Cours, master 2ième année, 1er semestre.

Algèbre générale.

Jean-Robert Belliard année 2006–07.

2

Table des matières

1 Factorisation des applications. 7

1.1 Rappel de vocabulaire ensembliste. . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Relation d’équivalence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Applications et principe de factorisation ensembliste. . 8

1.2 Factorisation et suites exactes de modules. . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Principe de factorisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Suites exactes de modules. . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3 Problème : le lemme du serpent. . . . . . . . . . . . . . 15

2 Algèbre linéaire basique. 17

2.1 fondement théorique : la dimension. . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1 Espaces, sous-espaces et applications linéaires. . . . . . 17 2.1.2 Familles de vecteurs d’un espace vectoriel. . . . . . . . 18 2.1.3 Dimension des espaces vectoriels de type fini. . . . . . 21

2.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1 Prérequis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.2 Représentation matricielle des morphismes. . . . . . . . 24 2.2.3 Changement de bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Opérations élémentaires sur les matrices. . . . . . . . . . . . . 26

3 Déterminant. 31 3.1 Formes multilinéaires alternées. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 La forme déterminant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3 Déterminant d’un endomorphisme. . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.4 Déterminant d’une matrice carré. . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.5 Techniques de calculs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5.1 Matrices triangulaires par blocs. . . . . . . . . . . . . . 37 3.5.2 Pivot de Gauß. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.5.3 Développement par rapport à une ligne ou une colonne. 38

3.6 Applications classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4 Dualité. 41

4.1 Dual d’un espace vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2 bidual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.3 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.4 Problème : codimension des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.5 Transposée d’une application linéaire. . . . . . . . . . . . . . . 48 4.6 Quelques calculs matriciels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.6.1 Matrice transposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.6.2 Une utilisation du pivot de Gauß. . . . . . . . . . . . . 49

4.7 Dualité dans les espaces euclidiens. . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 Formes quadratiques et hermitiennes. 53 5.1 Généralités sur les formes sesquilinéaires. . . . . . . . . . . . . 53 5.2 Sous-espaces orthogonaux, isotropes. . . . . . . . . . . . . . . 57 5.3 Groupes unitaires, orthogonaux, symplectiques. . . . . . . . . 59

5.3.1 Définitions générales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.3.2 symétries orthogonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.3.3 Générateurs de O(f) et SO(f). . . . . . . . . . . . . . 62

5.4 Classification des formes sesquilinéaires. . . . . . . . . . . . . . 64 5.5 Théorème de Witt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.5.1 Plan hyperbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.5.2 Sous-espaces hyperboliques, seti et setim. . . . . . . . . 68 5.5.3 Théorème de Witt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.5.4 Exercices : calculs d’indice. . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6 Réseaux. 75 6.0 prérequis à propos des ℤ-modules. . . . . . . . . . . . . . . . . 75 6.1 Sous-groupes discrets de ℝ^{n}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 6.2 Théorème de Minkowski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.3 Applications diophantiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.3.1 Approximations diophantiennes simultanées. . . . . . . 80 6.3.2 Equations diophantiennes linéaires. . . . . . . . . . . . 81 6.3.3 Théorème des deux carrés. . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.3.4 Théorème des quatres carrés. . . . . . . . . . . . . . . 84

7 Réduction des endomorphismes. 85 7.1 sous-espaces stables par u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7.2 Théorème des noyaux et applications. . . . . . . . . . . . . . . 88

7.2.1 théorème des noyaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 7.2.2 endomorphisme diagonalisable et critère de diagonali-

sation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.2.3 La version diagonalisable plus nilpotent de Dunford… 91 7.3 La version semi-simple plus nilpotent de Dunford. . . . . . . . 92 7.4 Réduction de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.4.1 Réduction des endomorphismes nilpotents. . . . . . . . 96 7.4.2 Réduction de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.5 Réduction de Frobenius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 7.5.1 Partie existence du théorème 7.5.3. . . . . . . . . . . . 101 7.5.2 Partie unicité du théorème 7.5.3. . . . . . . . . . . . . 103 6

Chapitre 1

Factorisation des applications.

1.1 Rappel de vocabulaire ensembliste.

1.1.1 Relation d’équivalence.

Définition 1.1.1 Soit E un ensemble. On appelle \underline{relation d’équivalence} sur E la donnée d’un sous-ensemble R ⊂ E × E vérifiant :

1. ∀x ∈ E (x, x) ∈ R (réflexivité)

2. ∀x, y ∈ E (x, y) ∈ R ⟹ (y, x) ∈ R (symétrie)

3. ∀x, y, z ∈ E ((x, y) ∈ R et (y, z) ∈ R) ⟹ (x, z) ∈ R (transitivité)

L’usage est de noter x ∼ y pour (x, y) ∈ R et de dire que x et y sont équivalent pour la relation R ou ∼. L’ensemble des éléments y ∈ E tel que x ∼ y s’appelle la \underline{classe} de x, et se note parfois \overline{x} ⊂ E. L’ensemble de toutes les classes d’équivalence sous une relation ∼ est un sous-ensemble de l’ensemble ℙ(E) de toutes les parties de E et se note parfois E/ ∼. Le choix d’un, et d’un seul, élément x_{i} ∈ \overline{x_{i}} dans chacune des classes produit ce qu’on appelle un \underline{système de représentants} dans E de E/ ∼.

Exemples

1. Sur tout ensemble l’égalité est une relation d’équivalence.

2. La relation de congruence modulo 10 dans ℤ, par définition :

x ≡ y[10] ⟺ 10 | (x − y).

3. La colinéarité des vecteurs dans tout 𝕂-espace vectoriel, par définition

u ∼ v ⟺ ∃λ ∈ 𝕂, λ ≠ 0 λu = v.

4. Dans un groupe G on peut associer à tout sous-groupe H ⊂ G les équivalences à gauche et à droite modulo H, par définition :

x ∼_{H}^{g} y ⟺ Hx = Hy et x ∼_{H}^{d} y ⟺ xH = yH.

Définition 1.1.2 Soit E un ensemble. On appelle \underline{partition} de E la donnée d’une famille (E_{i})_{i∈I} de sous-ensembles de E, indexée par un ensemble d’indice I, et telle que :

1. E = ⋃_{i∈I} E_{i}

2. i ≠ j ⟹ E_{i} ∩ E_{j} = ∅

Lorsque (E_{i})_{i∈I} est une partition de E on note parfois E = ⨿_{i∈I}E_{i}.

Proposition 1.1.3 Soit E un ensemble.

1. Etant donné une partition E = ⨿_{i∈I}E_{i} on obtient une relation d’équivalence sur E en posant

x ∼ y ⟺^{def} ∃i ∈ I, x ∈ E_{i} et y ∈ E_{i}

2. Réciproquement, à partir d’une relation d’équivalence ∼ sur un ensemble E on obtient la partition en classe :

E = ⨿_{A∈E/∼}A.

Démonstration. c’est évident. □

1.1.2 Applications et principe de factorisation ensembliste.

Définition 1.1.4 Soient E et F deux ensembles.

1. Une \underline{application} de E dans F est la donnée d’un sous-ensemble G ⊂ E × F (le \underline{graphe} de l’application) tel que pour tout x ∈ E il existe un unique y ∈ F avec (x, y) ∈ G. Si on veut appeler f cette application on note alors f: E ⟶ F ou bien E ⟶^{f} F, et aussi y = f(x) lorsque (x, y) ∈ G. Lorsque y = f(x) on dit que y est l’\underline{image} de x et que x est un \underline{antécédent} de y pour f.

2. Soit f: E ⟶ F. On dit que f est \underline{injective} et on note f: E ↪ F lorsque f(x) = f(y) entraîne x = y pour tout x, y ∈ E.

3. Soit f: E ⟶ F. On dit que f est \underline{surjective} et on note f: E ↠ F lorsque tout élément de F admet (au moins) un antécédent pour f.

4. Soit f: E ⟶ F. On dit que f est \underline{bijective} et on note f: E ⟶^{∼} F lorsque f est à la fois injective et surjective.

Exemples

1. Sur tout ensemble E (non vide) le graphe diagonal {(x, x); x ∈ E} qui correspond à l’application identité Id_{E}: E ⟶ E telle que Id_{E}(x) = x.

2. De ℝ dans ℝ le graphe {(x, 2x); x ∈ ℝ} qui correspond à l’application f(x) = 2x.

3. Étant donnée une relation d’équivalence ∼ sur un ensemble E le graphe \{(x, \overline{x}); x ∈ E\} qui correspond à la surjection canonique π: E ↠ E/ ∼.

4. Étant donnée une application ensembliste f: E ⟶ F, on obtient une relation d’équivalence sur E en posant

x ∼ y ⟺^{def} f(x) = f(y)

Exercice 1.1 Soit ∼_{1} une relation d’équivalence sur E. Qu’obtient-t’on si on applique la recette de l’exemple 4 à la surjection canonique associée à ∼_{1} telle que décrite dans l’exemple 3 ? Et réciproquement ?

Etant donnée deux applications f: E ⟶ F et g: F ⟶ G on obtient une troisième application h := g ∘ f: E ⟶ F (composée de g avec f) en posant h(x) = g(f(x)). La composition des applications se visualise mieux avec les diagrammes sagitaux. Par exemple :

\xymatrix{E \ar[r]^{h} \ar[d]_{f} & G \\ F \ar@{-->}[ur]_{g}}

On parle de diagramme commutatif lorsque les divers morphismes obtenus par compositions (éventuelles) suivant différents chemins coïncident. Dans le cas du triangle ci-dessus, la seule égalité sous-entendue par la commutativité du diagramme est l’égalité h = g ∘f. De même on dit qu’un carré de la forme

\xymatrix{E \ar[r]^{h} \ar[d]_{f} & F \ar[d]^{k} \\ G \ar[r]_{g} & H}

est commutatif lorsque g ∘f = k ∘h. Bien sur on rencontrera des diagrammes commutatifs plus complexes.

Théorème 1.1.5 (factorisation ensembliste) Soit f: A ⟶ B une application entre deux ensembles A et B et π: A ↠ C une application surjective entre A et un troisième ensemble C. Alors l’assertion 1. ci-dessous est équivalente à l’implication 2. ci-dessous.

1. Il existe une unique application g: C ⟶ B telle que g ∘ π = f.

2. Pour tout a_{1}, a_{2} ∈ A l’égalité π(a_{1}) = π(a_{2}) entraîne f(a_{1}) = f(a_{2}).

On retiendra plus facilement cet énoncé si on pense au triangle de factorisation suivant :

\xymatrix{A \ar[r]^{f} \ar@{->>}[d]_{π} & B \\ C \ar@{-->}[ur]_{g}}

On parle de factorisation parce que la question posée est en quelque sorte de "diviser" au sens de la composition l’application f par l’application π. L’assertion 2 donne une condition nécessaire et suffisante à cette divisibilité. Démonstration du théorème 1.1.5.

On montre l’implication 1. ⟹ 2. On suppose donc l’existence d’une application g telle que g ∘π = f. Soient a_{1}, a_{2} ∈ A tels que π(a_{1}) = π(a_{2}). Alors en appliquant g à cette égalité on obtient f(a_{1}) = g(π(a_{1})) = g(π(a_{2})) = f(a_{2}).

