_{∞} obtenu par passage à la limite projective à partir du pro-p-complété modulo sa torsion du module des unités circulaires de Sinnott ([Si], la définition est rappelée en 2.1 ci-dessous). Ce module est défini lorsque K est abélien sur ℚ et est un sous-module de \overline{U}_{∞} := lim_{←} \overline{U}_{n}.

Dans la première section on redonne une démonstration de critères généraux de Λ-liberté, vraisemblablement connus. La proposition 1.3 fournit un critère suffisamment fin pour conduire à une équivalence si on l’applique au module \overline{C}_{∞}. Cette équivalence (théorème 2.2) est le résultat principal de ce travail, elle est démontrée dans la deuxième section. La troisième partie illustre le théorème 2.2, par des contre-exemples à la Λ-liberté de \overline{C}_{∞}. Les cas de Λ-liberté de ce module sont nombreux et connus (on peut consulter par exemple le §1 de [Kuz2], ou [B]). On donne ici une famille infinie d’exemples pour lesquels on démontre que cette liberté n’a pas lieu. D’autres exemples avec la même propriété ont été étudiés indépendamment par R. Kučera ([Kuč]) dans le but d’établir la différence entre le module des unités cyclotomiques de Sinnott et celui de Washington. En cours de route on établit ici que ces modules sont égaux si et seulement si \overline{C}_{∞} est Λ-libre (proposition 3.6).

1 Généralités

1.1 Critères de Λ-liberté

On commence par rappeler deux lemmes tout à fait classiques, dont on redonne une démonstration pour la commodité du lecteur : Lemme 1.1 Soit X un Λ-module de type fini. Notons X^{Γ} (resp. X_{Γ}) les invariants (resp. co-invariant) de X sous l’action de Γ. Alors X est Λ-libre si et seulement si X^{Γ} = 0 et X_{Γ} est ℤ_{p}-libre. Dans ce cas la dimension sur Λ de X est égale à celle de X_{Γ} sur ℤ_{p}. Démonstration. L’implication directe est immédiate. on vérifie la réciproque. Considérons une ℤ_{p}-base \{\overline{x}_{1}, ⋯, \overline{x}_{n}\} de X_{Γ} et relevons la en \{x_{i}, 1 ≤ i ≤ n} ⊂ X. Par le lemme de Nakayama on obtient déjà des générateurs en nombre voulu. De plus toute relation non-triviale entre les x_{i} conduit en premier lieu à une relation non divisible par T entre ces éléments puisque X est supposé sans T -torsion, puis à une relation non-triviale entre les \overline{x}_{i}.

□

Lemme 1.2 Soit Y un Λ-module libre de type fini et X un sous-module d’indice fini de Y. Alors X est Λ-libre si et seulement si X = Y.

Démonstration. Puisque X ⊂ Y on a déjà X^{Γ} = 0. Ainsi par le lemme 1.1 X est Λ-libre si et seulement si X_{Γ} est ℤ_{p} libre. La suite de Γ-cohomologie provenant de la suite courte \xymatrix{0 \ar[r] & X \ar[r] & Y \ar[r] & X/Y \ar[r] & 0}fournit la suite exacte

\xymatrix{0 \ar[r] & (X/Y)^{Γ} \ar[r] & X_{Γ} \ar[r] & Y_{Γ}} . Donc X_{Γ} est ℤ_{p}-libre si et seulement si

(X/Y)^{Γ} est sans ℤ_{p}-torsion c’est-à-dire trivial. Comme X/Y est supposé fini on a les équivalences X/Y = 0 ⟺ (X/Y)_{Γ} = 0 ⟺ (X/Y)^{Γ} = 0.

□ Avant de donner des applications, on va énoncer un autre critère, un peu

moins connu. Pour ce, détaillons le contexte général dans lequel ce critère s’applique, contexte qui se produit très souvent en arithmétique. Il s’agit de la donnée de deux suites, disons M_{n} ⊂ L_{n}, de ℤ_{p}[G_{n}]-modules munis, pour m ≥ n, d’homomorphismes équivariants de norme N_{m,n}: L_{m} ⟶ L_{n} et d’extension i_{n,m}: L_{n} ⟶ L_{m} tels que :

1) Les restrictions des N_{n,m} et des i_{m,n} définissent des homomorphismes N_{m,n}: M_{m} ⟶ M_{n} et i_{n,m}: M_{n} ⟶ M_{m}

2) les composées i_{n,m} ∘ N_{m,n} coïncident avec la multiplication par la trace algébrique Tr_{m,n} := ∑_{g∈Gal(K_{m}/K_{n})} g ∈ ℤ_{p}[G_{m}].

3) les composées N_{m,n} ∘ i_{n,m} coïncident avec la multiplication par p^{m−n}. Dans ce contexte on a le critère : Proposition 1.3 On suppose que les suites L_{n} et M_{n} vérifient les conditions suivantes :

(i) L_{∞} := lim_{←} L_{n} est Λ-libre.

(ii) Les homomorphismes i_{n,m}: L_{n} ⟶ L_{m}^{Gal(K_{m}/K_{n})} sont injectifs.

(iii) La suite M_{n} vérifie asymptotiquement la ”descente galoisienne”, (i.e. il existe un N ∈ ℕ tel que pour tout n ≥ N on l’égalité M_{n+1}^{Gal(K_{n+1}/K_{n})} = i_{n,n+1}(M_{n})).

