manuscripta mathematica manuscript No. (will be inserted by the editor)

Jean-Robert BELLIARD^{1} · Hassan OUKHABA^{2}

Sur la torsion de la distribution ordinaire universelle attachée à un corps de nombres

Résumé. We study the torsion subgroup of the universal ordinary distribution related to a general number field. We describe a way to control this subgroup. We apply this method to the special case of an imaginary quadratic field, and we give examples of such fields where these torsion subgroups are non-trivial.

0. Introduction

Kubert dans son article [3] a introduit le formalisme des distributions sur ℚ. Il y démontre aussi que la distribution ordinaire universelle sur ℚ est sans ℤ-torsion. La question de l’existence de torsion dans la distribution ordinaire universelle A_{K} attachée à un corps de nombres K quelconque se pose. Si on écrit A_{K} comme limite inductive de ses sous groupes de niveau A_{𝔫} indexés par les idéaux entiers de K, alors Yin a montré que A_{𝔫} est sans ℓ-torsion pourvu que le nombre premier ℓ ne divise pas l’ordre du groupe de Galois G_{𝔫} (voir [9]).

Dans cet article nous nous intéressons au cas où ℓ divise cet ordre et nous dégageons des conditions suffisantes assez fines pour que A_{𝔫} soit sans ℓ-torsion. Ces conditions sont liées à la structure du ℓ-Sylow d’un sousgroupe de G_{𝔫}. Avec comme objectif les applications arithmétiques de [6] nous appliquons ensuite cette démarche au cas où le corps de base K est un corps quadratique imaginaire. Nous obtenons ainsi une majoration pour l’ordre de la torsion des sous-groupes de niveau. Nous montrons ensuite que la distribution ordinaire universelle attachée a tout corps quadratique nonramifié en 2 contient de la torsion (en fait dans ces cas la borne calculée précédemment est atteinte dès que le corps quadratique est principal).

1. Formalisme général

Avant d’entamer notre étude nous donnons ci-dessous quelques-unes des notations utilisées dans la suite.

1 School of Mathematical Sciences, University of Nottingham 2 UMR 6623,Université de Franche-Comté, Besançon e-mail: pmxjrb@maths.nott.ac.uk e-mail: hassan@math.univ-fcomte.fr

O_{K}:= l’anneau des entiers de K.

𝔪_{∞}:= le produit des places réelles de K.

Ψ_{0}:= Le monoïde des idéaux entiers non nuls de K.

Ψ̄_{0}:= Le groupe des idéaux fractionnaires de K.

De plus pour tout 𝔫 ∈ Ψ_{0} nous noterons :

I_{𝔫}:= le groupe des idéaux fractionnaires de K premiers avec 𝔫.

R_{𝔫}:= le sous groupe de I_{𝔫} formé des idéaux principaux xO_{K} tels que x ≡ 1 mod^{×}𝔫 et σ(x) > 0 pour tout plongement réel σ de K. K_{𝔫}:=le corps de rayon modulo 𝔫𝔪_{∞}. T_{𝔭}(𝔫):= le groupe d’inertie de 𝔭 dans K_{𝔫}/K, 𝔭 étant un idéal premier. G_{𝔫} := Gal(K_{𝔫}/K).

Rappelons que le groupe G_{𝔫} est isomorphe à I_{𝔫}/R_{𝔫}, par l’isomorphisme de réciprocité d’Artin. On notera (𝔞, K_{𝔫}/K) l’automorphisme de K_{𝔫}/K associé à l’idéal 𝔞 ∈ I_{𝔫} par cet isomorphisme. Si X est une partie de G_{𝔫} alors on posera s(X) := ∑ σ ∈ ℤ[G_{𝔫}], où σ parcourt les éléments de X et #X désignera le cardinal de X. Considérons maintenant les relations d’équivalence ∼_{𝔫} définies sur Ψ_{0} comme suit :

𝔞 ∼_{𝔫} 𝔟 ⟺ pgcd(𝔞, 𝔫) = pgcd(𝔟, 𝔫) et 𝔟𝔞^{−1} ∈ R_{𝔫′}

où 𝔫′ est tel que 𝔫′pgcd(𝔞, 𝔫) = 𝔫. Lorsque les idéaux 𝔞 et 𝔟 sont premiers avec 𝔫 alors 𝔟 ∼_{𝔫} 𝔞 si, et seulement si, (𝔟, K_{𝔫}/K) = (𝔞, K_{𝔫}/K). Notons ψ_{𝔫}(𝔞) la classe de 𝔞 modulo la relation ∼_{𝔫} et Ψ_{𝔫} := Ψ_{0}/ ∼_{𝔫} l’ensemble des classes d’équivalence de cette relation. Il est clair que Ψ_{𝔫} est fini. C’est aussi un monoïde unitaire commutatif pour la multiplication des idéaux. L’ensemble des éléments inversibles de Ψ_{𝔫} forme ainsi un groupe, qui est naturellement isomorphe à G_{𝔫}. Si 𝔫 | 𝔪 alors on a une surjection Ψ_{𝔫,𝔪}: Ψ_{𝔪} ⟶ Ψ_{𝔫}. La relation ∼_{𝔫} a été introduite par Deligne et Ribet dans leur article [2] afin d’étudier les valeurs des fonctions L des corps de nombres totalement réels aux entiers négatifs.

L’ensemble Ψ := \underleftarrow{lim}Ψ_{𝔫} est un espace topologique compact totalement discontinu. Par définition, cf. [5], une distribution sur Ψ à valeurs dans un groupe abélien A est une fonction additive

{ouverts compacts de Ψ}⟶^{μ}A.

La projection g_{𝔫}: Ψ ⟶ Ψ_{𝔫} est continue et surjective. L’image réciproque g_{𝔫}^{−1}(ψ_{𝔫}(𝔞)) est donc un ouvert compact pour tout idéal entier 𝔞 ∈ Ψ_{0}. Posons alors μ_{𝔫}(𝔞) := μ(g_{𝔫}^{−1}(ψ_{𝔫}(𝔞))). On dira que μ est une distribution ordinaire si 𝔞𝔫^{−1} = 𝔟𝔪^{−1} entraîne μ_{𝔫}(𝔞) = μ_{𝔪}(𝔟). Dans ce cas on peut voir μ comme une application Ψ̄_{0} ⟶ A telle que l’on a

μ(𝔞𝔲^{−1}) = ∑_{𝔟∈w(𝔲,𝔳,𝔞)} μ(𝔟𝔳^{−1})  (1.1)

pour tous 𝔞, 𝔲, 𝔳 ∈ Ψ_{0} tels que 𝔲 | 𝔳, où w(𝔲, 𝔳, 𝔞) est n’importe quel système de représentants dans Ψ_{0} de l’image réciproque Ψ_{𝔲,𝔳}^{−1}(ψ_{𝔲}(𝔞)). En particulier si on pose 𝔫′pgcd(𝔞, 𝔫) = 𝔫 et 𝔞′pgcd(𝔞, 𝔫) = 𝔞, alors μ(𝔞𝔫^{−1}) ne dépend que de la classe de 𝔞′ dans I_{𝔫′}/R_{𝔫′}.