On montre l’implication 2. ⟹ 1. Soit c ∈ C. Puisque π est surjective π^{−1}(c) est non vide. Soit a ∈ π^{−1}(c). Alors pour tout a′ ∈ π^{−1}(c) on a π(a′) = π(a) = c et donc f(a′) = f(a) par 2. En conséquence l’ensemble f(π^{−1}(c)) est un singleton, et l’élément b ∈ B tel que f(π^{−1}(c)) = {b} est uniquement défini pour c fixé. Ainsi on peut dire suivant l’usage que c ↦ b ∈ f(π^{−1}(c)) est une application "bien définie". Appelons g cette application. En suivant la construction de g on vérifie immédiatement que g ∘ π = f. Cette égalité donne aussi l’unicité de g. En effet soit g′: C ⟶ B une application telle que g′ ∘ π = f. Pour montrer que g = g′ on vérifie l’égalité g′(c) = g(c) pour tout c ∈ C. On fixe c et on choisit a ∈ π^{−1}(c) ⊂ A. Puisque g ∘ π = f = g′ ∘ π on obtient g(c) = g(π(a)) = f(a) = g′(π(a)) = g′(c). □

Corollaire 1.1.6 On reprend le contexte et les notations du théorème 1.1.5. On suppose que les assertions équivalentes 1. et 2. de ce théorème sont vraies. On a alors en outre les équivalences :

1. g est surjective si et seulement si f l’est.

2. g est injective si et seulement si l’implication de l’assertion 2. est une équivalence.

Démonstration. Exercice. □

1.2 Factorisation et suites exactes de modules.

1.2.1 Principe de factorisation.

Le principe de factorisation du théorème 1.1.5 se décline dans diverses situation et pour des objets et morphismes plus divers que le cas particulier des ensembles et des applications ensemblistes décrit plus haut. Les énoncés et les démonstrations de ce paragraphe sont valables pour toute structure et tout type de morphisme, à condition qu’il soit possible de définir les noyaux des morphismes et les objets quotients. Pour fixer les idées dans la suite on étudiera les modules à gauche sur un anneau unitaire A et les morphismes de A-modules, même si tout resterait valable mutatis-mutandis pour les quotients des structure que vous connaissez (groupes, anneaux, espaces vectoriels, algèbre, groupe topologique, etc...). On énonce tout de même le théorème 1.2.3 en toute généralité.

Définition 1.2.1 Soient A et B deux ensembles munis d’une des structures ci-dessus, et soit f: A ⟶ B un morphisme.

1. On appelle \underline{noyau} de f et on note Ker f le sous-objet de A image réciproque de 0 ∈ B, c’est-à-dire Ker f = {a ∈ A; f(a) = 0}.

2. On appelle \underline{image} de f et on note Im f le sous-objet de B défini par Im f = {b ∈ B; ∃a ∈ A, f(a) = b}.

3. On appelle \underline{conoyau} de f et on note Coker f le quotient B/ Im f.

Proposition 1.2.2 Soient A et B deux ensembles munis d’une des structures ci-dessus, et soit f: A ⟶ B un morphisme.

1. f est injective si et seulement si Ker f = {0}.

2. f est surjective si et seulement si Im f = B si et seulement si Coker f = {0}.

Démonstration. Exercice. □

Théorème 1.2.3 Soient A et B deux ensemble muni d’une des structures ci dessus, H ◁ A un sous-objet de A tel que A/H soit lui-même muni de cette structure (i.e H est distingué dans le cas particulier de la structure de groupe). Soit f: A ⟶ B un morphisme, et π_{H}: A ⟶ A/H la surjection canonique.

\xymatrix{A \ar[r]^{f} \ar@{->>}[d]_{π_{H}} & B \\ A/H \ar@{-->}[ur]_{f̄}}

1. On a équivalences entre les (a) et (b) ci-dessous :

(a) Il existe un unique morphisme f̄: A/H ⟶ B tel que f̄∘ π = f.

(b) H ⊂ Ker f.

2. Si f̄ existe alors f̄ est surjective si et seulement si f l’est.

3. Si f̄ existe alors f̄ est injective si et seulement si l’inclusion du (b) est une égalité.

Démonstration. On se ramène au théorème 1.1.5 en remarquant, par exemple pour la structure de groupe, que pour a, a′ ∈ A l’équivalence π_{H}(a) = π_{H}(a′) ⟺ a^{−1}a′ ∈ H. Cette équivalence permet de traduire les inclusions de noyaux du type de l’assertion (a) du théorème 1.2.3 en des implications du type de celle de l’assertion 1. du théorème 1.1.5 (et de même les égalités de noyaux deviennent des équivalences). Ensuite si l’on suppose que f est un morphisme et puisque π_{H} l’est aussi on démontre au cas par cas, mais sans difficulté, que f̄ est aussi un morphisme dès que f̄ existe. □

1.2.2 Suites exactes de modules.

Pour fixer les idées à partir de maintenant on se donne un anneau unitaire R et on travaille dans la catégorie des R-modules à gauche (les morphismes sont les applications R-linéaires et le noyaux d’une application linéaire est défini comme image réciproque du neutre du module d’arrivé). Soit N ⊂ M des R-modules. On note ı: N ⟶ M et π: M ⟶ M/N les morphismes canoniques. Alors ı est injectif, π est surjectif, la composée π ∘ ı est nulle et on a même l’égalité Im(ı) = Ker(π). Cette situation se produit très souvent et il est commode de parler dans ce cas de suites exactes de A-modules :

\xymatrix{0 \ar[r] & N \ar[r]^{ı} & M \ar[r]^{π} & M/N \ar[r] & 0}

Dans cette suite de morphismes les applications {0} ⟶ N et M/N ⟶ {0} sont les seules possibles et on note 0 le module {0} par abus. Plus généralement on peut parler de suite exacte de longueur quelconque.

Définition 1.2.4 Étant donné une suite de R-module (M_{n})_{n∈ℕ} et de morphismes f_{n}: M_{n} ⟶ M_{n+1}, on dit que

1…. M_{n} →^{f_{n}} M_{n+1} →^{f_{n+1}} … est un \underline{complexe} lorsque f_{n+1} ∘ f_{n} = 0.

2. On dit que la suite

\xymatrix{... \ar[r] & M_{n−1} \ar[r]^{f_{n−1}} & M_{n} \ar[r]^{f_{n}} & M_{n+1} \ar[r] & ...}

est \underline{exacte en M_{n}} lorsque Im(f_{n−1}) = Ker(f_{n}).

3. On dit que la suite

\xymatrix{... \ar[r] & M_{n−1} \ar[r]^{f_{n−1}} & M_{n} \ar[r]^{f_{n}} & M_{n+1} \ar[r] & ...}

est \underline{exacte} lorsqu’elle est exacte en M_{n} pour tout n.

Proposition 1.2.5

1. Dire que \xymatrix{M \ar[r]^{α} & N \ar[r] & 0} est une suite exacte de module revient à dire que α est un morphisme de modules surjectif.

2. Dire que \xymatrix{0 \ar[r] & M \ar[r]^{β} & N} est une suite exacte de module revient à dire que β est un morphisme de modules injectif.

3. Si un module M apparaît dans une suite exacte 0 ⟶ M ⟶ 0 alors le module M est nul.

4. Dire que \xymatrix{0 \ar[r] & M \ar[r]^{γ} & N \ar[r] & 0} est une suite exacte revient à dire que γ est un isomorphisme.

Démonstration. C’est immédiat. □

Proposition 1.2.6 Soit

\xymatrix{0 \ar[r] & A \ar[r]^{α} & B \ar[r]^{β} & C \ar[r] & 0}

une suite exacte (courte) de R-module. Les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) Le sous-module α(A) est facteur direct de B.

(ii) Il existe un sous-module F ⊂ B tel que la restriction de β à F soit

un isomorphisme F ≅ C. (iii) Il existe un morphisme a: B ⟶ A tel que a ∘ α = Id_{A}. (iv) Il existe un morphisme b: C ⟶ B tel que β ∘ b = Id_{C}.

Lorsque ces conditions sont vérifiées le morphisme b ↦ (a(b), β(b)) est un isomorphisme B ≅ A ⊕ C.

Démonstration. Pour établir cette équivalence on montre successivement les implications (i) ⟹ (ii) ⟹ (iv) ⟹ (iii) ⟹ (i). On montre (i) ⟹ (ii). Si α(A) est facteur direct soit F un supplémentaire à α(A) dans B. Par définition des suites exactes Ker β = α(A) et on a donc Ker β ∩ F = {0}. Si c ∈ C il existe un b ∈ B tel que β(b) = c. Or B est somme de F et α(A). Il existe donc f ∈ F et a ∈ Ker(β) tel que b = f + a. On a donc β(f) = β(b) = c. La restriction de β au sous-module F est bien un isomorphisme.

On montre (ii) ⟹ (iv). Soit F tel que β: F ⟶ C soit un isomorphisme, soit γ: C ⟶ F le morphisme réciproque et soit ε: F ⟶ B le morphisme donné par l’inclusion. Alors b = ε ∘ γ vérifie bien β ∘ b = Id_{C}.

On montre (iv) ⟹ (iii). Puisque α est injective il existe toujours un isomorphisme réciproque η: α(A) ⟶ A. Pour x ∈ B, on pose p(x) = x − b ∘ β(x). On définit ainsi un morphisme p: B ⟶ B. Alors comme α(A) = Ker(β) la restriction de p à α(A) est l’identité. Si x ∈ B alors β(p(x)) = β(x) − β ∘ b ∘ β(x) = 0 car β ∘ b = Id_{C}. Donc l’image de p est contenu dans α(A). Le morphisme a = η ∘ p vérifie bien a ∘ α = Id_{A}.

On montre (iii) ⟹ (i). Pour ce on vérifie que Ker a est un supplémentaire de α(A) dans B. Soit x ∈ Ker a ∩ α(A). alors il existe y ∈ A tel que x = α(y). Et comme a ∘ α = Id_{A} on a 0 = a(x) = a(α(y)) = y. Il suit x = α(y) = 0. On a bien α(A) ∩ Ker a = {0}. Soit x ∈ B. Alors a(x − α(a(x))) = a(x) − a(α(a(x))) = 0 puisque a ∘ α = Id_{A}. Donc x − α(a(x)) ∈ Ker a. Donc comme α(a(x)) appartient à α(A) l’élément x appartient à ⟨α(A) ∪ Ker a⟩.

On a démontré les équivalences requises. Si ces conditions sont remplies, l’application b ↦ (a(b), β(b)) est clairement linéaire, et son morphisme réciproque est (x, y) ↦ α(x) + b(y), comme on le voit par un calcul immédiat.

□

Définition 1.2.7 Lorsque les conditions équivalentes du lemme 1.2.6 sont vérifiées on dit que la suite exacte \xymatrix{0 \ar[r] & A \ar[r]^{α} & B \ar[r]^{β} & C \ar[r] & 0} est \underline{scindée}.

Lorsque R est un corps tous les sous-espaces vectoriels sont facteurs directs et toutes les suites courtes sont scindées. Il est alors préférable d’utiliser la notion de somme directe plus facile à manier et il serait ridicule de parler de suites exactes d’espaces vectoriels. Bien entendu pour les modules il existe des suites qui ne sont pas scindées, par exemple la suite exacte de ℤ-modules \xymatrix{0 \ar[r] & pℤ \ar[r]^{x↦x} & ℤ \ar[r]^{x↦\overline{x}} & ℤ/pℤ \ar[r] & 0} n’est pas scindée (Exercice).

Soit \xymatrix{... \ar[r] & M \ar[r]^{f} & N} une suite exacte ne terminant pas par 0. Alors la suite \xymatrix{... \ar[r] & M \ar[r]^{f} & N \ar[r]^{π_{f(M)}} & N/f(M) \ar[r] & 0} est une suite exacte terminant par 0.

Soit \xymatrix{N \ar[r]^{g} & M \ar[r] & ...} une suite exacte ne commençant pas par 0. Alors la suite \xymatrix{0 \ar[r] & Ker g \ar[r] & N \ar[r]^{g} & M \ar[r] & ...} est une suite exacte qui commence par 0.