Alors M_{∞} := lim_{←} M_{n} est aussi Λ-libre.

Démonstration. On va appliquer le lemme 1.1 à X = M_{∞}. Les inclusions M_{n} ⊂ L_{n} donnent par passage à la limite l’inclusion M_{∞}^{Γ} ⊂ L_{∞}^{Γ}. Puisque L_{∞} est supposé Λ-libre on obtient donc M_{∞}^{Γ} = 0. Ainsi il reste à montrer la liberté du ℤ_{p}-module (M_{∞})_{Γ}. En appliquant la suite longue de Γ-cohomologie à la suite \xymatrix{0 \ar[r] & M_{∞} \ar[r] & L_{∞} \ar[r] & L_{∞}/M_{∞} \ar[r] & 0}on obtient :

\xymatrix{0 \ar[r] & (L_{∞}/M_{∞})^{Γ} \ar[r] & (M_{∞})_{Γ} \ar[r] & (L_{∞})_{Γ}} .

La Λ-liberté de L_{∞} fournit la ℤ_{p}-liberté de (L_{∞})_{Γ}, et il suffit donc de montrer que (L_{∞}/M_{∞})^{Γ} est sans ℤ_{p}-torsion ou encore que le sous-Λ-module fini maximal de L_{∞}/M_{∞} est trivial. Notons F_{∞} ⊂ L_{∞}/M_{∞} ce sous-module et posons F_{n} ⊂ L_{n}/M_{n} pour ses projections naturelles. Par compacité de F_{∞} on a F_{∞} = lim_{←} F_{n}, et pour conclure la preuve de 1.3 il nous reste à vérifier le : Lemme 1.4 ∀n ∈ ℕ, F_{n} = 0. Démonstration de 1.4 . Soit un N vérifiant 1.3 (iii). On remarque d’abord que la suite des L_{n}/M_{n}, et donc la suite des F_{n}, est encore munie d’homomorphismes de norme et d’extension que l’on note encore N_{m,n} et i_{n,m} par abus de langage. Puisque F_{∞} est fini il existe un N′ ∈ ℕ tel que Γ_{N′} agit trivialement sur F_{∞}. On peut prendre N′ ≥ N. Puisque par définition F_{∞} ⟶ F_{n} est surjective Γ_{N′} agit aussi trivialement sur tous les F_{n}. De plus il suffit de vérifier le lemme pour n ≥ N′. Les ordres des F_{n} sont bornés, disons par #F_{∞} = p^{b}. Fixons donc n ≥ N′ et soit f_{n} ∈ F_{n}. Il existe alors un f_{n+b} ∈ F_{n+b} tel que f_{n} = N_{n+b,n}(f_{n+b}) et donc i_{n,n+b}(f_{n}) = i_{n,n+b} ∘N_{n+b,n}(f_{n+b}) = Tr_{n+b,n}(f_{n+b}) = p^{b}f_{n+b} = 0. Ainsi F_{n} est contenu dans le noyau : F_{n} ⊂ ker {i_{n,n+b}: L_{n}/M_{n} ⟶ L_{n+b}/M_{n+b}}. En appliquant 1.3 (ii) et le lemme du serpent dans le diagramme

\xymatrix{0 \ar[r] & M_{n} \ar[r] \ar[d]^{i_{n,n+b}} & L_{n} \ar[d]^{i_{n,n+b}} \ar[r] & L_{n}/M_{n} \ar[d]^{i_{n,n+b}} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & M_{n+b} \ar[r] & L_{n+b} \ar[r] & L_{n+b}/M_{n+b} \ar[r] & 0}

on obtient la suite exacte

\xymatrix{0 \ar[r] & ker \{L_{n}/M_{n} → L_{n+b}/M_{n+b}\} \ar[r] & ker \{M_{n+b}/M_{n} → L_{n+b}/L_{n}\}} .

Ce second noyau est trivial puisque par 1.3 (iii) on a

ker \{M_{n+b}/M_{n} → L_{n+b}/L_{n}\} = \frac{L_{n} ∩ M_{n+b}}{M_{n}} ⊂ \frac{M_{n+b}^{Gal(K_{n+b}/K_{n})}}{M_{n}} = 0.

Cela montre le lemme 1.4 et la proposition 1.3 suit.

□

1.2 Applications

On va appliquer la proposition 1.3 à divers sous-modules d’unités. Lorsqu’elles ont lieu, les propriétés (ii) et (iii) de 1.3 sont plutôt aisées à vérifier. On a donc besoin de trouver un module Λ-libre qui puisse jouer le rôle de L_{∞}. Notons \overline{U}′_{n} le pro-p-complété du module des (p)-unités de K_{n} (i.e. les nombres de valuations triviales en toute place ne divisant pas p) modulo sa torsion (i.e. modulo les racines de l’unités de K_{n}). Sous certaines hypothèses, un résultat de Greither montre que L_{n} = \overline{U}′_{n} convient. Résumons ce résultat : Théorème 1.5 ([G3]) On Suppose ou bien que K_{∞}/K est cyclotomique ou bien que K ne contient pas de racine p-ième de l’unité. Alors \overline{U}′_{∞} := lim_{←} \overline{U}′_{n} est Λ-libre de rang r_{1} + r_{2} + g, où (r_{1}, r_{2}) est la signature de K et g est le nombre de places divisant p qui sont totalement décomposées dans K_{∞}/K . Démonstration. Ce sont le théorème et la proposition 1 de [G3], et lorsque K_{∞}/K est cyclotomique c’est un théorème de Kuz′Min (voir [Kuz1] theorem 7.2)

□

Corollaire 1.6 Sous les mêmes hypothèses que 1.5, \overline{U}_{∞} := lim_{←} \overline{U}_{n} est Λ-libre.