La notion de distribution intervient fréquemment en arithmétique. On peut par exemple trouver diverses réalisations dans les articles [2], [3], [5], [6], [8], [9], etc ...

2. Distribution ordinaire universelle sur K

Notons [Ψ̄_{0}] le groupe abélien libre sur ℤ engendré par les symboles [𝔞], 𝔞 ∈ Ψ̄_{0}. Soit alors A le groupe [Ψ̄_{0}] modulo les relations

[𝔞𝔲^{−1}] − ∑_{𝔟∈w(𝔲,𝔳,𝔞)}[𝔟𝔳^{−1}], 𝔞, 𝔲, 𝔳 ∈ Ψ_{0} et 𝔲 | 𝔳  (2.1)

Il est clair que la restriction de la projection [Ψ̄_{0}] ⟶ A à Ψ̄_{0} est une distribution ordinaire sur K. De plus toute distribution ordinaire f: Ψ̄_{0} ⟶ A revient à se donner un homomorphisme de groupes abéliens f̃: A ⟶ A. Le groupe A est appelé la distribution ordinaire universelle sur K. Soit 𝔪 ∈ Ψ_{0} un idéal entier, et soit A_{𝔪} l’image dans A du sous-groupe de [Ψ̄_{0}] engendré par les symboles [𝔞𝔪^{−1}], 𝔞 ∈ Ψ_{0}. Alors A_{𝔪} est par définition le groupe de niveau 𝔪 de la distribution A. D’après l’article [9] le ℤ-rang de A_{𝔪} est #G_{𝔪}, ce qui peut se déduire alternativement de l’étude qui suit.

Soit Δ le groupe abélien libre engendré par la réunion disjointe

Δ := ⟨ ⨆_{𝔫∈Ψ_{0}} G_{𝔫}⟩;

et considérons son quotient Â := Δ/U, où U est le groupe engendré par les sommes formelles S(𝔫, 𝔭^{e}, σ), 𝔫 ∈ Ψ_{0} et 𝔭 idéal maximal de O_{K}, définies ci-dessous :

S(𝔫, 𝔭^{e}, σ) := σ − s(K_{𝔫𝔭}^{e}/K_{𝔫})σ̃ si 𝔭 | 𝔫  (2.2)

S(𝔫, 𝔭^{e}, σ) := (1 − (𝔭, K_{𝔫}/K)^{−1})σ − s(K_{𝔫𝔭}^{e}/K_{𝔫})σ̃ si 𝔭 ∤ 𝔫.  (2.3)

Les automorphismes σ ∈ G_{𝔫} et σ̃ ∈ G_{𝔫𝔭}^{e} sont choisis de telle sorte que σ̃ = σ sur K_{𝔫}. Si 𝔫 | 𝔫′ alors s(K_{𝔫′}/K_{𝔫}) est la somme dans Δ des éléments du groupe de Galois de K_{𝔫′}/K_{𝔫}, soit s(Gal(K_{𝔫′}/K_{𝔫})). Alors on a

Théorème 2.1. Les groupes A et Â sont canoniquement isomorphes en tant que ℤ[G]-modules, où G := \underleftarrow{lim}G_{𝔫} est la limite projective des groupes G_{𝔫}.

Preuve. Remarquons que les relations (2.1) avec 𝔳 = 𝔲 ou 𝔳 = 𝔲𝔭, 𝔭 étant un idéal premier, engendrent toutes les autres. Si 𝔳 = 𝔲 il s’agit de la relation

[𝔞𝔲^{−1}] − [𝔟𝔳^{−1}], 𝔟 ∼_{𝔲} 𝔞.  (2.4)

Supposons que 𝔳 = 𝔲𝔭 et soit 𝔞 ∈ Ψ_{0}. Posons 𝔡 := pgcd(𝔲, 𝔞), 𝔞′ := 𝔞𝔡^{−1} et 𝔫 := 𝔲𝔡^{−1}. Considérons alors l’entier v_{𝔭}(𝔞) := max{k ∈ ℕ | 𝔭^{k} | 𝔞}. Si v_{𝔭}(𝔞) < v_{𝔭}(𝔲) alors la relation (2.1) s’écrit simplement

[𝔞′𝔫^{−1}] − ∑_{𝔟∈w(𝔫,𝔫𝔭,𝔞′)}[𝔟𝔫^{−1}𝔭^{−1}].  (2.5)

Dans ce cas on a bien sûr 𝔭 | 𝔫. En revanche si v_{𝔭}(𝔞) ≥ v_{𝔭}(𝔲) alors 𝔭 ∤ 𝔫. De plus dans Ψ_{𝔫,𝔫𝔭}^{−1}(ψ_{𝔫}(𝔞′)) on trouve une seule classe pouvant être représentée par un idéal non étranger à 𝔫𝔭. Fixons en un et notons le 𝔟_{0}. Alors on obtient la relation

[𝔞′𝔫^{−1}] − [𝔟_{0}𝔫^{−1}𝔭^{−1}] − ∑_{{𝔟∈w(𝔫,𝔫𝔭,𝔞′) \atop pgcd(𝔟,𝔫𝔭)=1}}[𝔟𝔫^{−1}𝔭^{−1}].  (2.6)

Ainsi l’application [𝔞𝔫^{−1}] ⟶ (𝔞, K_{𝔫}/K) envoie (2.4) sur 0 tandis que l’image de (2.5) et (2.6) est la somme S(𝔫, 𝔭, (𝔞′, K_{𝔫}/K)). On obtient donc un homomorphisme de groupes abéliens ρ: A ⟶ Â. Son homomorphisme réciproque ρ^{−1} se déduit de l’application Δ ⟶ A qui associe à σ ∈ G_{𝔫} la classe de [𝔞𝔫^{−1}], où 𝔞 ∈ Ψ_{0} est choisi de telle sorte que σ = (𝔞, K_{𝔫}/K). cette application est bien définie étant donné (2.4). ⊓ ⊔

Notons Δ_{𝔪} le sous groupe de Δ engendré par {σ ∈ G_{𝔫}, 𝔫 | 𝔪}, et posons U_{𝔪} := Δ_{𝔪}∩U. Alors A_{𝔪} et Δ_{𝔪}/U_{𝔪} sont isomorphes comme ℤ[G_{𝔪}]-modules.