Soit

\xymatrix{... \ar[r] & A \ar[r] & B \ar[r]^{f} & C \ar[r] & ...}

une suite exacte avec plus de trois modules non nuls. Alors on peut la "couper" pour obtenir une suite exacte à trois termes non nuls (dite suite exacte courte) et les deux suites moins longues qui suivent :

\xymatrix{... \ar[r] & A \ar[r] & Ker f \ar[r] & 0}
\xymatrix{0 \ar[r] & Ker f \ar[r] & B \ar[r]^{f} & Im f \ar[r] & 0}
\xymatrix{0 \ar[r] & Im f \ar[r] & C \ar[r] & ...}

On peut conclure des remarques ci-dessus que l’étude des suites exactes se ramène à celle des suites exactes courtes c’est-à-dire aux modules quotients. Cependant il est plus commode et élégant lorsque c’est possible de ne considérer qu’une seule suite longue plutôt que de multiplier les suites courtes.

1.2.3 Problème : le lemme du serpent.

Soit R un anneau unitaire. On considère comme donnés les R-modules et les applications R-linéaires du diagramme ci-dessous :

\xymatrix{ & M \ar[r]^{m} \ar[d]_{μ} & N \ar[r]^{n} \ar[d]_{ν} & P \ar[r] \ar[d]^{ρ} & 0 \\ 0 \ar[r] & M′ \ar[r]^{m′} & N′ \ar[r]^{n′} & C′} .

On suppose que les deux lignes sont des suites exactes et que le diagramme est commutatif. L’objet de l’exercice est de démontrer le

Lemme 1.2.8 (lemme du serpent) Il existe un morphisme de R-modules δ: Ker ρ ⟶ Coker μ qui s’insère dans une suite exacte (longue) de Rmodules :

[figure: Ker μ; m̃; Ker ν; ñ; Ker ρ; Coker μ; \overline{m′}; Coker ν; \overline{n′}; Coker ρ]

De plus si n′ est surjectif alors \overline{n′} l’est aussi ; et si m est injectif alors m̃ aussi.

Étapes de la démonstration :

1. On définit les applications ˜ par restriction.

2. On définit les applications ¯ par factorisation.

3. On utilise la commutativité du diagramme et une "chasse" au diagramme pour montrer que δ est bien définie (partie "dure" de la démonstration).

4. Vérifications (plutôt moins difficile) de la linéarité de toutes les applications et de l’exactitude de la suite elle-même.

Algèbre linéaire basique.

2.1 fondement théorique : la dimension.

On fixe k un corps (commutatif). On appelle groupe additif tout groupe commutatif dont on note + la loi de groupe. On suppose connue les notions de bases concernant les groupes commutatifs (jusqu’au passage au quotient par un sous-groupe).

2.1.1 Espaces, sous-espaces et applications linéaires.

Un espace vectoriel V sur k est un groupe additif muni d’une opération externe k × V ⟶ V notée (λ, x) ↦ λ x vérifiant les axiomes de la théorie des modules à gauche sur un anneau, à savoir :

Définition 2.1.1 (structure de k-espace vectoriel) Soit V un groupe additif.

1. Une \underline{opération externe} à gauche de k sur V est une application notée (λ, m) ↦ λm du produit cartésien k × V dans V.

2. On dit que V est un \underline{espace vectoriel sur k} (ou k-espace vectoriel) lorsqu’il existe une opération externe à gauche de k sur V vérifiant les axiomes (Pour tout v, v′ ∈ V et tout λ, μ ∈ k) :

(a) λ(v + v′) = λv + λv′

(b) (λ + μ)v = λv + μv

(c) 1_{k}v = v

(d) (λμ)v = λ(μv)

3. Soient V et W deux k-espaces. On appelle \underline{application k-linéaire} un morphisme de groupes f: V ⟶ W compatible avec l’opération de k, autrement dit tel que, pour tout v ∈ V et tout λ ∈ k, on ait f(λv) = λf(v). On note Hom_{k}(V, W) l’ensemble des applications k-linéaires de V dans W. On appelle \underline{isomorphisme} d’espace vectoriel une application linéaire bijective.

4. Soit V un k-espace, et soit W ⊂ V. On dit que W est un \underline{sous-espace} de V lorsque W est un sous-groupe de V stable pour l’opération de k, autrement dit lorsque, pour tout λ ∈ k et tout w ∈ W, on a λw ∈ W.

Soit V un k-espace et W < V un sous-espace et soit V/W le groupe additif quotient. Alors l’opération externe de k sur V se factorise en une opération externe de k sur V/W. Avec cette opération V/W est aussi un k-espace vectoriel : c’est l’espace vectoriel quotient.

Exemples :

1. Soit n un entier, le produit cartésien k^{n} muni des opérations évidentes (composantes par composantes) est un k-espace vectoriel.

2. Plus généralement si I est un ensemble et V un k-espace vectoriel l’ensemble V^{I} des applications de I dans V muni des opérations

(x ↦ f(x)) + (g ↦ g(x)) = (x ↦ g(x) + f(x))
et λ(x ↦ f(x)) = (x ↦ λf(x))

est un k-espace vectoriel. L’éléments f ∈ V^{I} est parfois noté (f(i))_{i∈I}.

3. On note V^{(I)} le sous-espace de V^{I} contenant les applications "presque toujours nulles" c’est-à-dire les applications f telle que l’image réciproque de 0 par f soit de complémentaire fini dans I ou encore telle qu’il existe un J avec J ⊂ I, I\J fini et pour tout i ∈ J f(i) = 0.

4. Étant donné des espaces vectoriels (V_{i})_{i∈I}, le produit cartésien ∏_{i} V_{i} muni des opérations composantes par composantes est un espace vectoriel.

2.1.2 Familles de vecteurs d’un espace vectoriel.

Définition 2.1.2 Soit I un ensemble et V un k-espace vectoriel. On appelle \underline{famille} d’éléments de V (de scalaires si V = k) et on note (x_{i})_{i∈I}, la donnée d’une application I ⟶ V notée i ↦ x_{i}. Par abus on dit que le cardinal #I de I est le cardinal de la famille (x_{i})_{i∈I}. Lorsque I est fini on dit que la famille (x_{i})_{i∈I} est une famille \underline{finie}.

Toute intersection de sous-espaces vectoriel est un sous-espace de sorte que pour toute partie d’un espace V il existe toujours un plus petit sous-espace contenant cette partie.

Définition 2.1.3 Soit V un espace vectoriel et F = (x_{i})_{i∈I} une famille de vecteurs de V. On appelle sous-espace engendré par F et on note ⟨x_{i}, i ∈ I⟩ le plus petit sous-espace de V contenant tous les x_{i}.

Proposition 2.1.4 ⟨x_{i}, i ∈ I⟩ est l’ensemble formé de toutes les combinaisons linéaires finies possibles ∑_{i∈J} λ_{i}x_{i} où J parcourt les parties finies de I et les (λ_{j})_{j∈J} parcourent les familles finies de scalaires.

Démonstration. C’est évident. □

Définition 2.1.5 Soit V un espace vectoriel et F = (x_{i})_{i∈I} une famille de vecteurs de V.

1. La famille F est dite \underline{libre} lorsque pour toute partie finie J ⊂ I et toute famille de scalaires (λ_{j})_{j∈J} l’identité ∑_{j∈J} λ_{j}x_{j} = 0 entraîne les identités ∀j ∈ J, λ_{j} = 0. Lorsqu’au contraire il existe une relation linéaire finie non triviale ∑_{j∈J} λ_{j}x_{j} = 0 avec au moins un λ_{j} non nul on dit que la famille F est liée.

2. La famille F est dite \underline{génératrice} lorsque ⟨F⟩ = V.

3. On dit que la famille F est une \underline{base} lorsqu’elle est libre et génératrice.

Proposition 2.1.6 Soit (x_{i})_{i∈I} une famille de V. On a équivalence entre les trois assertions suivantes :

1. La famille (x_{i})_{i∈I} est une base.

2. Pour tout vecteur v de V il existe une unique famille finie de scalaires (v_{j})_{j∈J} avec J ⊂ I telle que

v = ∑_{j∈J} v_{j}x_{j}.

3. L’application naturelle k^{(I)} ⟶ V définie par (λ_{i})_{i∈I} ↦ ∑_{i∈I} λ_{i}x_{i} est un isomorphisme.

Démonstration. Exercice. □

Proposition 2.1.7 Soit f: E ⟶ F une application linéaire.

1. Im(f) est un sous-espace de F et Ker(f) := f^{−1}(0) est un sous-espace de E.

2. L’image par f d’une famille génératrice de E est une famille génératrice de Im(f).

3. f est injective si et seulement si l’image de toute famille libre de E est une famille libre de F.

4. f est un isomorphisme si et seulement si l’image d’une base de E et une base de F si et seulement si l’image de toute base de E est une base de F.

Démonstration. Exercice. □

Lemme 2.1.8 Soit G une famille finie génératrice de V = ⟨G⟩, et soit L une famille libre de V. Alors L est finie et #L ≤ #G.

Démonstration. Soit n = #G et écrivons G = (g_{i})_{1≤i≤n}. On va montrer que toute famille de n + 1 éléments est liée. On procède par récurrence sur n. Si n = 1 tout vecteur v ∈ V s’écrit λ_{v}g_{1} et deux vecteurs de V nontriviaux, v et w, vérifient la relation linéaire non-triviale λ_{v}w − λ_{w}v = 0. Pour établir l’hérédité, soit m un entier, m ≥ 2, tel que le lemme soit vrai pour toute famille G′ de cardinal m − 1. Supposons G de cardinal m et soit V = (v_{i})_{0≤i≤m} une famille de m + 1 vecteurs de V. Pour tout j il existe une famille de scalaire (λ_{i,j})_{1≤i≤m} tels que v_{j} = ∑_{i} λ_{i,j}g_{i}. Pour montrer que V est liée on peut supposer v_{0} non nul et donc quite à permuter les g_{i} que le pivot λ_{1,0} est non nul. On utilise ce pivot non nul pour éliminer la composante en g_{1} et on forme les m vecteurs w_{1}, ⋯ w_{m} du sous-espace ⟨g_{2}, ⋯ g_{m}⟩ ci-dessous :

w_{j} = λ_{1,0}v_{j} − λ_{1,j}v_{0} = ∑_{i=2}^{m}(λ_{1,0}λ_{i,j} − λ_{1,j}λ_{i,0})g_{i}.

Par hypothèse de récurrence ces m vecteurs vérifient une relation linéaire non triviale

0 = ∑_{j=1}^{m} α_{j}(λ_{1,0}v_{j} − λ_{1,j}v_{0}) = (∑_{j=1}^{m} −α_{j}λ_{1,j})v_{0} − ∑_{j=1}^{m} α_{j}λ_{1,0}v_{j}.

Puisque λ_{1,0} et au moins l’un des α_{j} est non nul la famille v_{0}, ⋯, v_{m} est liée. □ Remarque : L’idée de la preuve repose sur le principe du pivot de Gauß :

on passe de la matrice des v_{j} à celle des w_{j} en utilisant le pivot λ_{1,0} pour annuler la première ligne. Par récurrence sur la dimension on obtient un système triangulaire inférieur et si il y a plus de colonnes que de lignes, les dernières colonnes sont nulles (et en particulier linéairement dépendantes).

2.1.3 Dimension des espaces vectoriels de type fini.

L’inclusion des images définit une relation d’ordre sur les familles. Cette relation d’ordre permet de caractériser les bases d’un espace vectoriel et de montrer leur existence en toute généralité.

Proposition 2.1.9 Soit V un espace vectoriel et F une famille de V. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. F est une base de V.

2. F est une famille libre maximale parmi les familles libres de V.

3. F est une famille génératrice minimale parmi les familles génératrices de V.

Démonstration. Supposons que F soit une base de V. Alors F est à la fois génératrice et libre. Soit x ∈ V \F. Alors x s’écrit comme combinaison linéaire finie d’éléments de F et en particulier la famille F ∪ {x} n’est pas libre. On a montré que 1 entraîne 2. Soit x ∈ F. Comme F est libre x n’appartient pas aux sous-espace engendré par F \ {x}, et cette dernière famille n’est pas génératrice. On a montré que 1 entraîne 3.