Démonstration. Il suffit d’appliquer la proposition 1.3 aux modules M_{n} = U_{n} et L_{n} = U′_{n}.

□ Signalons que 1.3 en conjonction avec la conjecture de Leopoldt et un théorème d’Iwasawa (voir [I], theorem 25) permettent de retrouver un cas particulier du théorème 1.5 en prenant pour modules M_{n} = \overline{U}′_{n} et pour modules L_{n} la somme directe des pro-p-complétés des groupes multiplicatifs locaux aux places divisant p.

2 Unités cyclotomiques

Philosophiquement les résultats qui suivent s’appliquent à la distribution d’Iwasawa (voir [BO], §3). Ils s’appliquent donc aux unités de Stark des extensions abéliennes relatives, dès que ces dernières existent. Ici on se restreint aux extensions abéliennes sur ℚ afin de disposer des (nombreuses versions) des unités cyclotomiques. On suppose dorénavant que K est un corps de nombres absolument abélien, et on note G son groupe de Galois. Puisque p est impair on peut aussi supposer, sans perte de généralité, que K est totalement réel. Dans ce contexte, le corollaire 1.6 s’applique et fournit la Λ-liberté de \overline{U}_{∞}. Cela nous permet d’obtenir, pour le module des unités circulaires de Sinnott une réciproque au critère de la proposition 1.3. Rappelons la définition de ce module : Définition 2.1 ([Si]) Pour m ∈ ℕ on note ζ_{m} = exp(2iπ/m) la racine primitive m^{ième} de l’unité définie par le choix d’un plongement de \overline{ℚ} dans ℂ. Soit D le sous-ℤ[G]-module de K^{×} multiplicativement engendré par −1 et les nombres de la forme ε_{K,m,a} = N_{ℚ(ζ_{m}),K∩ℚ(ζ_{m})}(1−ζ_{m}^{a}) où m parcourt ℕ et m ∤ a. Sinnott définit le module des unités circulaires de K, noté C_{K}, comme l’intersection de D avec les unités U_{K} de K : C_{K} = D ∩ U_{K}. Dans la suite on utilisera les notations suivantes :

\overline{C}_{K} := C_{K} ⊗ ℤ_{p},  \overline{C}_{n} := \overline{C}_{K_{n}} pour n ∈ ℕ,  \overline{C}_{∞} := lim_{←} \overline{C}_{n},

C̃_{n} := Im(\overline{C}_{∞} ⟶^{nat} \overline{C}_{n}), ε_{K,m} = N_{ℚ(ζ_{m}),K∩ℚ(ζ_{m})}(1 − ζ_{m}) pour m > 1

Un argument de compacité standard donne l’égalité C̃_{n} = ⋂_{m≥n} N_{K_{m},K_{n}}(\overline{C}_{m}). Les suites de modules M_{n} = \overline{C}_{n} et L_{n} = \overline{U}′_{n} sont munies des homomorphismes de normes et d’extensions habituels qui vérifient trivialement les conditions 1),

2) et 3) du §1.1 et la condition (ii) de la proposition 1.3. D’après le théorème 1.5, L_{∞} = \overline{U}′_{∞} vérifie l’hypothèse (i) de la même proposition. On va démontrer l’équivalence suivante : Théorème 2.2 Le Λ-module \overline{C}_{∞} est libre si et seulement si la suite M_{n} = \overline{C}_{n} vérifie la condition (iii) de 1.3, à savoir :

\overline{C}_{∞} est Λ libre ⟺ ∃ N ∈ ℕ, ∀n ≥ N, \overline{C}_{n+1}^{Gal(K_{n+1}/K_{n})} = i_{n,n+1}(\overline{C}_{n}) ≅ \overline{C}_{n}.

Remarque : Dans tous les cas on sait que le Λ-rang du module \overline{C}_{∞} est égal à celui de \overline{U}_{∞}, c’est-à-dire égal à r_{1} = [K : ℚ], puisque K est totalement réel.

Démonstration. La proposition 1.3 donne l’implication indirecte, on vérifie le sens direct. On suppose donc que \overline{C}_{∞} est libre et on va montrer que la suite \overline{C}_{n} vérifie la propriété (iii) de la proposition 1.3 qu’on appellera dorénavant la “descente asymptotique”. La première étape du raisonnement consiste à le montrer pour la suite de modules C̃_{n}. Pour ce on utilise le lemme dû à Kuz′Min : Lemme 2.3 ([Kuz1], 7.3) Pour tout n ∈ ℕ, l’application naturelle

(\overline{U}′_{∞})_{Γ_{n}} ⟶ \overline{U}′_{n}

est injective.