3. Sur la ℓ-torsion de A_{𝔪}

Il s’agit ici de trouver des conditions suffisantes pour que A_{𝔪} soit sans ℓtorsion. Notre méthode consiste à comparer la distribution universelle à la distribution d’Iwasawa de K. Celle-ci prend ses valeurs dans la limite directe Ω := \underrightarrow{lim}ℚ[G_{𝔫}] pour le systeme inductif

ℚ[G_{𝔫}] ↪^{ϕ_{𝔫,𝔫′}} ℚ[G_{𝔫′}], σ ⟼ s(K_{𝔫′}/K_{𝔫})σ̃,

où 𝔫 | 𝔫′ et σ̃ est une extension quelconque de σ à K_{𝔫′}. Pour introduire cette distribution, on définit d’abord les éléments d’Iwasawa suivants :

α(𝔫, 𝔫′) := s(Gal(K_{𝔫′}/K_{𝔫})) ∏_{𝔭|𝔫}(1 − 𝔭^{∗}), 𝔫 | 𝔫′,  (3.1)

où 𝔭^{∗} := λ_{𝔭}^{−1}s(T_{𝔭})/#T_{𝔭} est la moyenne des Frobenius inverse de 𝔭, avec T_{𝔭}:=T_{𝔭}(𝔫′) et λ_{𝔭} ∈ G_{𝔫′}/T_{𝔭} est le Frobenius en 𝔭 dans K_{𝔫′}/K. Remarquons que l’on a

ϕ_{𝔫′,𝔫′′}(α(𝔫, 𝔫′)) = α(𝔫, 𝔫′′).

La distribution d’Iwasawa F: Δ ⟶ Ω peut être définie comme la limite des applications F_{𝔫}: Δ_{𝔫} ⟶ ℚ[G_{𝔫}] où pour σ ∈ G_{𝔲}, 𝔲 | 𝔫 on a posé

F_{𝔫}(σ) = ϕ_{𝔲,𝔫}(σα(𝔲, 𝔲)) = σ̃α(𝔲, 𝔫).

Considérons maintenant le sous groupe U(𝔫) de Δ_{𝔫} engendré par les sommes S(𝔲, 𝔭^{e}, σ) pour lesquelles on a 𝔲𝔭^{e} | 𝔫. On vérifie aisément l’inclusion U ⊂ ker(F). On en déduit U_{𝔫} ⊂ ker(F_{𝔫}). D’autre part l’inclusion U(𝔫) ⊂ U_{𝔫} donne une surjection

ker(F_{𝔫})/U(𝔫) ↠ ker(F_{𝔫})/U_{𝔫}.  (3.2)

On va voir avec (3.3) et le théorème 3.1 ci-dessous que ces deux groupes sont finis. Comme Im(F_{𝔫}) est un ℤ-module sans torsion, on pourra en déduire les égalités

Tor(Δ_{𝔫}/U(𝔫)) = ker(F_{𝔫})/U(𝔫) et Tor(Δ_{𝔫}/U_{𝔫}) = ker(F_{𝔫})/U_{𝔫},

où Tor(A) désigne la torsion du groupe abélien A. En conséquence, si le quotient Δ_{𝔪}/U(𝔪) est sans ℓ-torsion, il en est de même pour Δ_{𝔪}/U_{𝔪}. Cela incite à étudier le groupe ker(F_{𝔪})/U(𝔪), d’autant plus que la définition de U(𝔪) est plus explicite que celle de U_{𝔪}.

Notons 𝔭_{1}, …, 𝔭_{s} les idéaux premiers qui divisent 𝔪, et e_{1}, …, e_{s} leurs exposants respectifs de sorte qu’on ait l’égalité 𝔪 = 𝔭_{1}^{e_{1}} ⋯ 𝔭_{s}^{e_{s}}. Soit Σ l’ensemble des diviseurs 𝔫 de 𝔪 tels que 𝔫 = 𝔭_{1}^{t_{1}e_{1}} ⋯ 𝔭_{s}^{t_{s}e_{s}}, avec t_{i} ∈ {0, 1}. On choisit sur Σ une relation d’ordre totale ≺ prolongeant la division, c’està-dire vérifiant l’implication (𝔫 | 𝔫′) ⇒ (𝔫 ≺ 𝔫′). La relation ≺ permet d’associer à tout 𝔫 ∈ Σ les deux sous groupes de Δ_{𝔪} définis par les systèmes de générateurs :

Δ̂_{𝔫} := ⟨σ ∈ G_{𝔲}| 𝔲 ∈ Σ et 𝔲 ≺ 𝔫⟩
Û(𝔫) := ⟨S(𝔲, 𝔭_{i}^{e_{i}}, σ)| 𝔲 ∈ Σ, 𝔭_{i} ∤ 𝔲 et 𝔲𝔭_{i}^{e_{i}} ≺ 𝔫⟩

La restriction de F_{𝔪} à Δ̂_{𝔫} sera notée F̂_{𝔫}. Pour 𝔫 = 𝔪, les deux groupes Δ̂_{𝔪}/Û(𝔪) et Δ_{𝔪}/U(𝔪) sont égaux, on a donc l’égalité

ker(F̂_{𝔪})/Û(𝔪) = ker(F_{𝔪})/U(𝔪).  (3.3)

Nous utiliserons aussi l’idéal S(𝔫) de ℤ[G_{𝔫}] engendré par les traces suivant les sous-groupes d’inertie, c’est-à-dire les sommes s(T_{𝔭_{i}}(𝔫)) = s(K_{𝔫}/K_{𝔫_{i}}), où 𝔫_{i}𝔭_{𝔦}^{e_{i}} = 𝔫, et où 𝔭_{i} parcourt l’ensemble des idéaux premiers qui divisent un 𝔫 ∈ Σ fixé. L’exposant du sous-groupe de torsion de ℤ[G_{𝔫}]/S(𝔫) sera noté z_{𝔫}.

Théorème 3.1. Soit 𝔫 ∈ Σ, alors ker(F̂_{𝔫})/Û(𝔫) est fini et on a

(∏_{𝔲≺𝔫} z_{𝔲}) ker(F̂_{𝔫}) ⊂ Û(𝔫).

Preuve. On fait un raisonnement par récurrence sur 𝔫. Si 𝔫 = (1) alors ker(F̂_{𝔫}) = 0. Ainsi on peut supposer 𝔫 ≠ (1). Soit alors 𝔫̃ le prédécesseur de 𝔫, c’est-à-dire que 𝔫̃ = max{𝔲 ≺ 𝔫, 𝔲 ≠ 𝔫}. On pose R := ℤ[G_{𝔪}]. La composée des deux applications naturelles

Δ̂_{𝔫} ⟶ ℤ[G_{𝔫}] et ℤ[G_{𝔫}] ⟶ ℤ[G_{𝔫}]/S(𝔫)

est un R-homomorphisme surjectif avec un noyau égal à S(𝔫)+Δ̂𝔫̃ = Û(𝔫)+ Δ̂𝔫̃. Mais comme Û(𝔫̃) ⊂ Û(𝔫) ∩ Δ̂𝔫̃ on obtient la suite exacte

Δ̂𝔫̃/Û(𝔫̃) ⟶ Δ̂_{𝔫}/Û(𝔫) ⟶ ℤ[G_{𝔫}]/S(𝔫) ⟶ 0.