Supposons que F soit une famille libre maximale. Soit x ∈ V \ F. Alors la famille F ∪ {x} contient strictement F et n’est donc plus libre. Il existe donc une relation de dépendance linéaire finie non triviale entre les éléments de cette famille λ_{x}x + ∑_{y∈F} λ_{y}y = 0. Puisque F est libre on a aussi λ_{x} ≠ 0. De sorte que x = −(1/λ_{x}) ∑_{y∈F} λ_{y}y ∈ ⟨F⟩. Cela montre que 2 entraîne 1.

Supposons que F soit une famille génératrice minimale. Alors une relation de dépendance linéaire non triviale entre les éléments de F permet d’omettre un élément de F qui est déjà dans le sous-espace engendré par les autres éléments. Cela contredit la minimalité de cette famille, qui est donc libre. On a montré que 3 entraîne 1. □

Définition 2.1.10 On dit qu’un espace vectoriel V est de type fini lorsqu’il admet une famille génératrice finie.

Théorème 2.1.11 (dimension) Soit V un espace vectoriel de type fini.

1. De toute famille génératrice finie de V on peut extraire une base de V : en particulier V admet une base.

2. Toute les bases de V sont finie et ont même cardinal : ce cardinal s’appelle la dimension de V.

3. Toute famille libre de V se complète en une base.

Démonstration. 1. On part d’un système générateur fini G_{1} = (g_{1}, ⋯, g_{n}) de V. Si G est libre alors c’est une base. Sinon une relation linéaire non triviale ∑_{i} λ_{i}g_{i} = 0 avec λ_{j} ≠ 0 montre que la famille G_{2} = G_{1} \ g_{j} est encore génératrice. Par ce procédé on aboutit soit à un système générateur minimal c’est-à-dire une base, soit à un système générateur ne contenant que le seul vecteur nul. Dans ce dernier cas l’espace vectoriel tout entier est réduit à {0} et on convient que ∅ est une base de V.

2. est une conséquence du lemme 2.1.8 et de 1. Soient B une base finie de V et B′ une base de V. Alors B′ est libre et B est génératrice donc #B′ ≤ #B. Ainsi B′ est génératrice finie tandis que B est libre et le lemme 2.1.8 s’applique aussi pour l’inégalité réciproque.

3. Avec 1. et 2. on peut parler de la dimension finie n de V. Par le lemme 2.1.8 on sait aussi que toute famille de n + 1 vecteurs est liée. Soit L une famille libre. Si x ∈ V \ ⟨L⟩ alors la famille L ∪ {x} est encore libre. Par ce procédé on aboutit en au plus n étapes à une famille libre maximale contenant L. Cette base convient. □

Corollaire 2.1.12 Deux espaces vectoriels de type fini sont isomorphes si et seulement si ils ont même dimension.

Démonstration. Si deux espaces ont même dimension n ils sont tous deux isomorphes à k^{n}. Réciproquement si deux espaces sont isomorphes l’image d’une base de l’un est une base de l’autre par cet isomorphisme et les dimensions coïncident. □

Proposition et définition 2.1.13 Soient F et G deux sous-espaces d’un espace vectoriel E de dimension finie. Les assertions suivantes sont équivalentes et lorsqu’elles sont remplies on dit que F et G sont \underline{supplémentaire} l’un de l’autre dans E, et on note E = F ⊕ G.

1. F ∩ G = {0} et E = F + G.

2. Tout x ∈ E d’écrit de manière unique x = f + g avec f ∈ F et g ∈ G 3. L’application naturelle F × G ⟶ E définie par (f, g) ↦ f + g est un

isomorphisme.

Démonstration. Exercice. □

Corollaire 2.1.14 Tout sous-espace F ⊂ E d’un espace vectoriel de dimension finie admet un supplémentaire.

Démonstration. Il suffit de compléter une base de F en une base de E puis de considérer le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs qui complètent cette base. □

Exercice 2.1 Soit V un espace vectoriel de dimension finie. Soit G = (g_{i})_{i∈I} une famille génératrice de V et L = (l_{j})_{j∈J} une famille libre de V. Montrer qu’il existe une base B de V contenant L et telle que B \ L soit contenu dans G.

Définition 2.1.15 Soit f: E ⟶ F une application linéaire. On appelle \underline{rang} de f et on note rang(f) la dimension de l’image de f.

Théorème 2.1.16 (rang) Soit f: E ⟶ F une application linéaire. Alors on a dim(E) = dim(Ker f) + rang(f).

Démonstration. On se donne des vecteurs e_{1}, ⋯, e_{n+r} tels que les e_{i} pour i = 1 ⋯ n forment une base de Ker(f) et que les f(e_{i}) pour i = n+1, ⋯ n+r forment une base de Im(f). On vérifie que la famille (e_{i})_{1≤i≤n+r} est une base de E. □

2.2 Matrices

2.2.1 Prérequis

Je considère comme connue la notion de matrices à coefficients dans un anneau commutatif unitaire A, la structure de A-module libre (de rang nm) de M_{n,m}(A) avec sa base canonique E_{i,j} ∈ M_{n,m}(A) et la notion de produit matriciel

\xymatrix{M_{n,m}(A) × M_{m,l}(A) \ar[r] & M_{n,l}(A) \\ ([a_{i,j}] , [b_{j,k}]) \ar@{|->}[r] & [c_{i,k}]}

avec

c_{i,k} = ∑_{j=1}^{m} a_{i,j}b_{j,k}

Dans les écritures ci-dessus les indices i parcourent {1, ⋯, n}, les indices j parcourent {1, ⋯, m} et les indices k parcourent {1, ⋯, l}. L’écriture des matrices sous la forme [a_{i,j}] l’indice i se rapportant aux lignes et j se rapportant aux colonnes est une convention parfaitement légitimée par l’élimination des indices j dans la somme qui définit c_{i,k}. Il faut aussi se rappeler que l’on multiplie à gauche par une matrice A ayant autant de colonnes que la matrice de droite B a de lignes. Le résultat du produit est la matrice C qui a autant de ligne que la matrice de gauche A et autant de colonnes que la matrice de droite B. Avec ce produit l’ensemble des matrices carrés d’ordre n, noté M_{n}(A), est une A-algèbre unitaire de neutre multiplicatif la matrice diagonale avec coefficients diagonals tous égaux à 1 notée I_{n}. L’anneau A s’identifie canoniquement avec le sous-anneaux AI_{n} de M_{n}(A). Le groupe linéaire d’ordre n est le groupe multiplicatif des matrices inversibles d’ordre n. On le note GL_{n}(A).

Exercice 2.2 Montrer que A est le centre de M_{n}(A).

2.2.2 Représentation matricielle des morphismes.

Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension finies rapportés aux bases e = (e_{1}, ⋯, e_{n}) de E et ε = (ε_{1}, ⋯, ε_{d}) de F. Tout vecteur x de F est uniquement représenté par ses coordonnée dans la base ε c’est-à-dire par l’unique famille de scalaires (x_{i})_{1≤i≤d} telle que x = ∑_{i} x_{i}ε_{i}. On convient de représenter cette famille de scalaire par une matrice à d lignes et 1 colonne. De sorte que toute famille finie (f_{j})_{1≤j≤s} de vecteurs de F est uniquement représentée par une matrice à d lignes et s colonnes, la j-ième colonne étant la matrice des coordonnées de f_{j} dans la base ε.

Définition 2.2.1 La \underline{matrice de la famille de vecteur} f_{1}, ⋯, f_{t} relativement à la base ε de F est la matrice à d lignes et t colonnes notée Mat_{ε}(f_{1}, ⋯, f_{t}) = [m_{i,j}] et définie par

f_{j} = ∑_{i=1}^{d} m_{i,j}ε_{i}.

Soit f: E ⟶ F une application linéaire. Alors f est uniquement déterminée par les images f(e_{j}) pour j = 1, ⋯, n.

Définition 2.2.2 La matrice de f relativement aux bases e de E et ε de F est la matrice du système de vecteurs f(e_{1}), ⋯, f(e_{n}) relativement à la base ε. On la note

Mat_{ε,e}(f) = Mat_{ε}(f(e_{i})_{i=1,··· ,n}).

Si chacun des f(e_{j}) s’écrit dans la base ε comme ci-dessous

f(e_{j}) = ∑_{i=1}^{d} m_{i,j}ε_{i},

alors la matrice de f relatives aux bases ε et e est la matrice d × n

Mat_{ε,e}(f) = [m_{i,j} ]_{1≤i≤d, 1≤j≤n}.

Si G est un troisième espace, rapporté à une troisième γ = (γ_{1}, ⋯, γ_{s}) et si g: F ⟶ G est une autre application linéaire on a

Mat_{γ,e}(g ∘ f) = Mat_{γ,ε}(g)Mat_{ε,e}(f).

La convention d’écrire d’abord la base ε de l’espace d’arrivée dans la notation Mat_{ε,e} permet cette élimination de l’indice ε intermédiaire.

2.2.3 Changement de bases.

Soit E un espace vectoriel de dimension n finie et soient e = (e_{1}, ⋯, e_{n}) et e′ = (e′_{1}, ⋯, e′_{n}) deux bases de E. On a

Mat_{e′,e}(Id_{E}) = Mat_{e′}(e_{1}, ⋯, e_{n}) =: Mat_{e′}(e).

La dernière égalité définit la notation Mat_{e′}(e). L’inverse de cette matrice est Mat_{e′,e}^{−1} = Mat_{e,e′}. Cette matrice (dite de passage) permet de calculer les coordonnée d’un vecteur dans la base e′ à partir de ses coordonnées dans la base e. Précisons : soit x = ∑_{i} x_{i}e_{i} = ∑_{i} x′_{i}e′_{i}. Alors on a

( x′_{1} ; ⋮ ; x′_{n} ) = Mat_{e′}(e) ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) .

Prenons maintenant en sus un espace vectoriel F de dimension finie m, deux bases ε et ε′ de F et une application linéaire f: E ⟶ F. Alors on a un carré commutatif :

\xymatrix{(E, e) \ar[r]^{f} \ar[d]^{_{Id_{E}}} & (F, ε) \ar[d]^{_{Id_{F}}} \\ (E, e′) \ar[r]^{f} & (F, ε′)} .

Ce diagramme donne les identités :

Mat_{ε′,e′}(f) Mat_{e′}(e) = Mat_{ε′}(ε) Mat_{ε,e}(f)

ou encore

Mat_{ε′,e′}(f) = Mat_{ε′}(ε) Mat_{ε,e}(f) Mat_{e}(e′).

Définition 2.2.3 Soient n et m des entiers. Deux matrices M, M′ ∈ M_{m,n}(k) sont dites \underline{équivalentes} si il existe une application linéaire f: k^{n} ⟶ k^{m} et deux couples de bases e, e′ de k^{n} et ε, ε′ de k^{m} tels que M = Mat_{ε,e}(f) et M′ = Mat_{ε′,e′}(f).

Il revient au même de dire qu’il existe une matrice S ∈ GL_{m}(k) et une matrice T ∈ GL_{n}(k) telles que M = SM′T. Comme l’indique la terminologie on définit ainsi une relation d’équivalence sur M_{m,n}(k).

Définition 2.2.4 Soit M ∈ M_{m,n}(k) une matrice. On appelle \underline{rang} de M la dimension du sous-espaces de k^{m} engendré par les n vecteurs colonnes de M.