□

Lemme 2.4 Si \overline{C}_{∞} est Λ-libre alors C̃_{n} vérifie la descente asymptotique.

On pose Q_{∞} := \overline{U}′_{∞}/\overline{C}_{∞}. Le lemme du serpent donne alors la suite pour tout n : \xymatrix{0 \ar[r] & Q_{∞}^{Γ_{n}} \ar[r] & (\overline{C}_{∞})_{Γ_{n}} \ar[r] \ar[r] & (\overline{U}′_{∞})_{Γ_{n}}} . Le lemme 2.3 et le diagramme

commutatif qui suit permettent donc d’identifier (Q_{∞})^{Γ_{n}} avec le noyau de descente : (Q_{∞})^{Γ_{n}} ≃ ker ((\overline{C}_{∞})_{Γ_{n}} ↠ C̃_{n}).

\xymatrix{0 \ar[r] & (Q_{∞})^{Γ_{n}} \ar[r] & (\overline{C}_{∞})_{Γ_{n}} \ar[r] \ar@{->>}[d] & (\overline{U}′_{∞})_{Γ_{n}} \ar@{^{(}->}[d] \\  &  & C̃_{n} \ar@{^{(}->}[r] & _{\overline{U}{′ \atop n}}}

Par noethérianité les noyaux (Q_{∞})^{Γ_{n}} se stabilisent et valent pour n grand (Q_{∞})^{Γ_{n}} = (Q_{∞})^{Γ_{N}}, où N est un entier fixé. Ainsi pour tout n ≥ N on obtient la suite exacte :

\xymatrix{0 \ar[r] & (Q_{∞})^{Γ_{N}} \ar[r] & (\overline{C}_{∞})_{Γ_{n}} \ar[r] & C̃_{n} \ar[r] & 0}

Par hypothèse \overline{C}_{∞} est Λ-libre donc (\overline{C}_{∞})_{Γ_{n}} est ℤ_{p}[G_{n}]-libre. En outre le groupe Gal(K_{n+1}/K_{n}) agit trivialement sur le ℤ_{p}-module libre (Q_{∞})^{Γ_{N}} puisque n ≥ N. On en déduit la trivialité du 0^{ième} groupe de cohomologie modifié à la Tate

Ĥ^{0}(K_{n+1}/K_{n}, C̃_{n}) ≃ H^{1}(K_{n+1}/K_{n}, (Q_{∞})^{Γ_{N}}) = 0.

Mais par définition des module C̃_{n} la norme N_{n+1,n}: C̃_{n+1} ⟶ C̃_{n} est surjective. On obtient donc les égalités

(C̃_{n+1})^{Gal(K_{n+1}/K_{n})} = Tr_{n+1,n}(C̃_{n+1}) = i_{n+1,n} ∘ N_{n+1,n}(C̃_{n+1}) = i_{n+1,n}(C̃_{n}).

□

Pour conclure la preuve de 2.2 on doit maintenant passer de C̃_{n} à \overline{C}_{n}. Le lemme suivant montre que la déviation entre ces deux modules est asymptotiquement constante : Lemme 2.5 Soit n ∈ ℕ et soit I_{n} le corps d’inertie en p de K_{n} (i.e. le plus grand sous-corps de K_{n} dans lequel p ne se ramifie pas). Alors on a

\overline{C}_{n} = \overline{C}_{I_{n}} C̃_{n}.

La suite de corps I_{n} est manifestement stationnaire et si I désigne le corps d’inertie de p dans K_{∞} on a l’égalité pour tout n tel que I ⊂ K_{n} :

\overline{C}_{n} = \overline{C}_{I} C̃_{n}

Démonstration. La seconde égalité est une conséquence directe de la première. L’inclusion \overline{C}_{I_{n}} C̃_{n} ⊂ \overline{C}_{n} est immédiate. On montre l’inclusion réciproque. Soit u ∈ \overline{C}_{n}. Par définition u est une unité de la forme :

u = ∏_{m>2} ε_{K_{n},m}^{x_{m}},

où les x_{m} ∈ ℤ_{p}[Gal(K_{n}/ℚ)] sont presque tous nuls. On commence par séparer le produit ci-dessus selon la divisibilité de m par p. On obtient :

u = ( ∏_{m>2,p∤m} ε_{K_{n},m}^{x_{m}}) ( ∏_{p∤m′,a>0} ε_{K_{n},p^{a}m′}^{x_{p^{a}m′}} ) .

Montrons que le terme ∏ ε_{K_{n},m}^{x_{m}} appartient à \overline{C}_{I_{n}}. Soit R l’ensemble des places ramifiées dans I_{n}/ℚ (remarquer que p ∉ R). Si p ∤ m alors p n’est pas ramifié dans ℚ(ζ_{m}) donc les nombres de la forme ε_{K_{n},m} sont des R-unités de I_{n}, tandis que les nombres de la forme ε_{K_{n},p^{a}m′} sont des p-unités de K_{n}. Comme il ne peut pas y avoir de compensation entre les valuations au-dessus de R et celle au-dessus de p, pour que u soit une unité on a nécessairement ∏ ε_{K_{n},m}^{x_{m}} ∈ \overline{U}_{n} et ∏ ε_{K_{n},p^{a}m′}^{x_{p^{a}m′}} ∈ \overline{U}_{n}. Puisque ℚ(ζ_{m}) ∩ K_{n} est contenu dans I_{n} dès que p ∤ m, on en déduit ∏_{m>2,p∤m} ε_{K_{n},m}^{x_{m}} ∈ \overline{C}_{I_{n}}.