D’autre part F_{𝔪} induit un homomorphisme de R-modules surjectif

β_{𝔫}: ℤ[G_{𝔫}]/S(𝔫) ⟶ Im(F̂_{𝔫})/Im(F̂𝔫̃).

Ainsi, en applicant F_{𝔪} à notre suite exacte on obtient le diagramme commutatif :

Δ̂𝔫̃/Û(𝔫̃) ⟶ Δ̂_{𝔫}/Û(𝔫) ⟶ ℤ[G_{𝔫}]/S(𝔫) ⟶ 0
↓  ↓  ↓ β_{𝔫}
0 ⟶ Im(F̂𝔫̃) ⟶ Im(F̂_{𝔫}) ⟶ Im(F̂_{𝔫})/Im(F̂𝔫̃) ⟶ 0

On en déduit la suite exacte :

ker(F̂𝔫̃)/Û(𝔫̃) ⟶ ker(F̂_{𝔫})/Û(𝔫) ⟶ ker β_{𝔫} ⟶ 0.  (3.4)

Par récurrence ker(F̂𝔫̃)/Û(𝔫̃) est fini et est annulé par ∏_{𝔲≺𝔫̃} z_{𝔲}. Il suffit donc, pour conclure la preuve du théorème, de vérifier que ker β_{𝔫} est fini. Mais comme ker β_{𝔫} est de type fini on doit seulement s’assurer que les modules ℤ[G_{𝔫}]/S(𝔫) et Im(F̂_{𝔫})/Im(F̂𝔫̃) ont même rang sur ℤ. Or on peut prouver par la théorie des caractères que

rang(S(𝔫)) = ∑_{{𝔲∈Σ,𝔲|𝔫 \atop 𝔲≠𝔫}}(−1)^{d(𝔲,𝔫)+1}[K_{𝔲} : K],

où d(𝔲, 𝔫) := #{i, 𝔭_{i} | 𝔫 et 𝔭_{i} ∤ 𝔲} (la preuve de [1], Proposition 2.11 se retranscrit telle quelle). Il reste à calculer le rang de Im(F̂_{𝔫})/Im(F̂𝔫̃). Pour ce faire considérons les modules suivants

Définition 3.2. Soient 𝔲, 𝔳 ∈ Σ tels que 𝔲 | 𝔳. On définit alors les quatre R-modules X_{𝔲}, Y_{𝔲}, X_{𝔲}(𝔳) et Y_{𝔲}(𝔳) en donnant une famille de générateurs de chacun d’entre eux :

X_{𝔲} := ⟨α(𝔫, 𝔪)| 𝔫 ∈ Σ, 𝔫 | 𝔲⟩,
Y_{𝔲} := ⟨α(𝔫, 𝔪)| 𝔫 ∈ Σ, 𝔫 | 𝔲 et 𝔫 ≠ 𝔲⟩,
X_{𝔲}(𝔳) := ⟨α(𝔫, 𝔪)| 𝔫 ∈ Σ, 𝔫 | 𝔳 et 𝔫 ≺ 𝔲⟩,
Y_{𝔲}(𝔳) := ⟨α(𝔫, 𝔪)| 𝔫 ∈ Σ, 𝔫 | 𝔳, 𝔫 ≺ 𝔲 et 𝔫 ≠ 𝔲⟩.

Proposition 3.3. Soient 𝔲, 𝔳 ∈ Σ tels que 𝔲 | 𝔳. Alors on a

rang(X_{𝔲}(𝔳)/Y_{𝔲}(𝔳)) = rang(X_{𝔲}/Y_{𝔲}).

Preuve. On voit que X_{𝔲} ⊂ X_{𝔲}(𝔳) et Y_{𝔲} ⊂ Y_{𝔲}(𝔳). De plus on a la suite exacte suivante

0 ⟶ X_{𝔲} ∩ Y_{𝔲}(𝔳)/Y_{𝔲} ⟶ X_{𝔲}/Y_{𝔲} ⟶ X_{𝔲}(𝔳)/Y_{𝔲}(𝔳) ⟶ 0.

Or le ℤ-module X_{𝔲} ∩ Y_{𝔲}(𝔳)/Y_{𝔲} est fini puisqu’il est de type fini et annulé par [K_{𝔳} : K_{𝔲}]. Ceci prouve la proposition et montre en particulier que

rang(Im(F̂_{𝔫})/Im(F̂𝔫̃)) = rang(X_{𝔫}/Y_{𝔫}).

En effet on a Im(F̂_{𝔫}) = X_{𝔫}(𝔪) et Im(F̂𝔫̃) = Y_{𝔫}(𝔪). ⊓ ⊔ Il nous faut maintenant calculer le rang du ℤ-module X_{𝔫}/Y_{𝔫}.

Proposition 3.4. On a X_{𝔫} = ϕ_{𝔫,𝔪}(Im(F_{𝔫})). De plus Im(F_{𝔫}) est un ℤmodule libre de rang #G_{𝔫}.

preuve. La première assertion est évidente. Pour montrer la seconde il suffit de vérifier que si χ est un caractère complexe du groupe G_{𝔫} alors χ(Im(F_{𝔫})) ≠ 0. Or si on note 𝔫_{χ} le conducteur de χ alors χ(α(𝔫_{χ}, 𝔫)) = #Gal(K_{𝔫}/K_{𝔫_{χ}}). ⊓ ⊔

Comme ϕ_{𝔫,𝔪} est injective on a rang(X_{𝔫}) = #G_{𝔫}. Par ailleurs on a Y_{𝔲}(𝔫) = X_{𝔲′}(𝔫), où 𝔲′ := max{𝔱 ∈ Σ, 𝔱 | 𝔫, 𝔱 ≺ 𝔲 et 𝔱 ≠ 𝔲}. D’où la relation

∑_{{𝔲∈Σ,𝔲|𝔫 \atop 𝔲≠𝔫}} rang(X_{𝔲}(𝔫)/Y_{𝔲}(𝔫)) = rang(Y_{𝔫}),

qui peut être utilisée pour prouver, par récurrence sur |𝔫| := d((1), 𝔫), la formule

rang(X_{𝔫}/Y_{𝔫}) = ∑_{𝔲∈Σ,𝔲|𝔫}(−1)^{d(𝔲,𝔫)}[K_{𝔲} : K].

Ainsi on a prouvé l’identité

rang(Im(F̂_{𝔫})/Im(F̂𝔫̃)) = rang(ℤ[G_{𝔫}]/S(𝔫)),

et ceci complète la preuve de la proposition et du théorème. ⊓ ⊔

Proposition 3.5. Posons H := K_{(1)} et soit ℓ un nombre premier. Soit G_{ℓ}(𝔪) le ℓ-Sylow du groupe de Galois de K_{𝔪}/H et G_{𝔭}^{ℓ}(𝔪), pour 𝔭 | 𝔪, le ℓ-Sylow de T_{𝔭}(𝔪). Supposons que G_{ℓ}(𝔪) est le produit direct des groupes G_{𝔭}^{ℓ}(𝔪). Alors ℓ ∤ ∏_{𝔲∈Σ} z_{𝔲}. En particulier le groupe A_{𝔪} est sans ℓ-torsion.