Le rang d’une matrice est bien sûr égal au rang de toute application linéaire représenté par cette matrice. Ce rang ne dépend pas des bases choisies : c’est un invariant de la classe d’équivalence de la matrice. Sur un corps, cet invariant donne à lui seul un système complet d’invariant :

Théorème 2.2.5 Soit M une matrice de M_{m,n}(k) de rang r. Alors M est équivalente à une matrice de la forme

M ∼ ( \begin{matrix}I_{r} & 0_{r,n−r} \\ 0_{m−r,r} & 0_{m−r,n−r} \end{matrix} ) ,

où les matrices 0_{s,t} sont les matrices identiquement nulles avec s lignes et t colonnes (on convient que la matrice à 0 ligne ou à 0 colonne est la matrice vide). En particulier deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang.

Démonstration. Soit f: k^{n} ⟶ k^{m} l’endomorphisme représenté par M dans les bases canoniques de k^{n} et de k^{m}. Soient e_{1}, ⋯, e_{r} des vecteurs de k^{n} tels que la famille f(e_{i}) forme une base de Im(f). Alors la famille f(e_{i})_{1≤i≤r} est libre dans k^{m} et on peut la compléter en une base ε de k^{m}. La famille (e_{i})_{1≤i≤r} est libre et constitue une base d’un supplémentaire de Ker(f). Complétons la famille libre (e_{i})_{1≤i≤r} avec une base du noyau de f pour obtenir une base e de k^{n}. Alors la matrice Mat_{ε,e}(f) est équivalente à M et est de la forme voulue. □

Étant donnée une matrice concrète, la démonstration qui précède ne fournit aucune méthode pour calculer le rang d’une matrice M et encore moins les bases de l’image ou du noyau qui interviennent dans le raisonnement. La section qui suit décrit l’algorithme du pivot de Gauß qui résout de façon effective pratiquement toutes les questions calculatoires d’algèbre linéaire.

2.3 Opérations élémentaires sur les matrices.

Soit A un anneau commutatif.

Définition 2.3.1 Soit M ∈ M_{m,n}(A). Une \underline{opération élémentaire} sur M l’une des transformations suivantes :

1. ajouter à une colonne (resp. ligne) de M le produit par un élément de A d’une autre colonne (resp. ligne) : on parle de \underline{transvection} sur les lignes (resp. colonnes) de M.

2. permuter les colonnes (resp. lignes) de M.

3. multiplier une colonne (resp. ligne) de M par un élément de A^{×} : on parle de \underline{dilatation} ou \underline{d’affinité} sur M.

Ces opération élémentaires peuvent être modélisée par la multiplication matricielle de M par une matrice élémentaire. Pour retrouver ces "matrices élémentaires" l’on doit retenir quelques principes simples.

– L’action sur les lignes de M est toujours modélisée par la multiplication à gauche de M par une matrice élémentaire. La matrice M est alors remplacée par EM où E est la matrice élémentaire ad hoc. L’action sur les colonnes s’obtient elle par multiplication de M à droite par la matrice élémentaire ad hoc E. La matrice M est alors remplacée par ME.

– Les coefficients de la matrice élémentaire E elle-même s’obtiennent en appliquant à la matrice I_{m} (resp. I_{n}) l’operation élémentaire sur les lignes (resp. colonnes) que E est sensée modéliser : en effet on a toujours EI_{m} = E et I_{n}E = E ...

– La matrice de transvection T_{i,j}(λ) ∈ GL_{m}(A) qui modélise l’opération élémentaire sur m lignes L_{i} ← L_{i} + λL_{j} est la transposée de la matrice de transvection T_{j,i}(λ) ∈ GL_{m}(A) qui modélise la "même" opération élémentaire sur m colonnes C_{i} ← C_{i} + λC_{j}.

– La matrice de permutation Q(σ^{−1}) qui modélise l’opération élémentaire sur m lignes L_{i} ← L_{σ(i)} est l’inverse de la matrice de permutation Q(σ) qui modélise la "même" opération élémentaire sur m colonnes.

Ceci dit en appliquant à la matrice I_{s} l’opération élémentaire à modéliser, on définit les notations :

Notations 2.3.2 Soit s un entier, ε la base canonique de A^{s} et (E_{i,j})_{1≤i,j≤s} la base canonique de M_{s}(A), c’est-à-dire pour i et j fixé E_{i,j} = [e_{l,c}] avec e_{l,c} = 1 si i = l et j = c, e_{l,c} = 0 sinon.

1. Pour λ ∈ A et i ≠ j on note T_{i,j}(λ) = I_{s} + λE_{i,j} ∈ GL_{s}(A) la matrice de transvection.

2. Pour σ ∈ S_{n} on note Q(σ) = Mat_{ε}(ε_{σ(i)}, i = 1 ⋯ s) ∈ GL_{s}(A) la matrice de permutation.

3. Pour μ ∈ A^{×} on note D_{i}(μ) = ∑_{j≠i} E_{j,j} + μE_{i,i} ∈ GL_{s}(A) la matrice de dilatation.

Remarques :

1. Les applications λ ↦ T_{i,j}(λ), (resp. μ ↦ D_{i}(μ), resp. σ ↦ Q(σ)) sont des homomorphismes de groupes A ⟶ GL_{s}(A), (resp. A^{×} ⟶ GL_{s}(A), resp. S_{s} ⟶ GL_{s}(A)). En particulier

T_{i,j}(λ)^{−1} = T_{i,j}(−λ), D_{i}(μ)^{−1} = D_{i}(μ^{−1}) et Q(σ)^{−1} = Q(σ^{−1}).

2. On appelle dilatation ou transvection un endomorphisme f ∈ Hom_{k}(V) dont la matrice relative à une base de V est T_{i,j}(λ). On appelle dilatation un endomorphisme f ∈ Hom_{k}(V) dont la matrice dans une base de V est D_{i}(μ).

Maintenant pour être logiquement complet il faudrait vérifier que ces matrices agissent bien comme il se doit. J’énonce le résultat attendu et laisse la vérification au lecteur.

Proposition 2.3.3 Soient A un anneau commutatif, et soit M ∈ M_{m,n}(A) une matrice dont on note C_{j}, j = 1 ⋯ n les colonnes et L_{i}, i = 1 ⋯ m les lignes.

M = [C_{1} C_{2} ⋯ C_{n}] = [ L_{1} ; L_{2} ; ⋮ ; L_{m} ] .

Pour T_{i,j}(λ) ∈ GL_{m}(A), on a T_{i,j}(λ)M = [ L_{1} ; ⋮ ; L_{i−1} ; L_{i} + λL_{j} ; ⋮ ; L_{m} ].

Pour T_{i,j}(λ) ∈ GL_{n}(A), on a MT_{i,j}(λ) = [C_{1} ⋯ C_{j−1} C_{j} + λC_{i} ⋯ C_{n}].

Pour σ ∈ S_{m}, on a Q(σ)M = [ L_{σ^{−1}(1)} ; L_{σ^{−1}(2)} ; ⋮ ; L_{σ^{−1}(m)} ].

Pour σ ∈ S_{n}, on a MQ(σ) = [C_{σ(1)} C_{σ(2)} ⋯ C_{σ(n)}].

Pour D_{i}(μ) ∈ GL_{m}(A), on a D_{i}(μ)M = [ L_{1} ; ⋮ ; L_{i−1} ; μL_{i} ; ⋮ ; L_{m} ].

Pour D_{j}(μ) ∈ GL_{n}(A), on a MD_{j}(μ) = [C_{1} ⋯ C_{j−1} μC_{j} ⋯ C_{n}].

Démonstration. Exercice. □

Remarques : Il faut aussi savoir que det(T_{i,j}(λ)) = 1, det(D_{i}(μ)) = μ et det(Q(σ)) = ε(σ) (voir le chapitre 3 pour la théorie du déterminant). En fait l’algorithme du pivot de Gauß que l’on va présenter immédiatement fournit aussi une méthode de calcul de déterminant très efficace.

Théorème 2.3.4 Soit k un \underline{corps} et M ∈ M_{m,n}(k) une matrice de rang r dont on note les colonnes C_{1}, ⋯ C_{n}. Alors il existe P ∈ GL_{m}(k) une matrice produit de T_{i,j}(λ), σ ∈ S_{n} et D_{r}(μ) ∈ GL_{r}(k) tels que :

P MQ(σ) = [ \begin{matrix}D_{r}(μ) & ∗ \\ 0_{m−r,r} & 0_{m−r,n−r} \end{matrix} ] .

Si r < m on peut choisir μ = 1. Si r = n = m alors det(M) = ε(σ)μ. La famille (C_{σ(i)})_{1≤i≤r} est une base du sous-espace de k^{m} engendré par les vecteurs colonnes de M. Si C_{1}, ⋯, C_{r} est une famille libre, on peut choisir σ = Id.

Démonstration. Il s’agit de l’algorithme de Gauß. Pour une démonstration complète et une interprétation de la matrice ∗ voir le théorème 1.2.3.1 p. 45 du livre "Algèbre des matrices" par Jean Fresnel. J’indiquerai au tableau les grandes lignes de cet algorithme qu’il faut vraiment maîtriser. Ce théorème admet énormément de variantes et il est essentiel que vous disposiez d’une référence qui vous convienne à ce sujet. □

Cet algorithme a une foule d’applications pratiques. Initialement c’est une excellente méthode de résolution des systèmes linéaires. Ensuite l’algèbre linéaire se ramène, pour l’essentiel, à la résolution de ces systèmes. Je mentionnerai par exemple le critère d’inversibilité et l’inversion de matrices carrés.

Corollaire 2.3.5 Soient k un \underline{corps} et M ∈ GL_{n}(k). Alors M = P D_{n}(μ) = D_{n}(μ)Q où det(M) = μ et où les matrices P et Q sont des produits de T_{i,j}(λ). En particulier GL_{n}(k) est engendré par les T_{i,j}(λ) et les D_{n}(μ), et le sous-groupe SL_{n}(k) formé des matrices de déterminant 1 est engendré par les T_{i,j}(λ).

Démonstration. Par le théorème puisque M est inversible on peut prendre σ = Id et écrire M = P^{−1}D_{n}(μ), mais P et donc P^{−1} est produit de T_{i,j}(λ). On montre qu’on peut écrire M = D_{n}(μ)Q en utilisant la version "duale" du théorème pour laquelle on permute les lignes et on "nettoie" les colonnes.

□

Déterminant.

Dans ce chapitre on définit la notion de déterminant en le replaçant dans les contexte plus général des formes multilinéaires d’un module libre sur un anneau commutatif unitaire. Le cadre des formes multilinéaires rend plus naturelle les formules de définition qui autrement paraissent parachutées. Utiliser un anneau et non un corps de scalaires donne plus de souplesse pour des applications classiques. Par exemple cela permet de définir un \underline{polynôme} caractéristique (et pas une fraction rationnelle) associée à un endomorphisme de façon rigoureuse et sans contorsions ridicules. Cette présentation du déterminant peut paraître abstraite. On devra parfois penser au cadre plus intuitif des espaces vectoriels euclidiens, et dans ce cadre il est bon de se souvenir que le déterminant d’un système de vecteurs est le volume du parallélotope bordé par ces vecteurs. Ce point de vue sera rappelé au chapitre suivant consacré aux sous-groupes de ℝ^{n}.

3.1 Formes multilinéaires alternées.

On fixe un anneau commutatif unitaire A et un A-module libre de rang n noté E, dont on fixe une base ε_{1}, ⋯, ε_{n}.

Définition 3.1.1 Soit p un entier

1. Une \underline{forme p-linéaire} sur E est une application φ: E^{p} ⟶ A linéaire par rapport à chacune des coordonnées. C’est à dire telle que pour tout λ ∈ A, tout (x_{i})_{i=1}^{i=p} ∈ E^{p} et tout x ∈ E on ait

\begin{aligned}f(x_{1}, ⋯, λx_{i} + x, ⋯, x_{p}) & = & λf(x_{1}, ⋯, x_{i}, ⋯, x_{p}) \\ & + & f(x_{1}, ⋯, x, ⋯, x_{p}). \end{aligned}

2. L’ensemble des formes p-linéaires sur E se note L^{p}(E, A). C’est un A module pour les opérations naturelles

(λφ + ψ)(x_{1}, ⋯, x_{p}) = λφ(x_{1}, ⋯, x_{p}) + ψ(x_{1}, ⋯, x_{p}).