Il reste à montrer que le terme ∏_{m′,a>0} ε_{K_{n},p^{a}m′}^{x_{p^{a}m′}} ∈ \overline{U}_{n} appartient en fait à C̃_{n}, et par récurrence sur n il suffit de vérifier que cette unité est la norme d’une unité de K_{n+1} de la même forme. Séparons à nouveau ce produit comme suit :

∏_{p∤m′,a>0} ε_{K_{n},p^{a}m′}^{x_{p^{a}m′}} = (∏_{a>0} ε_{K_{n},p^{a}}^{x_{p^{a}}}) ( ∏_{p∤m′,m>1,a>0} ε_{K_{n},p^{a}m′}^{x_{p^{a}m′}} ) .

Et posons :

y := (∏_{a>0} ε_{K_{n},p^{a}}^{x_{p^{a}}}) et z := ( ∏_{p∤m′,m>1,a>0} ε_{K_{n},p^{a}m′}^{x_{p^{a}m′}} )

Par le lemme 2.1 (i) de [So] les nombres cyclotomiques (1 − ζ_{m}) vérifient les relations de distributions suivantes (pour r > 2, r | s et en notations additives) :

Tr_{ℚ(ζ_{s}),ℚ(ζ_{r})}(1 − ζ_{s}) = ( ∏_{l|s,l∤r}(1 − σ_{l}^{−1})) (1 − ζ_{r})  (1)

Où l parcourt l’ensemble des nombres premiers divisant s et pas r et où σ_{l} désigne le Frobenius en l de Gal(ℚ(ζ_{s})/ℚ). Écrivons cond(K_{n}) = p^{c}k avec p ∤ k. Alors par l’équation (1), y est une puissance galoisienne de l’uniformisante cyclotomique ε_{K_{n},p^{c}} tandis que z est une unité. Donc y est aussi une unité et peut s’écrire y = ε_{K_{n},p^{c}}^{t} avec t dans l’idéal d’augmentation de l’anneau ℤ_{p}[Gal(ℚ(ζ_{p^{c}}) ∩ K_{n}/ℚ)]. Comme l’équation (1) donne aussi ε_{K_{n},p^{c}} = N_{K_{n+1},K_{n}}(ε_{K_{n+1},p^{c+1}}), on a bien y ∈ C̃_{n}.

Pour conclure vérifions que chaque terme de la forme ε_{K_{n},p^{a}m′} avec a > 0 et m′ > 1 est norme d’unité circulaire de K_{n+1}. Soit F = ℚ(ζ_{p^{a}m′}) ∩ K_{n}, F_{1} le premier étage de la ℤ_{p}-tour sur F, et soient f et f_{1} leurs conducteurs respectifs. Par l’équation (1) on voit que ε_{K_{n},p^{a}m′} est une puissance galoisienne de ε_{F,f} si

p | f ou de ε_{F,f}^{1−σ_{p}^{−1}} si p ∤ f. Comme en outre seules les places au-dessus de p sont éventuellement ramifiées dans l’extension F_{1}/F la même équation donne aussi :

N_{F_{1}/F} (ε_{F_{1},f_{1}}) = \{ \begin{matrix}ε_{F,f} si p | f \\ ε_{F,f}^{1−σ_{p}^{−1}} si p ∤ f \end{matrix}

Si F_{1} n’est pas contenu dans K_{n} alors on a F_{1} ⊂ K_{n+1}, puis N_{K_{n+1},K_{n}}(ε_{F_{1},f_{1}}) = N_{F_{1},F} (ε_{F_{1},f_{1}}) et la preuve est terminée. Sinon comme C̃_{n} est un module galoisien il suffit de montrer que ε_{F_{1},f_{1}} ∈ C̃_{n} ce qui conduit à terme au cas précédent.

□ On reprend la preuve du théorème 2.2. Fixons un n suffisamment grand pour avoir I ⊂ K_{n}. Alors on a \overline{C}_{I}^{Gal(K_{n+1}/K_{n})} = \overline{C}_{I} dont on déduit :

\overline{C}_{n+1}^{Gal(K_{n+1}/K_{n})} = (\overline{C}_{I} C̃_{n+1})^{Gal(K_{n+1}/K_{n})} = \overline{C}_{I} \binom{}{C_{n+1}}^{Gal(K_{n+1}/K_{n})}
= \overline{C}_{I} C̃_{n} = \overline{C}_{n} .

Ce qui démontre le théorème 2.2.