Remarque 3.6. Il est possible de montrer que si 𝔲 est divisible par au plus deux idéaux premiers alors z_{𝔲} = 1.

Preuve de la proposition 3.5. Fixons 𝔲 ∈ Σ. Les hypothèses de la proposition impliquent que le ℓ-Sylow G_{ℓ}(𝔲) de Γ := Gal(K_{𝔲}/H) est le produit direct des ℓ-Sylow G_{𝔭}^{ℓ}(𝔲) de T_{𝔭}(𝔲), 𝔭 | 𝔲. Cette remarque nous sera utile pour montrer que ℓ ∤ z_{𝔲}. La première étape de la démonstration consiste à décomposer ℤ[G_{𝔲}]/S(𝔲) en somme directe de sous-ℤ[Γ]-modules. En effet, les s(T_{𝔭}(𝔲)), 𝔭 | 𝔲 engendrent dans ℤ[Γ] un idéal que nous noterons S̃(𝔲). De plus si {γ_{𝔲}(τ), τ ∈ Gal(H/K)} est un système de représentants de G_{𝔲} modulo Γ, alors on a l’isomorphisme de ℤ[Γ]-modules suivant :

\frac{ℤ[G_{𝔲}]}{S(𝔲)} ≃ ⨁_{τ∈Gal(H/K)} \frac{ℤ[Γ]}{S̃(𝔲)}γ_{𝔲}(τ).  (3.5)

Nous devons donc montrer que ℤ[Γ]/S̃(𝔲) est sans ℓ-torsion. Cela revient à vérifier que le ℤ_{ℓ}[Γ]-module

ℤ_{ℓ} ⊗_{ℤ} ℤ[Γ]/S̃(𝔲) ≃ ℤ_{ℓ}[Γ]/S̃(𝔲)ℤ_{ℓ}[Γ]

est sans ℤ_{ℓ}-torsion. A cette fin on écrit Γ = G′ × G_{ℓ}(𝔲), avec ℓ ∤ #G′, et on note 𝔛 l’ensemble des caractères ℚ_{ℓ}-irréductibles de G′. Soit {e_{χ}, χ ∈ 𝔛} le système complet d’idempotents associés aux éléments de 𝔛. Rappelons que ce système vérifie les relations (orthogonalité des caractères) ∑_{χ∈𝔛} e_{χ} = 1 et e_{χ}e_{χ′} = 0 (resp. e_{χ}) si χ′ ≠ χ (resp. χ′ = χ). On en tire l’isomorphisme suivant :

\frac{ℤ_{ℓ}[Γ]}{S̃(𝔲)ℤ_{ℓ}[Γ]} ≃ ⨁_{χ∈𝔛} \frac{e_{χ}ℤ_{ℓ}[Γ]}{e_{χ}S̃(𝔲)ℤ_{ℓ}[Γ]}.

D’autre part, si pour un caractère donné χ ∈ 𝔛 on pose A_{χ} := e_{χ}ℤ_{ℓ}[G′], alors on constate que les deux A_{χ}-algèbres

\frac{e_{χ}ℤ_{ℓ}[Γ]}{e_{χ}S̃(𝔲)ℤ_{ℓ}[Γ]} et A(χ, 𝔲) := \frac{A_{χ}[G_{ℓ}(𝔲)]}{S̃(𝔲)A_{χ}[G_{ℓ}(𝔲)]}

sont isomorphes. De plus comme G_{ℓ}(𝔲) = ∏_{𝔭|𝔲} G_{𝔭}^{ℓ}(𝔲) on obtient la décomposi-

tion :

A(χ, 𝔲) ≃ ⨂_{𝔭|𝔲} \frac{A_{χ}[G_{𝔭}^{ℓ}(𝔲)]}{s(T_{𝔭}(𝔲))A_{χ}[G_{𝔭}^{ℓ}(𝔲)]}.

de A(χ, 𝔲) en produit tensoriel sur A_{χ} des algèbres

A(χ, 𝔲, 𝔭) := A_{χ}[G_{𝔭}^{ℓ}(𝔲)]/s(T_{𝔭}(𝔲))A_{χ}[G_{𝔭}^{ℓ}(𝔲)].

Or les A(χ, 𝔲, 𝔭) sont des A_{χ}-modules libres, et comme A_{χ} est un ℤ_{ℓ}-module libre on déduit que les A(χ, 𝔲, 𝔭) sont eux-mêmes ℤ_{ℓ}-libres. Ce qui complète la preuve de la proposition. ⊓ ⊔

Corollaire 3.7. Soit 𝔪 = nℤ un idéal de ℤ. Alors le groupe de niveau 𝔪 de la distribution ordinaire universelle sur ℚ est un groupe abélien libre.

Preuve. Cela tient au fait que le groupe de Galois sur ℚ de l’extension cyclotomique ℚ(e^{\frac{2iπ}{n}}) est égal au produit direct des groupes d’inertie. ⊓ ⊔

Corollaire 3.8. inj Supposons que Gal(K_{𝔪}/H) est égal au produit direct de ses sous-groupes d’inertie. Alors on a U(𝔪) = U ∩ Δ_{𝔪}. De plus, pour tout diviseur 𝔫 de 𝔪, A_{𝔫} est ℤ-libre.

4. Le cas des corps quadratiques imaginaires

Nous supposons à partir de maintenant et jusqu’à la fin de cet article que K est un corps quadratique imaginaire.

4.1. Ennoncés des resultats.

La proposition 3.5, appliquée à cette situation particulière, entraîne le résultat suivant

Corollaire 4.1. Soit w_{K} le nombre de racines de l’unité du corps quadratique imaginaire K. Soit ℓ un nombre premier qui ne divise pas w_{K}, ℓ ∤ w_{K}. Alors la distribution ordinaire universelle sur K est sans ℓ-torsion.

Preuve. Le lecteur peut facilement vérifier que le ℓ-Sylow de G_{𝔪} est égal au produit direct des ℓ-Sylow des groupes d’inertie T_{𝔭}(𝔪), 𝔭 | 𝔪. ⊓ ⊔

Dans la section précédente on a calculé un multiple ∏_{𝔲|𝔪} z_{𝔲} de l’exposant de Tor(A_{𝔪}). Si on suit la preuve de la proposition 3.5, on voit que les sousgroupes de torsion des quotients ℤ[Gal(K_{𝔫}/H)]/S̃(𝔫), pour 𝔫 | 𝔪, jouent un rôle prépondérant. Pour le cas particulier qui nous intéresse en vue des applications de [6], ces derniers sous-groupes de torsion sont décrits par le

Théorème 4.2. Soit 𝔫 un élément de Σ, supposé premier à w_{K}. Rappelons que |𝔫| désigne le nombre d’idéaux premiers qui divisent 𝔫. On a

Tor(ℤ[Gal(K_{𝔫}/H)]/S̃(𝔫)) ≃ \{ \begin{matrix}0 & si |𝔫| = 1 ou |𝔫| pair, \\ ℤ/w_{K}ℤ & sinon. \end{matrix}

Corollaire 4.3. Supposons que 𝔪 est un idéal propre de O_{K} et premier à w_{K}. Alors l’ordre du groupe Tor(A_{𝔪}) divise (w_{K})^{ah},où h est le nombre de classes d’idéaux de K et a = 2^{|𝔪|−1} − |𝔪|.