Pour tout entier naturel k on note ℕ_{k} = {1 ⋯, k} l’ensemble des k premiers entiers naturels. Par abus on note ℕ_{n}^{p} = ℕ_{n}^{ℕ_{p}} l’ensemble des n^{p} applications de ℕ_{p} dans ℕ_{n}. Pour tout α ∈ ℕ_{n}^{p} et tout (x_{1}, ⋯, x_{p}) ∈ E^{p} avec x_{j} = ∑_{i=1}^{n} x_{i,j}ε_{i} on pose :

e_{α}(x_{1}, ⋯, x_{p}) = ∏_{j=1}^{p} x_{α(j),j}.

Ces e_{α} sont manifestement des formes p-linéaires. En fait on a :

Proposition 3.1.2 La famille e_{α} est une base du module L^{p}(E, A), qui est donc libre de rang n^{p}.

Démonstration. Partant de la formule évidente ε_{j} = ∑_{i=1}^{n} δ_{i,j}ε_{i} on obtient pour tout α, β ∈ ℕ_{n}^{p} :

e_{α}(ε_{β(1)}, ⋯, ε_{β(p)}) = ∏_{j=1}^{p} δ_{α(j),β(j)} = \{ \begin{matrix}1 si α = β \\ 0 sinon. \end{matrix}

En particulier si ∑_{α∈ℕ_{n}^{p}} λ_{α}e_{α} = 0 alors pour tout β ∈ ℕ_{n}^{p} on a l’égalité 0 = ∑_{α∈ℕ_{n}^{p}} λ_{α}e_{α}(ε_{β(1)}, ⋯, ε_{β(p)}) = λ_{β}, d’où la liberté de la famille e_{α}. Pour voir que e_{α} est génératrice on constate que tout forme p-linéaire φ s’écrit

φ = ∑_{α∈ℕ_{n}^{p}} φ(ε_{α(1)}, ⋯, ε_{α(p)})e_{α}.

Pour démontrer cette dernière égalité une façon de procéder est de "multiplier les indices avec soin", ce que je laisse à la charge des lecteurs. Alternativement on peut constater que cette égalité est immédiate lorsqu’on l’évalue contre une famille de vecteurs de la forme (ε_{β(1)}, ⋯, ε_{β(p)}) pour β ∈ ℕ_{n}^{p}. Ensuite par récurrence sur p on démontre que deux formes p-linéaires sont égales si et seulement si elles coïncident après évaluation contre ces familles de vecteurs. En effet pour p = 1 c’est dire que deux formes linéaires sont égales si et seulement si elles coïncident sur une base. Pour l’hérédité on utilise que pour toute forme p-linéaire φ l’application (x_{2}, ⋯, x_{p}) ↦ φ(ε_{i}, x_{2}, ⋯, x_{p}) est une forme p − 1 linéaire, donc caractérisée par ses valeurs en les familles de vecteurs de la forme (ε_{β(2)}, ⋯, ε_{β(p)}) avec β parcourant ℕ_{n}^{p}. □

Remarque : En fait on utilise sans le dire l’isomorphisme canonique L^{p}(E, A) ≅ L(E, L^{p−1}(E, A)) défini comme suit :

φ ∈ L^{p}(E, A) ↦ (x ↦ ((x_{2}, ⋯, x_{p}) ↦ φ(x, x_{2}, ⋯, x_{p})))

Pour le cas particulier des espaces vectoriels sur un corps, cet isomorphisme permet de calculer les dimensions par récurrence (on trouve bien n^{p}) et dispense de vérifier que la famille e_{α} est génératrice.

Définition 3.1.3

1. Une forme p-linéaire φ sur E est dite \underline{alternée} lorsque pour toute famille (x_{1}, ⋯, x_{p}) de E on a φ(x_{1}, ⋯, x_{p}) = 0 dès qu’il existe i ≠ j avec x_{i} = x_{j}.

2. L’ensemble de toutes les formes p-linéaires alternées forme un sous-A-module de L^{p}(E, A) noté A^{p}(E, A).

Lemme 3.1.4 Soit φ ∈ A^{p}(E, A) alors pour toute permutation σ ∈ S_{p} de signature ε(σ) on a φ(x_{σ(1)}, ⋯, x_{σ(p)}) = ε(σ)φ(x_{1}, ⋯, x_{p}).

Démonstration. Puisque les transpositions engendrent S_{p} et que la signature est un homomorphisme on se ramène au cas particulier σ = (h k) avec 1 ≤ h < k ≤ p et ε(σ) = −1. Alors la forme bilinéaire (x, y) ↦ φ(x_{1}, ⋯, x_{h−1}, x, x_{h+1}, ⋯, x_{k−1}, y, x_{k+1}, ⋯, x_{p}) est alternée donc antisymétrique par la proposition 5.1.10. □

Proposition 3.1.5 Si p > n alors A^{p}(E, A) = {0}.

Démonstration. Soit φ ∈ A^{p}(E, A) ⊂ L^{p}(E, A). Alors dans la base e_{α} associée à la base ε on peut écrire φ = ∑_{α} φ(ε_{α(1)}, ⋯, ε_{α(p)})e_{α}. Mais p > n donc aucune application α n’est injective et on a forcément une répétition α(i) = α(j) pour i ≠ j. Comme φ est alternée on en déduit φ(ε_{α(1)}, ⋯, ε_{α(p)}) = 0. □

3.2 La forme déterminant.

Théorème 3.2.1 (fondamental) Soit E un A-module libre de rang n. Le A-module A^{n}(E, A) est libre de rang 1, engendré par la forme déterminant det_{ε} associée à toute base ε (voir définition 3.2.2).

La suite de ce paragraphe est consacré à la démonstration de ce théorème. Soit ε_{1}, ⋯, ε_{n} une base de E, et soit e_{α} la base de L^{n}(E, A) associée. Tout φ ∈ A^{n}(E, A) s’écrit donc φ = ∑_{α} φ(ε_{α(1)}, ⋯, ε_{α(n)})e_{α}. Mais si α ∈ N_{n}^{n} n’est pas bijective alors α n’est pas injective et puisque φ est alternée on a φ(ε_{α(1)}, ⋯, ε_{α(n)}) = 0 pour α ∉ S_{n}. D’autre part par la proposition 3.1.4 on a pour tout σ ∈ S_{n}, φ(ε_{σ(1)}, ⋯, ε_{σ(n)}) = ε(σ)φ(ε_{1}, ⋯, ε_{n}). Cela donne l’identité :

φ = ∑_{σ∈S_{n}} ε(σ)φ(ε_{1}, ⋯, ε_{n})e_{σ} = φ(ε_{1}, ⋯, ε_{n}) ∑_{σ∈S_{n}} ε(σ)e_{σ}.

Définition 3.2.2 On appelle \underline{déterminant} relativement à la base ε et on note det_{ε} la forme n-linéaire

det_{ε} = ∑_{σ∈S_{n}} ε(σ)e_{σ}.

Explicitement la forme déterminant évaluée en le système de vecteur x_{j} = ∑_{i=1}^{n} x_{i,j}ε_{i} s’écrit

det_{ε}(x_{1}, ⋯, x_{n}) = ∑_{σ∈S_{n}} ε(σ) ∏_{i=1}^{n} x_{σ(i),i}.

Cette forme est non nulle (les e_{σ} sont A-libres) et on a vu que A^{n}(E, A) est contenu dans le sous-A-module monogène engendré par det_{ε}.

A^{n}(E, A) ⊂ Adet_{ε}.

Pour terminer la preuve du théorème il faut démontrer que det_{ε} est alternée et n’est pas de torsion.

Lemme 3.2.3 La forme det_{ε} n’est pas de torsion.

Démonstration. En effet si λ ∈ A alors λdet_{ε}(ε_{1}, ⋯, ε_{n}) = λ. D’où l’équivalence λdet_{ε} = 0 ⟺ λ = 0. □

Lemme 3.2.4 La forme det_{ε} est alternée.

Démonstration. On donne d’abord une démonstration plus "conceptuelle" et plus simple en supposant que 2 ne divise pas 0 dans A. On définit une action linéaire (i.e. par automorphisme) du groupe S_{p} sur L^{p}(E, A) en posant

(σ ∗ φ)(x_{1}, ⋯, x_{p}) = φ(x_{σ(1)}, ⋯, x_{σ(p)}).

Pour cette action l’orbite des e_{α} est facile à décrire puisque σ ∗ e_{α} = e_{α∘σ^{−1}}. Dans notre cas particulier n = p, on voit que pour toute permutation γ on a

\begin{aligned}γ ∗ det_{ε} & = γ ∗ ∑_{σ∈S_{n}} ε(σ)e_{σ} = ∑_{σ∈S_{n}} ε(σ)γ ∗ e_{σ} = ∑_{σ∈S_{n}} ε(σ)e_{σ∘γ^{−1}} \\ & = ∑_{σ∈S_{n}} ε(σ ∘ γ)e_{σ} = ∑_{σ∈S_{n}} ε(σ)ε(γ)e_{σ} = ε(γ)det_{ε}. \end{aligned}

On trouve donc que pour tout transposition τ on a τ ∗ det_{ε} = −det_{ε}. Si 2 ne divise pas zéro dans A les formes bilinéaires antisymétriques sont alternées (c’est la proposition 5.1.9) et la forme (x, y) ↦ det_{ε}(x_{1}, ⋯, x, ⋯, y, ⋯, x_{p}) est anti-symétrique puisque échanger x et y revient à faire agir une transposition sur det_{ε}. Cela démontre le lemme sous l’hypothèse "2 ne divise pas 0 dans A".

En général on procède de façon plus calculatoire et l’action de S_{n} qui sert de fil conducteur n’a même pas besoin d’être définie. Soit (x_{1}, ⋯, x_{n}) une famille de E avec x_{h} = x_{k} pour h < k et écrivons x_{j} = ∑_{i=1}^{n} x_{i,j}ε_{i}. Soit τ la transposition τ = (h k). Alors on a S_{n} = A_{n} ⨿ A_{n}τ et on en déduit :

det_{ε}(x_{1}, ⋯, x_{n}) = ∑_{σ∈S_{n}} ε(σ) ∏_{i=1}^{n} x_{σ(i),i}

= ∑_{σ∈A_{n}} ε(σ) ∏_{i=1}^{n} x_{σ(i),i} + ∑_{σ∈A_{n}} ε(στ) ∏_{i=1}^{n} x_{σ(τ(i)),i}

= ∑_{σ∈A_{n}} ε(σ) ∏_{i=1}^{n} x_{σ(i),i} − ∑_{σ∈A_{n}} ε(σ) ∏_{i=1}^{n} x_{σ(τ(i)),i}

= 0.

En effet x_{σ(τ(h)),h} = x_{σ(k),h} = x_{σ(k),k}, par symétrie x_{σ(τ(k)),k} = x_{σ(h),h} et pour tout les autres i ≠ h, k on a x_{σ(τ(i)),i} = x_{σ(i),i}. □

Conclusion : On a vu que A^{n}(E, A) est libre monogène engendré par det_{ε}. En outre si φ ∈ A^{n}(E, A) alors φ = φ(ε_{1}, ⋯, ε_{n}) det_{ε}. On appelle \underline{déterminant du système de vecteurs} (x_{1}, ⋯, x_{n}) relativement à la base ε la quantité det_{ε}(x_{1}, ⋯, x_{n}).