□

3 Exemples et contre-exemples

A partir du théorème 2.2 qui donne une équivalence, il est naturel de se demander si les deux alternatives peuvent effectivement se produire. Lorsque le corps K est le sous-corps réel maximal d’un corps cyclotomique, on sait par des résultats sur les distributions à la Kubert-Lang que \overline{C}_{∞} est Λ-libre (voir par exemple [Kuz2]). Plus généralement, par un passage à la limite immédiat, on peut déduire de [B] une condition suffisante et d’autres exemples où \overline{C}_{∞} est Λ-libre. D’autre part on sait que les unités circulaires à la Sinnott ne vérifient pas toujours la ”descente galoisienne” c’est-à-dire qu’il existe des corps abéliens F ⊂ L tels que C_{F} ⊊ C_{L} ⋂ F (voir [G2]). En particulier 2.2 n’ entraîne pas la liberté de \overline{C}_{∞} : on va présenter une liste d’exemples de corps K pour lesquels cette liberté n’a pas lieu. Pour produire ces contre-exemples on va utiliser des hypothèses de décomposition assez contraignantes dans le style de [G2]. Ces hypothèses permettent de mieux contrôler la structure galoisienne des unités circulaires et simplifient notablement les calculs qui suivent. Ce fait justifie la terminologie “günstige (p + 1)-tuple” de [G2]. Énonçons ces conditions. A partir d’ici, et jusquà la fin de ce paragraphe, on suppose que le corps de nombres abélien K et le nombre premier p vérifient les trois conditions suivantes :

1– le conducteur de K est le produit sans facteurs carrés f_{K} = ∏_{i=1}^{i=p+1} l_{i} de p + 1 nombres premiers l_{i} tels que l_{i} ≡ 1[p] et pour chaque j ≠ i il existe un entier x_{i,j} tel que l_{i} ≡ x_{i,j}^{p}[l_{j}].

2– G := Gal(K/ℚ) ≃ (ℤ/pℤ)^{2}

3– Notons K^{1}, K^{2}, …, K^{p+1} les (p + 1) sous-corps non triviaux de K. On suppose en outre que quitte à renuméroter ces sous-corps, leur conducteur vaut :

cond(K^{j}) = ∏_{i=1,i≠j}^{i=p+1} l_{i}

Remarque :

(i) En reprenant le raisonnement de [G2] qui s’appuie sur le théorème de densité de Čebotarev on peut démontrer l’existence (d’une infinité) de (p + 1)-uples de premier (l_{i})_{i=1}^{p+1} tels que p et tout sous-corps de ℚ(ζ_{∏ l_{i}}) vérifient la condition 1. Ce sont de tels (p+1)-uples qui furent dénommés günstige (p + 1)-tuple dans [G2].

(ii) Ensuite étant fixé un tel günstige (p + 1)-uple l_{1}, …, l_{p+1} on peut vérifier que ℚ(ζ_{∏ l_{i}}) contient un sous-corps K vérifiant 2- et 3- : c’est un exercice sur les groupes abéliens laissé au lecteurs.

(iii) Alternativement l’exemple du §IV.2 de [B] vérifie les conditions ci-

dessus pour p = 3. La condition 3– entraîne que les Frobenius (\frac{l_{i}}{K^{i}/ℚ}) sont des éléments bien définis

de Gal(K^{i}/ℚ) = Gal(K_{∞}^{i}/ℚ_{∞}), de plus ces Frobenius sont triviaux par la condition 1– :

4– ∀i, 1 ≤ i ≤ p + 1 : (\frac{l_{i}}{K^{i}/ℚ}) = (\frac{l_{i}}{K_{∞}^{i}/ℚ_{∞}} ) = 1. Avec toutes ces hypothèses on va démontrer : Théorème 3.1 \overline{C}_{∞} n’est pas Λ-libre. Démonstration. On commence par se donner un système de générateurs galoisiens de \overline{C}_{∞}. Pour tout corps abélien F, de conducteur f disons, on note ε_{F} le nombre cyclotomique

ε_{F} = ε_{F,f} = N_{ℚ(ζ_{f}),F} (1 − ζ_{f})

On désignera par ε_{∞}^{i} (pour 1 ≤ i ≤ p + 1), ε_{∞}^{ℚ} et ε_{∞}^{K} les éléments suivants de \overline{C}_{∞} :

\begin{aligned}ε_{∞}^{i} & := (N_{K_{1}^{i},K^{i}}(ε_{K_{1}^{i}}), ε_{K_{1}^{i}}, …, ε_{K_{n}^{i}}, …)_{n≥1} \\ ε_{∞}^{ℚ} & := (γ − 1)(p, ε_{ℚ_{1}}, …, ε_{ℚ_{n}}, …)_{n≥1} \\ ε_{∞}^{K} & := (N_{K_{1},K}(ε_{K_{1}}), ε_{K_{1}}, …, ε_{K_{n}}, …)_{n≥1} \end{aligned}.

A partir du lemme 2.3 de [G1] on peut vérifier le lemme suivant (remarquer cependant que les générateurs utilisés ici diffèrent de ceux de [G1] par des inversibles de Λ[G]) : Lemme 3.2 Le système (ε_{∞}^{I})_{I}, où I parcourt l’ensemble {K, ℚ, 1, 2, …, p+1}, engendre \overline{C}_{∞} sur Λ[G].