Preuve du corollaire. La suite exacte (3.4) permet de montrer par récurrence sur 𝔫 ∈ Σ − {(1)} que l’ordre de ker(F̂_{𝔫})/Û(𝔫) divise (w_{K})^{a_{𝔫}h}, où

a_{𝔫} := #{𝔲 ∈ Σ, 𝔲 ≺ 𝔫, |𝔲| impair et |𝔲| ≥ 3}.

En effet, ker β_{𝔫} est un sous-groupe de Tor(ℤ[G_{𝔫}]/S(𝔫)). D’où, grace à (3.5) et au théorème 4.2, l’ordre de ker β_{𝔫} divise (w_{K})^{h}. De plus ker β_{𝔫} = {0}, si |𝔫| est égal à 1 ou à un entier pair. Il ne reste plus qu’à vérifier que a_{𝔪} = 2^{|𝔪|−1} − |𝔪|. ⊓ ⊔

Le reste de cette section est consacré à la preuve du théorème 4.2.

4.2. Preuve du théorème 4.2

D’après le corollaire 4.1, il suffit de montrer que les ℓ-parties de ℤ/w_{K}ℤ et de Tor(ℤ[Gal(K_{𝔫}/H)]/S̃(𝔫)) coïncident pour les nombres premiers ℓ qui divisent w_{K}. Fixons donc un tel ℓ (en fait ℓ = 2 ou 3). Pour simplifier les notations on suppose que 𝔫 = 𝔪, ce qui ne change rien à la généralité de la démonstration, et on pose m = |𝔪|. On laisse de coté le cas immédiat m = 1. On commence par énoncer sous forme de remarques des faits élémentaires qui nous serons utiles.

Remarque 4.4. Le groupe Gal(K_{𝔪}/H) est engendré par les sous-groupes d’inertie T_{𝔭}(𝔪), 𝔭 | 𝔪 (ce résultat bien sûr vaut pour tout corps de nombres).

Remarque 4.5. Comme 𝔪 est premier à w_{K} et m > 1 on a pour tout i

T_{𝔭_{i}}(𝔪) ≃ (O_{K}/𝔭_{i}^{e_{i}})^{×}.

Remarque 4.6. Soit i_{0} ∈ {1, …, m}, alors les groupes d’inertie T_{𝔭_{i}}(𝔪), i ≠ i_{0} forment un produit direct.

La remarque 4.5 montre en particulier que le ℓ-Sylow G_{𝔭_{i}}^{ℓ}(𝔪) de T_{𝔭_{i}}(𝔪) est cyclique. Posons alors g_{i} := o(G_{𝔭_{i}}^{ℓ}(𝔪)) et supposons que g_{m} ≤ g_{i}, pour tout i. Les remarques 4.4 et 4.6 permettent de vérifier que l’on peut trouver dans Gal(K_{𝔪}/H) des éléments τ_{1}, …, τ_{m} tels que G_{𝔭_{i}}^{ℓ}(𝔪) = ⟨τ_{i}⟩, pour tout i ∈ {1, …, m − 1}, et G_{ℓ}(𝔪) = ⟨τ_{1}⟩ × ⟨τ_{2}⟩ × ⋯ × ⟨τ_{m}⟩. De plus on a G_{𝔭_{m}}^{ℓ}(𝔪) = ⟨j⟩, où

j := ∏_{i=1}^{m} τi^{\frac{g_{i}}{gm}}

Notons que l’ordre de τ_{m} est o(⟨τ_{m}⟩) = g_{m}/ℓ^{r}, où ℓ^{r} est la plus grande puissance de ℓ divisant w_{K}. Ecrivons, comme en section 3, Gal(K_{𝔪}/H) = G′ × G_{ℓ}(𝔪) et soit G′_{i} le sous-groupe de G′ tel que T_{𝔭_{i}}(𝔪) = G′_{i} × G_{𝔭_{i}}^{ℓ}(𝔪).

Il s’agit de calculer la ℓ-torsion de A(χ, 𝔪) pour tout caractère ℚ_{ℓ}- irréductible du groupe G′. On a d’abord le lemme évident :

Lemme 4.7. Soit Λ := ℤ[G_{ℓ}(𝔪)] et Λ_{χ} le Λ-module engendré par les traces s(G_{𝔭_{i}}^{ℓ}(𝔪)) pour lesquelles χ est trivial sur G′_{i}. Alors A(χ, 𝔪) est naturellement isomorphe à A_{χ} ⊗_{ℤ} Λ/Λ_{χ}.

Proposition 4.8. Soit P une partie de {1, …, m} distincte de {1, …, m}. Notons Λ(P) le Λ-module engendré par les traces s(⟨τ_{i}⟩), i ∈ P. Alors le module Λ/Λ(P) est libre sur D := ℤ[⟨τ_{k}, k ∉ P ⟩]. En particulier si χ n’est pas trivial sur G′_{m} alors Λ/Λ_{χ} est sans ℤ-torsion.

Preuve. Il est clair que Λ/Λ(P) est isomorphe au produit tensoriel sur D

⨂_{n∈P} \frac{D[⟨τ_{n}⟩]}{s(⟨τ_{n}⟩)D} .

Cela donne la première assertion puisque D[⟨τ_{n}⟩]/s(⟨τ_{n}⟩)D est libre sur D (de rang g_{n} − 1).

D’autre part pour i ≠ m les τ_{i} engendrent les ℓ-groupes d’inerties : ⟨τ_{i}⟩ = G_{𝔭_{i}}^{ℓ}(𝔪). En particulier lorsque χ est non trivial sur G′_{m}, on a l’égalité Λ_{χ} =

Λ(P_{χ}) pour P_{χ} = {i| χ(G′_{i}) = {1}}. Et la seconde assertion en découle. ⊓ ⊔

Pour étudier la torsion de ℤ[Gal(K_{𝔫}/H)]/S̃(𝔫), on est amené à considérer les Λ-modules Θ(P) engendré par les s(G_{𝔭_{i}}^{ℓ}(𝔪)), i ∈ P. Remarquons que si m ∉ P, alors Θ(P) est égal au module Λ(P) défini ci-dessus. En particulier, toujours si m ∉ P, on a l’isomorphisme

Λ/Θ(P ∪ \{s\}) ≃ \frac{Λ/Λ(P)}{s(⟨j⟩)Λ/Λ(P)}.