3.3 Déterminant d’un endomorphisme.

Proposition et définition 3.3.1 Soit f un endomorphisme de E. Il existe un unique scalaire det(f) ∈ A tel que pour toute forme linéaire alternée φ ∈ A^{n}(E) on ait :

φ(f(x_{1}), ⋯, f(x_{n})) = det(f)φ(x_{1}, ⋯, x_{n}).

Ce scalaire s’appelle le déterminant de f.

Démonstration. On fixe une base ε de E. Puisque f est linéaire la forme (x_{1}, ⋯, x_{n}) ↦ det_{ε}(f(x_{1}), ⋯, f(x_{n})) est n-linéaire alternée et par le théorème fondamental 3.2.1 il existe un scalaire α tel que :

det_{ε}(f(x_{1}), ⋯, f(x_{n})) = αdet_{ε}(x_{1}, ⋯, x_{n}),

pour tout (x_{1}, ⋯, x_{n}) de E^{n}, c’est-à-dire que le scalaire α vérifie l’identité requise pour la forme det_{ε}. Mais comme A^{n}(E, A) est monogène engendré par det_{ε} et comme A est commutatif, le scalaire α = det(f) convient aussi pour tout φ = λ_{φ} det_{ε} ∈ A^{n}(E, A). □

En cours de démonstration on a obtenu la formule (valable pour toute famille x_{1}, ⋯, x_{n} telle que det_{ε}(x_{1}, ⋯, x_{n}) ∈ A^{×}) :

det(f) = det_{ε}(f(x_{1}), ⋯, f(x_{n}))det_{ε}(x_{1}, ⋯, x_{n})^{−1}.

En particulier puisque det_{ε}(ε_{1}, ⋯, ε_{n}) = 1 on retrouve la formule (utile pour les calculs pratique mais parfois parachutée en guise de définition) :

det(f) = det_{ε}(f(ε_{1}), ⋯, f(ε_{n})).

Proposition 3.3.2 Pour tous f, g ∈ End_{A}(E) on a det(fg) = det(f) det(g). Pour f = Id on a det(Id) = 1. En conséquence si f est inversible alors det(f) aussi et on a det(f)^{−1} = det(f^{−1}).

Démonstration. Par la proposition-définition 3.3.1 on a pour toute famille (x_{1}, ⋯, x_{n}) de E les identités :

det(fg)det_{ε}(x_{1}, ⋯, x_{n}) = det_{ε}(fg(x_{1}), ⋯, fg(x_{n})) = det(f)det_{ε}(g(x_{1}), ⋯, g(x_{n})) = det(f) det(g)det_{ε}(x_{1}, ⋯, x_{n}).

On en déduit det(fg) = det(f) det(g) en prenant (x_{1}, ⋯, x_{n}) = (ε_{1}, ⋯, ε_{n}). Le reste de la proposition est immédiat. □

3.4 Déterminant d’une matrice carré.

Définition 3.4.1 Pour une matrice carré M = [m_{i,j}] on pose

det(M) = ∑_{σ∈S_{n}} ε(σ) ∏_{i=1}^{n} m_{σ(i),i}.

On note aussi

det(M) = |m_{i,j}| .

Proposition 3.4.2 Soit M ∈ M_{n}(A) une matrice dont on note [C_{1}, ⋯, C_{n}] les colonnes.

1. det(M) = det(^{t}M)

2. det est une forme n linéaire alternée des colonnes de M (resp. des lignes de M).

3. Si ε est la base canonique de A^{n}, alors det(M) = det_{ε}(C_{1}, ⋯, C_{n}).

4. Pour toute base ε de E et tout endomorphisme f de E on a det(f) = det(Mat_{ε}(f)).

Démonstration. Pour 1, on part de la formule de définition et on obtient :

\begin{aligned}det(M) & = ∑_{σ∈S_{n}} ε(σ) ∏_{i=1}^{n} m_{σ(i),i} = ∑_{σ∈S_{n}} ε(σ^{−1}) ∏_{i=1}^{n} m_{σ^{−1}(i),i} \\ & = ∑_{σ∈S_{n}} ε(σ) ∏_{j=1}^{n} m_{j,σ(j)} = det(^{t}M) \end{aligned}

Les autres affirmations sont immédiates. □

3.5 Techniques de calculs.

3.5.1 Matrices triangulaires par blocs.

Lemme 3.5.1 Soit A un anneau commutatif et M ∈ M_{r}(A), N ∈ M_{r,s}(A) et P ∈ M_{s}(A) alors

| \begin{matrix}M & N \\ 0 & P \end{matrix} | = |M||P |.

Proposition 3.5.2 Soient M_{i} ∈ M_{r_{i}}(A) pour 1 ≤ 1 ≤ r. Alors

| \begin{matrix}A_{1} & ∗ & ∗ & ∗ \\ 0 & A_{2} & ∗ & ∗ \\ 0 & 0 & ∗ & ∗ \\ 0 & 0 & 0 & A_{r} \end{matrix} | = ∏_{i=1}^{r} |A_{i}|

Démonstration. Voir p. 35 du livre "algèbre des matrices" de Fresnel.

3.5.2 Pivot de Gauß.

C’est l’une des plus efficaces en général. On a déjà vu ensemble le principe de fonctionnement. le plus rapide est de rendre triangulaire (supérieure ou inférieure) la matrice avec des opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes. Le déterminant de la matrice est alors égal au produit des coefficients de la diagonale par la proposition 3.5.2. Voir p. 38 du même livre.

3.5.3 Développement par rapport à une ligne ou une colonne.

La formule et la démonstration se trouve p. 64 du livre de R. Goblot "algèbre linéaire". Étant donnée M = [m_{i,j}] une matrice de M_{n}(A) On note M_{i,j} la sous-matrice de M obtenue en enlevant la i-ième ligne et la j-ième colonne de M. Alors pour tout i et tout j on a

|M| = ∑_{h=1}^{n}(−1)^{h+j}m_{h,j}|M_{h,j}| = ∑_{k=1}^{n}(−1)^{k+i}m_{i,k}|M_{i,k}|.

La seconde égalité s’obtient en transposant la première. Pour la première on utilise la linéarité du déterminant par rapport à la j-ième colonne, puis on effectue des permutation sur lignes et colonnes (d’où le signe (−1)^{h+j}) pour se ramener à n matrices de la forme

( \begin{matrix}1 & ∗ \\ 0 & M_{h,j} \end{matrix} ) .

Le déterminant de ces matrices est |M_{h,j}| par la proposition 3.5.2. Ces formules (Cramer) ont un corollaire important (référence la p. 65 du livre de Goblot), c’est celle qui justifie l’introduction de la transposée de la comatrice d’une matrice.

Définition 3.5.3 On appelle comatrice de M et on note M̃ la matrice M̃ = (m̃_{i,j}) où m̃_{i,j} = (−1)^{i+j}|M_{i,j}|.

Proposition 3.5.4

tM̃M = MM̃^{t} = det(M)I_{n}.

Corollaire 3.5.5 Une matrice M ∈ M_{n}(A) est inversible si et seulement si det(M) ∈ A^{×}.

Corollaire 3.5.6 Un endomorphisme f de E est inversible si et seulement si det(f) ∈ A^{×}.

Corollaire 3.5.7 Une famille de vecteurs x_{1}, ⋯, x_{n} de E forme une base de E si et seulement si det_{ε}(x_{1}, ⋯, x_{n}) ∈ A^{×}.

Dans le cadre des espaces vectoriels sur un corps ces corollaires s’obtiennent sans la proposition 3.5.4 en utilisant le principe (mis en défaut avec les modules) qu’une famille libre de rang maximal est une base.

3.6 Applications classiques.

Il y quatre "applications" de la notion de déterminant qui sont incontournables. J’en donne la liste et une référence pour les trois première mais vous pouvez retrouver ces exemples développés un peu partout.

1. Déterminant de Vandermonde : La matrice de Vandermonde, en liaison avec les polynômes de Lagrange est définie p.42 du livre de Goblot. La formule du déterminant de Vandermonde est donnée en exercice p. 76. La correction de cet exercice peut se trouver en principe n’importe où.

2. Déterminant circulant : voir exercice III.2 p.76 du livre de Goblot.

3. Matrice résultante et son déterminant le résultant de deux polynômes : voir p.43 et 67 du livre de Goblot.

4. Polynôme caractéristique d’un endomorphisme d’un espace vectoriel V sur un corps k : c’est le déterminant d’une matrice à coefficient dans k[X].

40

Dualité.

4.1 Dual d’un espace vectoriel.

Dans la suite E désignera un espace vectoriel sur un corps commutatif k, sans autre restriction de généralité. Je m’attend à ce que les lecteurs soient familiarisés avec l’algèbre linéaire sur le corps des réels ℝ et éventuellement sur ℂ. L’un des objectifs de ce cours est vous donner accès à d’autres exemples. Les autres corps que vous pouvez utiliser comprennent (sans prétendre être exhaustif) 𝔽_{p}, ℚ, ℚ[\sqrt{3}], tout extension algébrique (voire clotûre) des précédents, les corps de fonctions k(T) à coefficient dans l’un des corps précédents, etc...

Définition 4.1.1 Soit E un k-espace vectoriel. On appelle \underline{dual} de E et on note E^{∗} l’espace vectoriel des applications k-linéaires de E dans k. Les éléments de E^{∗} sont appelées \underline{formes linéaires}.

Par exemple la projection sur la i-ième composante p_{i}: k^{n} ⟶ k définie par p_{i}(x_{1}, ⋯, x_{n}) = x_{i} est une forme linéaire.

Notation : Si φ est une forme linéaire sur E et si x ∈ E on notera

⟨φ, x⟩ = φ(x)

Définition 4.1.2 Soit (e_{i})_{i∈I} une base de E. Pour tout i ∈ I on note e_{i}^{∗} la i-ième forme linéaire coordonnée définie par

e_{i}^{∗}(e_{j}) = δ_{i,j} = \begin{cases}1 si i = j \\ 0 si i ≠ j \end{cases}

Remarque : ∀x ∈ E, x = ∑_{i∈I}⟨e_{i}^{∗}, x⟩e_{i}, et cette somme est finie.

Exercice 4.1 On suppose k de caractéristique nulle (autrement dit n ≠ 0 dans k pour tout entier n non nul).

1. On prend E = k[X] l’espace vectoriel des polynômes à coefficient dans k muni de sa base canonique (e_{n} = X^{n})_{n∈ℕ}. On note P^{(n)}(X) la nième dérivée formelle du polynôme P (X). Vérifier que la forme linéaire coordonnée est donnée par la formule

e_{n}^{∗}(P) = \frac{P^{(n)}(0)}{n!}

2. On prend E = k_{n}[X] l’espace vectoriel des polynômes à coefficient dans k de degré inférieur ou égal à n. Déterminer la forme linéaire coordonnée d’indice j de la base

f_{0}(X) = 1, f_{1}(X) = X, ⋯, f_{n}(X) = \frac{X(X − 1) ⋯ (X − n + 1)}{n!}.

Exemple : Soit E un k-espace vectoriel muni d’une base (e_{i})_{i∈I}. Soit φ la forme linéaire définie par ∀i ∈ I, φ(e_{i}) = 1. Si I est fini alors φ = ∑_{i∈I} e_{i}^{∗} est dans l’espace vectoriel engendré par les e_{i}^{∗}. Si au contraire I n’est pas fini alors φ n’est pas combinaison linéaire finie des e_{i}^{∗} : en effet pour tout sous-ensemble fini J ⊂ I et tout i ∈ I \ J on a ∑_{j∈J} λ_{j}e_{j}^{∗}(e_{i}) = 0 ≠ 1 = φ(e_{i}).

Théorème 4.1.3 On se donne une base de E notée B = (e_{i})_{i∈I}. On considère la famille B^{∗} = (e_{i}^{∗})_{i∈I}. Alors B^{∗} est une famille libre de E^{∗}. C’est une base de E^{∗} si et seulement si E est de dimension finie. Auquel cas B^{∗} est appelée base duale de B.