□ Par un passage à la limite projective le long de la ℤ_{p}-tour sur l’équation (1) on obtient les relations (en notation additive) :

\begin{aligned}(R_{1}^{(i)}) & : T r_{K_{∞},K_{∞}^{i}}(ε_{∞}^{K}) = (1 − (\frac{l_{i}}{K_{∞}^{i}/ℚ})^{−1}) ε_{∞}^{i} \\ (R_{2}^{(i)}) & : T r_{K_{∞}^{i},ℚ_{∞}}(ε_{∞}^{i}) = (\frac{1}{γ − 1} ∏_{j≠i} (1 − (\frac{l_{j}}{ℚ_{∞}/ℚ})^{−1})) ε_{∞}^{ℚ} \end{aligned}

Où T r_{F,L}(x) = (∑_{g∈Gal(F/L)} g)x désigne la trace algébrique définie pour toute

extension galoisienne finie F/L. A priori tous les termes (1 − (\frac{l_{i}}{K_{∞}^{i}/ℚ})^{−1}) ap-

partiennent à Λ[Gal(K^{i}/ℚ)]. Mais grace à 4–, ces facteurs sont en fait des éléments de ℤ_{p}[Γ] ⊂ Λ. En combinant n’importe quel couple de relations avec le même i on obtient :

(R_{3}) : T r_{K_{∞},ℚ_{∞}}(ε_{∞}^{K}) = (\frac{1}{γ − 1} ∏_{i=1}^{i=p+1} (1 − (\frac{l_{j}}{ℚ_{∞}/ℚ})^{−1})) ε_{∞}^{ℚ}.

A l’aide de l’identité formelle p = −T r_{K_{∞},ℚ_{∞}} + ∑_{i=1}^{i=p+1} T r_{K_{∞},K_{∞}^{i}}, des relations (R_{1}^{(i)}) et (R_{3}) on obtient une autre relation utile :

\begin{aligned}(R_{4}) : p(ε_{∞}^{K}) & = (−\frac{1}{γ − 1} ∏_{i=1}^{i=p+1} (1 − (\frac{l_{j}}{ℚ_{∞}/ℚ})^{−1})) ε_{∞}^{ℚ} \\ & + ∑_{i=1}^{i=p+1} (1 − (\frac{l_{i}}{K_{∞}^{i}/ℚ})^{−1}) ε_{∞}^{i} \end{aligned}

On considère maintenant le sous-Λ[G]-module de \overline{C}_{∞}, disons 𝔖_{∞}, engendré par tous les ε_{∞}^{I} sauf ε_{∞}^{K} :

𝔖_{∞} := ⟨{ε_{∞}^{I}, I = ℚ, 1, …, p + 1}⟩

On note 𝔔_{∞} le quotient

𝔔_{∞} := \overline{C}_{∞}/𝔖_{∞}

Bien sur 𝔔_{∞} est Λ[G]-monogène, engendré par ε_{∞}^{K} + 𝔖_{∞}, et tué par p à cause de (R_{4}). Il suit que 𝔖_{∞} a le même Λ-rang que \overline{C}_{∞}, à savoir p^{2}. Par un choix approprié de Λ-base on peut voir que 𝔖_{∞} est Λ-libre : Lemme 3.3 Soit g_{i} un générateur de Gal(K^{i}/ℚ) ≅ Gal(K_{∞}^{i}/ℚ_{∞}) ≃ ℤ/pℤ. Alors l’ensemble qui suit forme une Λ-base du Λ-module libre 𝔖_{∞} :

{ ε_{∞}^{ℚ}, ; ε_{∞}^{1}, g_{1}ε_{∞}^{1},  …, g_{1}^{p−2}ε_{∞}^{1}, ; ε_{∞}^{2}, g_{2}ε_{∞}^{2},  …, g_{2}^{p−2}ε_{∞}^{2}, ; ⋮ ; g_{i}^{j}ε_{∞}^{i}, ; ⋮ ; ε_{∞}^{p+1}, g_{p+1}ε_{∞}^{p+1}, …, g_{p+1}^{p−2}ε_{∞}^{p+1} }

Démonstration. On a choisi 1+(p+1)(p−1) = p^{2} éléments de 𝔖_{∞} donc il suffit de vérifier que ces éléments forment un système générateur. En fait à partir du système générateur de la définition de 𝔖_{∞} on a seulement retiré un conjugué de chaque ε_{∞}^{i}, et la relation (R_{2}^{i}) permet d’écrire ce conjugué comme combinaison linéaire des autres conjugués et de ε_{∞}^{ℚ}.

□ Lemme 3.4 𝔔_{∞} ≠ {0} Démonstration. Cela équivaut à ε_{∞}^{F} ∉ 𝔖_{∞}, qui revient aussi à pε_{∞}^{F} ∉ p𝔖_{∞}. Mais la relation (R_{4}) donne les coefficients de pε_{∞}^{F} dans la base de 𝔖_{∞} du lemme 3.3 :

\begin{aligned}p(ε_{∞}^{K}) & = (−\frac{1}{γ − 1} ∏_{i=1}^{i=p+1} (1 − (\frac{l_{j}}{ℚ_{∞}/ℚ})^{−1})) ε_{∞}^{ℚ} \\ & + ∑_{i=1}^{i=p+1} (1 − (\frac{l_{i}}{K_{∞}^{i}/ℚ})^{−1}) ε_{∞}^{i} \end{aligned}

Or les termes de la forme (1 − (\frac{l_{i}}{K_{∞}^{i}/ℚ})^{−1}) appartiennent à Λ et sont premiers

à p.