De plus comme Λ/Λ(P) est ℤ-libre d’après la proposition 4.8 ci-dessus on a

Tor(Λ/Θ(P ∪ {s})) ≃ H^{2}(⟨j⟩, Λ/Λ(P)).  (4.1)

La preuve du théorème 4.2 consiste à calculer ces groupes de cohomologie.

Proposition 4.9. Soit P ⊂ Q et P ≠ Q deux parties de {1, …, m} telles que m ∉ Q. Soit D_{Q} le sous-groupe de G_{ℓ}(𝔪) engendré par les G_{𝔭_{i}}^{ℓ}(𝔪), i ∉ Q. Alors on a

H_{P,Q}^{k} := H^{k}(D_{Q}, Λ/Λ(P)) = 0, pour tout k ≥ 1.  (4.2)

Preuve. Nous allons démontrer la proposition par récurrence sur le cardinal de P. Le cas où P = ∅ est trivial puisqu’alors Λ/Λ(P) = Λ qui est libre sur tout sous-groupe de G_{ℓ}(𝔪). Supposons que (4.2) est prouvée pour tout couple (P′, Q′) de sous-ensembles de {1, …, m} vérifiant les hypothèses de la proposition et tels que le cardinal de P′ < #P. On peut bien sûr écrire P comme une réunion disjointe P = {i_{0}} ∪ P′ où i_{0} ∈ P. On a alors la suite exacte

0 ⟶ s(⟨τ_{i_{0}}⟩)(Λ/Λ(P′)) ⟶ Λ/Λ(P′) ⟶ Λ/Λ(P) ⟶ 0.

D’où l’on tire

H_{P′,Q}^{k} ⟶ H_{P,Q}^{k} ⟶ H^{k+1}(D_{Q}, s(⟨τ_{i_{0}}⟩)(Λ/Λ(P′))) ⟶ H_{P′,Q}^{k+1}.

L’hypothèse de récurrence entraîne que les deux groupes H_{P′,Q}^{k} et H_{P′,Q}^{k+1} sont nuls. Il vient donc

H_{P,Q}^{k} ≃ H^{k+1}(D_{Q}, s(⟨τ_{i_{0}}⟩)(Λ/Λ(P′))).

Or Λ/Λ(P′) est libre sur ⟨τ_{i_{0}}⟩ comme énoncé dans la proposition 4.8. En particulier on a s(⟨τ_{i_{0}}⟩)(Λ/Λ(P′)) = (Λ/Λ(P′))^{⟨τ_{i_{0}} ⟩} et

H^{n}(⟨τ_{i_{0}}⟩, Λ/Λ(P′)) = H^{n}(⟨τ_{i_{0}}⟩, Λ(P′)) = 0 pour tout n > 0.

D’autre part si on pose Q′ := Q − {i_{0}} alors on a D_{Q′} = ⟨D_{Q}, τ_{i_{0}}⟩. Comme on a supposé P ≠ Q, on a {i_{0}} ⊊ Q. La remarque 4.4 montre donc l’égalité D_{Q} ∩ ⟨τ_{i_{0}}⟩ = {1}, qui permet d’identifier D_{Q} avec le quotient D_{Q′}/⟨τ_{i_{0}}⟩. D’après le corollaire p. 118 de [7] ou le Theorem 2 p. 161 de [4], l’inflation en degré k + 1 donne donc un isomorphisme :

H^{k+1}(D_{Q}, (Λ/Λ(P′))^{⟨τ_{i_{0}} ⟩}) ≃ H^{k+1}(D_{Q′}, Λ/Λ(P′)).

Mais comme #P′ < #P, le terme de droite est trivial, d’où la proposition. ⊓ ⊔

Corollaire 4.10. Si le caractère χ est non-trivial sur G′ alors le ℤ-module Λ/Λ_{χ} est sans torsion.

Preuve. Si χ est non trivial sur G′_{m}, c’est la proposition 4.8. Sinon soit P l’ensemble des indices i ≠ m tels que χ est trivial sur G′_{i} et soit Q := {1, …, m − 1}. Comme χ est supposé trivial sur G′_{m} et non sur G′ on a l’inclusion stricte P ⊊ Q. D’après la définition de Θ et (4.1) on a

Tor(Λ/Λ_{χ}) = Tor(Λ/Θ(P ∪ {s})) ≃ H^{2}(D_{Q}, Λ/Λ(P)).

La proposition 4.9 permet de conclure. ⊓ ⊔

Il reste à calculer la torsion de Λ/Λ_{χ} lorsque χ est trivial. Dans ce cas on a Λ_{χ} = Θ(P_{m}) où P_{i} := {1, …, i}. D’après (4.1) on doit calculer le groupe H^{2}(⟨j⟩, Λ/Λ(P_{m−1})). La démarche suivie pour prouver la proposition 4.9 montre en fait que l’on a

H^{k}(D_{P_{i+1}}, Λ/Λ(P_{i+1})) ≃ H^{k+1}(D_{P_{i}}, Λ/Λ(P_{i})), i ∈ {1, …, m − 2}.

En particulier on a

H^{2}(⟨j⟩, Λ/Λ(P_{m−1})) ≃ H^{m}(D_{P_{1}}, Λ/Λ(P_{1})) ≃ H^{m+1}(D_{P_{1}}, Λ^{⟨τ_{1}⟩}).

Or Λ^{⟨τ_{1}⟩} = s(⟨τ_{1}⟩)Λ est libre sur le sous-groupe ⟨τ_{2}, …, τ_{m−1}⟩ de D_{P_{1}}. L’inflation en degré m + 1 donne alors l’isomorphisme

H^{m+1}(D_{P_{1}}, Λ^{⟨τ_{1}⟩}) ≃ H^{m+1}(⟨j⟩, Λ^{⟨τ_{1},... ,τ_{m−1}⟩}).

Le groupe de cohomologie de droite se calcul sans difficulte: il est égal à 0 si m est pair, et a ℤ/ℓ^{r}ℤ si m est impair. Ceci achève la preuve du théorème 4.2.

5. Construction d’exemples où Tor(A_{𝔪} ) ≠ {0}

Dans cette section K est toujours un corps quadratique imaginaire. Nous avons vu précédemment que A_{𝔪} est sans torsion si s ≤ 2 et que pour s = 3, #Tor(A_{𝔪}) divise (w_{K})^{h}.

Proposition 5.1. On suppose que w_{K} = 2 et que K contient trois idéaux premiers principaux 𝔭_{1}, 𝔭_{2}, 𝔭_{3} tels que N𝔭_{i} ≡ 3 modulo 4. On pose 𝔪 = 𝔭_{1}𝔭_{2}𝔭_{3}. Alors Tor(Δ_{𝔪}/U(𝔪)) ≅ (ℤ/2ℤ)^{h} et Tor(A_{𝔪}) ≠ 0.