□ On est maintenant armé pour donner explicitement un élément d’ordre p

dans (\overline{C}_{∞})_{Γ}. Lemme 3.5 ε_{∞}^{K} + (γ − 1)\overline{C}_{∞} est d’ordre p dans (\overline{C}_{∞})_{Γ}. Démonstration. En usant à nouveau de la relation (R_{4}) on constate que pε_{∞}^{K} ∈ (γ −1)\overline{C}_{∞}. Il reste donc à vérifier que ε_{∞}^{K} lui-même n’appartient pas (γ −1)\overline{C}_{∞}. Considérons le diagramme :

\xymatrix{_{\overline{C}_{∞}} \ar@{->>}[r] \ar@{->>}[d] & 𝔔_{∞} \ar@{->>}[d] \\ (\overline{C}_{∞})_{Γ} \ar@{->>}[r] & (𝔔_{∞})_{Γ}}

Il suffit de montrer que ε_{∞}^{K} + (γ − 1)\overline{C}_{∞} ne s’envoie pas sur 0 dans (𝔔_{∞})_{Γ}. Mais par définition de 𝔔_{∞}, les conjugués gε_{∞}^{K} pour g ∈ G l’engendrent, de sorte que leurs images engendrent (𝔔_{∞})_{Γ}. Et comme G agit par automorphisme sur (𝔔_{∞})_{Γ}, les conjugués gε_{∞}^{F} s’envoient simultanément sur 0 ou non. Ainsi ε_{∞}^{F} ∈ (γ − 1)\overline{C}_{∞} contredirait, par le lemme de Nakayama, le lemme 3.4. Ceci prouve le lemme 3.5 et le théorème 3.1.

□ Par une autre construction R. Kučera dans [Kuč] donne un corps de nombre

K pour lequel les unités circulaires à la Sinnott diffèrent au niveau infini des unités cyclotomiques à la Washington (avec p = 3 ; voir [KN] et [Kuč] pour la terminologie “unités de Washington”). Notons \overline{C}_{n}^{W} le tensorisé avec ℤ_{p} des unités cyclotomique de K_{n} à la Washington, et \overline{C}_{∞}^{W} leur limite projective. Par construction et avec le corollaire 1 de [GK] les unités de Washington vérifient la “descente galoisienne”. Ce module \overline{C}_{∞}^{W} est donc Λ-libre par la proposition 1.3. On a alors : Proposition 3.6 \overline{C}_{∞} est Λ-libre si et seulement si \overline{C}_{∞} = \overline{C}_{∞}^{W}.

Démonstration. D’après le résultat principal de [KN] le quotient \overline{C}_{∞}^{W}/\overline{C}_{∞} est fini. La proposition suit donc du lemme 1.2.

□ La construction de [Kuč] fournit donc un autre exemple où \overline{C}_{∞} n’est pas Λ-

libre. Dans cet exemple 7 = 2p+1 nombres premiers sont ramifiés dans K. Dans la famille d’exemples détaillés ici, avec p = 3, on obtient 4 nombres premiers ramifiés. D’après [B] on sait que si 2 nombres premiers (au plus) sont ramifiés dans K alors \overline{C}_{∞} est Λ-libre. Actuellement dans le cas particulier où exactement 3 nombres premiers distincts de p sont ramifiés dans le corps de base K on ne dispose ni de preuve de la Λ-liberté de \overline{C}_{∞} ni de contre-exemple.

Références

[B] Jean-Robert Belliard, Sur la structure galoisienne des unités circulaires dans les ℤ_{p}-extensions, J. Number Theory 69 (1998), no. 1, 16–49.

[BO] Jean-Robert Belliard and Hassan Oukhaba, Sur la torsion de la distribution ordinaire universelle attachée à un corps de nombres, Manuscripta Math. 106 (2001), no. 1, 117–130.

[GK] Robert Gold and Jae Moon Kim, Bases for cyclotomic units, Compositio Math. 71 (1989), no. 1, 13–27.

[G1] Cornelius Greither, Class groups of abelian fields, and the main conjecture, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 42 (1992), no. 3, 449–499.

[G2] Cornelius Greither, Über relativ-invariante Kreiseinheiten und Stickelberger-Elemente, Manuscripta Math. 80 (1993), no. 1, 27–43.

[G3] Cornelius Greither, Sur les normes universelles dans les ℤ_{p}-extensions, J. Théor. Nombres Bordeaux 6 (1994), no. 2, 205–220.

[I] Kenkichi Iwasawa, On ℤ_{ℓ}-extensions of algebraic number fields, Ann. of Math. (2) 98 (1973), 246–326.

[KN] Radan Kučera and Jan Nekovář, Cyclotomic units in Z_{p}-extensions, J. Algebra 171 (1995), no. 2, 457–472.

[Kuč] Radan Kučera, A Note on Circular Units in Z_{p}-extensions, preprint

(2002).

[Kuz1] L. V. Kuz′min, The Tate module of algebraic number fields, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 36 (1972), 267–327.

[Kuz2] L. V. Kuz′min, On formulas for the class number of real abelian fields, Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat. 60 (1996), no. 4, 43–110.

[Si] Warren Sinnott, On the Stickelberger ideal and the circular units of an abelian field, Invent. Math. 62 (1980), no. 2, 181–234.

[So] David Solomon, On a construction of p-units in abelian fields, Invent. Math. 109 (1992), no. 2, 329–350.

[W] Lawrence C. Washington, Introduction to cyclotomic fields, second ed., Springer-Verlag, New York, 1997.