Pour réaliser les conditions de cette proposition, il suffit par exemple de choisir K tel que \sqrt{−1} ∉ H (ce qui se produit si 2 n’est pas ramifié dans K) et de choisir trois idéaux premiers 𝔭_{i} tels que (𝔭_{i}, H(\sqrt{−1})/K) soit égal à l’élément non trivial de Gal(H(\sqrt{−1})/H). Preuve de la proposition 5.1. Lorsque m = 3 on a nécessairement : Tor(Δ_{𝔪}/U(𝔪)) ≃ ker(β_{𝔪}). En effet il suffit de réécrire la suite exacte (3.4) en remarquant que les problèmes de torsion ne se manifestent pas avant 𝔪. Mais vu la décomposition (3.5) et le théorème 4.2 il suffit simplement de vérifier les deux conditions ker(β_{𝔪}) = Tor(ℤ[G_{𝔪}]/S(𝔪)) et Tor(A_{𝔪}) ≠ 0. C’est le cas si le seul élément de torsion de ℤ[Gal(K_{𝔪}/H)]/S̃(𝔪) appartient à ker(β_{𝔪}) d’une part, et que son antécédent par l’isomorphisme (3.4) n’appartient pas à U_{𝔪}/U(𝔪) d’autre part. On a bien sûr ℓ = 2, o(G_{𝔭_{i}}^{ℓ}(𝔪)) = 2 et o(G_{ℓ}(𝔪)) = 4. On peut donc poser G_{𝔭_{i}}^{ℓ}(𝔪) = ⟨τ_{i}⟩, i = 1, 2, 3, avec τ_{3} = τ_{1}τ_{2} et G_{ℓ}(𝔪) = ⟨τ_{1}⟩ × ⟨τ_{2}⟩.

Si χ est le caractère trivial de G′ alors Λ/Λ_{χ} est isomorphe à ℤ/2ℤ, d’après le théorème 4.2. Comme A_{χ} = s(G′)ℤ_{ℓ}[G′] est libre de rang 1 sur ℤ_{ℓ}, le seul élément de torsion de A(χ, 𝔪) est la classe de s(G′). Dire que cette classe appartient à ker β_{𝔪} revient simplement à vérifier que s(G′)α(𝔪, 𝔪) s’exprime en fonction des α(𝔫, 𝔪) pour 𝔫 | 𝔪 et 𝔫 ≠ 𝔪. On a

2s(G′)α(𝔪, 𝔪) = ((1 + τ_{1}) + (1 + τ_{2}) − τ_{1}(1 + τ_{3}))s(G′)α(𝔪, 𝔪).

On va vérifier que chaque terme de la forme (1 + τ_{i})s(G′)α(𝔪, 𝔪) appartient en fait à 2ℤ[Gal(K_{𝔪}/H)] α(𝔪/𝔭_{i}, 𝔪), en simplifiant par 2 cela donne l’expression attendue pour s(G′)α(𝔪, 𝔪). Comme en (3.1), on note λ_{𝔭_{i}} un relevé dans G_{𝔪} du Frobenius en 𝔭_{i} et on pose 𝔭_{i}^{∗} = λ_{𝔭_{i}}^{−1}s(T_{𝔭_{i}})/#T_{𝔭_{i}}. Rappelons aussi que G′ = G′_{1} × G′_{2} × G′_{3} où les G′_{i} sont définis par T_{𝔭_{i}} = G′_{i} × {1, τ_{i}}. D’où l’égalité

(1 + τ_{i})s(G′)α(𝔪, 𝔪) = s(T_{𝔭_{i}} × G′_{j} × G′_{k})(1 − λ_{𝔭_{i}}^{−1})(1 − 𝔭_{j}^{∗})(1 − 𝔭_{k}^{∗})

Par hypothèse l’automorphisme λ_{𝔭_{i}} ∈ Γ := Gal(K_{𝔪}/H). De plus le groupe Φ := T_{𝔭_{i}} × G′_{j} × G′_{k} étant d’indice 2 dans Γ on obtient

s(Φ)(1 − λ_{𝔭_{i}}^{−1}) = \{ \begin{matrix}0 & si λ_{𝔭_{i}} ∈ Φ \\ s(Γ) − 2λ_{𝔭_{i}}^{−1}s(Φ) & sinon. \end{matrix}

Or s(Γ)(1 − 𝔭_{j}^{∗}) = s(Γ)(1 − λ_{𝔭_{j}}^{−1}) = 0 puisque λ_{𝔭_{j}} ∈ Γ. Il suffit maintenant de remarquer que s(Φ)(1−𝔭_{j}^{∗})(1−𝔭_{k}^{∗}) = s(G′_{j} ×G′_{k})α(𝔭_{j}𝔭_{k}, 𝔪) pour pouvoir conclure que s(G′)α(𝔪, 𝔪) s’exprime bien en fonction des α(𝔫, 𝔪) pour 𝔫 | 𝔪 et 𝔫 ≠ 𝔪. Plus précisément on a mis en évidence des sommes x_{i} ∈ ℤ[Gal(K_{𝔭_{j}𝔭_{k}}/K)] ⊂ Δ_{𝔪/𝔭_{i}} telles que

R := s(G′) + x_{1} + x_{2} + x_{3} ∈ ker(F).

Pour démontrer la proposition, il nous reste à prouver que cet élément n’appartient pas à U. Cela peut se faire au moyen d’un critère de parité. Pour ce, on introduit l’homomorphisme ν : Δ ⟶ ℤ défini par ν(σ) = 1 si σ ∈ G_{𝔫} pour un 𝔫 de la forme 𝔫 = ∏_{i=1}^{3} 𝔭_{i}^{e_{i}} avec des e_{i} ≥ 1, et ν(σ) = 0 sinon. Clairement ν(R) = #G′ est impair tandis que Lemme 5.2. ν(U) ⊂ 2 ℤ.

Preuve du lemme. On étudie les images par ν des générateurs de U notés S(𝔫, 𝔭^{e}, σ) en fin de section 2. Pour les générateurs du type (2.3) la parité est immédiate puisque [K(𝔫𝔭) : K(𝔫)] est pair dès que 𝔭 ∤ 𝔫 et 𝔫 ≠ (1). En ce qui concerne les générateurs du type (2.2) leur image par ν est nulle sauf lorsque σ ∈ G_{𝔫} pour les 𝔫 de la forme 𝔫 = ∏_{i=1}^{3} 𝔭_{i}^{e_{i}} avec des e_{i} ≥ 1. Dans ce dernier cas le 𝔭 de (2.2) est l’un des trois 𝔭_{i}, et [K(𝔫𝔭^{e}) : K(𝔫)] = N(𝔭^{𝔢}) est impair. D’où la parité de ν(S(𝔫, 𝔭^{e}, σ)) = 1 + [K(𝔫𝔭^{e}) : K(𝔫)]. ⊓ ⊔

Références

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