Démonstration. On part d’une relation linéaire finie ∑_{j∈J} λ_{j}e_{j}^{∗} = 0. Alors pour tout k ∈ J on a λ_{k} = ∑_{j∈J} λ_{j}e_{j}^{∗}(e_{k}) = 0. Cela montre que B^{∗} est libre. Si en outre I est fini alors B est générateur puisque tout φ de E^{∗} s’écrit φ = ∑_{i∈I} φ(e_{i})e_{i}^{∗}. Enfin si I n’est pas fini le contre-exemple qui précède le théorème s’applique et B^{∗} n’est pas générateur. □

Proposition 4.1.4 Le crochet de dualité ⟨φ, x⟩ satisfait les propriétés suivantes :

1. les applications φ ↦ ⟨φ, x⟩ et x ↦ ⟨φ, x⟩ sont k-linéaires.

2. La forme linéaire φ est nulle si et seulement si pour tout x ∈ E, ⟨φ, x⟩ = 0.

3. Un élément x ∈ E est nul si et seulement si pour tout forme linéaire φ ∈ E^{∗}, ⟨φ, x⟩ = 0.

Démonstration. 1. et 2. sont évidents. Pour 3. le sens direct est immédiat. On suppose x non nul et on doit trouver une forme linéaire qui ne s’annule pas en x. Mais puisque x est non nul le théorème de la base incomplète fournit une base commençant par x, et donc une forme linéaire x^{∗} associée à cette base vérifiant x^{∗}(x) = 1 ≠ 0. □

Proposition 4.1.5 Soit k^{ℕ} l’espace des suites à valeurs dans k et soit k^{(ℕ)} l’espace des suites ultimement nulles (à valeur dans k aussi). Le dual de k^{(ℕ)} est k^{ℕ}.

Démonstration. Sur k^{(ℕ)} on dispose de la base canonique e_{i} définie par e_{i}(n) = δ_{i,n}. Grâce à cette base on voit que l’application linéaire φ ↦ (φ(e_{i}))_{i∈ℕ} est un isomorphisme de (k^{(ℕ)})^{∗} sur k^{ℕ}. □

4.2 bidual

Définition 4.2.1 Soit E un espace vectoriel sur k. Le \underline{bidual} de E est le dual du dual de E. On le note E^{∗∗}.

Proposition 4.2.2 Soit E un espace vectoriel.

1. A tout x de E on associe la forme linéaire δ_{x}: E^{∗} ⟶ k définie par δ_{x}(φ) = φ(x). L’application x ↦ δ_{x} est linéaire et injective (on l’appelle l’injection canonique d’un espace dans son bidual). En dimension finie cette injection canonique est un isomorphisme.

2. On se donne une base B = (e_{i})_{i∈I} de E. Alors l’application linéaire e_{i} ↦ e_{i}^{∗} est une injection de E dans E^{∗}. C’est un isomorphisme en dimension finie.

Démonstration. Lorsque E est de dimension fini on a vu avec les bases duales que dim(E) = dim(E^{∗}). Les isomorphies en dimensions finies sont donc conséquences des injections et de l’égalité des dimensions. L’application du 1. est clairement bien définie et linéaire. Son injectivité provient du 3 de la proposition 4.1.4. L’application du 2. est définie par linéarité à partir d’une base. Cette application est injective puisque la famille B^{∗} est libre (théorème 4.1.3). □

Remarque : L’application E ⟶ E^{∗∗} est dite canonique puisqu’elle ne dépend pas du choix d’une base sur E. Elle est intrinsèque à E. Par contre l’application du 2. dépend du choix de la base. Par exemple dans ℚ^{2} l’image du vecteur (0, 1) change selon qu’on le complète en une base avec le vecteur (1, 1) ou bien avec le vecteur (1, 0).

4.3 Orthogonalité

Dans ce paragraphe, sauf mention explicite du contraire, E est de dimension quelconque (finie ou pas). La plupart des résultats sont énoncés dans la littérature en supposant la dimension finie, mais ils restent valables en toute généralité et cette hypothèse ne simplifie même pas les preuves.

Définition 4.3.1

1. Soit F un sous-espace de E, on appelle \underline{orthogonal de F} dans E^{∗} et on note F^{⊥} le sous-espace de E^{∗} des formes linéaires qui s’annulent sur F.

F^{⊥} = {φ ∈ E^{∗}; ∀x ∈ F, φ(x) = 0}

2. Soit G un sous-espace vectoriel de E^{∗}, on appelle \underline{orthogonal de G} dans E et on note G^{0} l’intersection dans E des noyaux des éléments de G.

G^{0} = {x ∈ E; ∀φ ∈ G, φ(x) = 0}

Proposition 4.3.2 Soit E un espace vectoriel sur k, soient F et F′ deux sous-espace de E, et soit G un sous-espace de E^{∗} alors :

1. (F ⊂ F′) ⟹ ((F′)^{⊥} ⊂ F^{⊥})

2. (F + F′)^{⊥} = F^{⊥} ∩ (F′)^{⊥}

3. F^{⊥} + (F′)^{⊥} = (F ∩ F′)^{⊥}

4. Toute forme linéaire de F^{⊥} se factorise en une forme linéaire φ̄ de E/F. Cela définit un isomorphisme canonique F^{⊥} ⟶^{∼} (E/F)^{∗}.

5. (F^{⊥})^{0} = F

6. G ⊂ (G^{0})^{⊥}.

Démonstration. 1. suit directement de la définition.

Soit φ ∈ (F +F′)^{⊥} alors puisque F ∪F′ ⊂ F +F′ on a φ(F) = φ(F′) = 0, d’où φ ∈ F^{⊥} ∩ (F′)^{⊥}. Réciproquement soit ψ ∈ F^{⊥} ∩ (F′)^{⊥}, et soit x ∈ F + F′. Alors x peut s’écrire x = f + f′ avec f ∈ F et f′ ∈ F′. Il suit ψ(x) = ψ(f) + ψ(f′) = 0. Donc ψ ∈ (F + F′)^{⊥}. Cela démontre 2.

Puisque F ∩F′ ⊂ F on a F^{⊥} ⊂ (F ∩F′)^{⊥}. De même on montre l’inclusion (F′)^{⊥} ⊂ (F ∩ F′)^{⊥} et il suit F^{⊥} + (F′)^{⊥} ⊂ (F ∩ F′)^{⊥}. Réciproquement soit φ ∈ (F ∩ F′)^{⊥}. Par le théorème de la base incomplète (valable aussi en dimension infinie) on peut écrire E = (F ∩ F′) ⊕ F_{s} ⊕ F′_{s} ⊕ S où l’espace S est un supplémentaire de F + F′ dans E, l’espace F_{s} un supplémentaire de (F ∩ F′) dans F et l’espace F′_{s} un supplémentaire de (F ∩ F′) dans F′.

Suivant cette décomposition de E, la forme linéaire φ s’écrit comme somme^{1} φ = t + u + v + w avec t ∈ (F ∩ F′)^{∗}, u ∈ F_{s}^{∗}, v ∈ (F′_{s})^{∗}, et w ∈ S^{∗}. Comme φ ∈ (F ∩ F′)^{⊥} on a t = 0. On remarque que u ∈ (F′)^{⊥} tandis que v + w ∈ (F′)^{⊥}, ce qui donne φ = u + (v + w) ∈ (F′)^{⊥} + F^{⊥} et démontre 3.

Par définition si φ ∈ F^{⊥} alors F ⊂ Ker φ et donc φ se factorise en (φ̄: E/F ⟶ k) ∈ (E/F)^{∗}. On note π_{F} : E ⟶ E/F la surjection canonique. Pour Montrer que l’application φ ↦ φ̄ est un isomorphisme de F^{⊥} sur (E/F)^{∗} on doit vérifier :

1. que cette application est linéaire : Exercice.

2. que cette application est surjective, mais si ψ ∈ (E/F)^{∗} alors l’application linéaire ψ ∘ π_{F} ∈ F^{⊥} ⊂ E^{∗} est un antécédent de ψ.

3. que cette application est injective, mais si φ̄ est la forme linéaire nulle, alors on a φ = φ̄ ∘ π_{F} = 0.

Cela démontre 4.

Soit x ∈ F. Alors pour tout φ ∈ F^{⊥} on a φ(x) = 0 et donc x ∈ (F^{⊥})^{0}. D’où l’inclusion F ⊂ (F^{⊥})^{0}. En dimension fini on conclut la démonstration avec l’égalité des dimensions (voir la proposition 4.3.3 qui suit). En général pour montrer l’égalité F = (F^{⊥})^{0} on procède par l’absurde et on suppose l’existence d’un x ∈ ((F^{⊥})^{0} \ F). Soit F une base de F, et B une base de E qui complète F ∪{x}. Alors la forme linéaire x^{∗} relative à la base B appartient à F^{⊥} mais ne s’annule pas sur x : cela contredit x ∈ (F^{⊥})^{0}. Cela démontre 5.

Soit φ ∈ G. Alors pour tout x ∈ G^{0} on a φ(x) = 0 et donc φ ∈ (G^{0})^{⊥}. D’où l’inclusion 6. □

Contre-exemple : On prend E = k^{(ℕ)} muni de sa base canonique (e_{i})_{i∈ℕ} comme dans la proposition 4.1.5. Soit G le sous espace de k^{ℕ} engendré par les e_{i}^{∗}. Alors G^{0} = 0 et donc (G^{0})^{⊥} = E^{∗}, mais G ⫋ E^{∗} (voir l’exemple qui suit l’exercice 4.1)

En dimension fini on peut identifier E à son bidual. Cela permet de traduire dans E^{∗} la proposition 4.3.2 et donne le complément d’information ci-dessous.

Proposition 4.3.3 Soit E un espace vectoriel \underline{de dimension finie}, soit F un sous-espace de E et soit G un sous-espace de E^{∗}.

1. dim F + dim F^{⊥} = dim E.

1Étant donnée une écriture de E en somme directe E = A ⊕ B on peut considérer A^{∗} comme sous-espace de E en prolongeant les éléments de A^{∗} par 0 sur B. Cette injection A^{∗} ↪ E^{∗} n’est pas canonique puisqu’elle dépend du choix du supplémentaire B. Par contre pour A et B fixé et pour tout V on a un isomorphisme canonique Hom(A⊕B, V) ≅ Hom(A, V)⊕Hom(B, V), et cela se généralise aux sommes directes de plus de deux espaces.

2. dim G + dim G^{0} = dim E^{∗}.

3. G = (G^{0})^{⊥}.

Démonstration. En dimension finie le théorème du rang appliqué à la surjection canonique π_{F} : E ⟶ E/F donne l’égalité dim E = dim(E/F) + dim F, tandis que le 4. de la proposition 4.3.2 donne l’égalité dim(E/F) = dim F^{⊥}. Cela démontre 1.

la propriété 2 est la propriété duale de 1. Puisque la dualité est parfaite en dimension finie, cela suffit à démontrer 2. Pour se familiariser à cet exercice on détaille la preuve pour cette fois. Soit ı: E ⟶ E^{∗∗} l’isomorphisme canonique. Alors par définition même on a ı(G^{0}) = G^{⊥}. Il suit dim(G^{0}) = dim G^{⊥} puis avec l’égalité 1. dans E^{∗} on en déduit 2.

L’affirmation 6. de la proposition 4.3.2 fournit l’inclusion G ⊂ (G^{0})^{⊥}. L’égalité suit puisque les dimensions sont les mêmes d’après 1. et 2. Cela démontre 3. □

Lemme 4.3.4 Soit f et soit (f_{i})_{1≤i≤n} des formes linéaires sur E. Alors f est combinaison linéaire des f_{i} si et seulement si ∩_{i=1}^{n} Ker f_{i} ⊂ Ker f.

Démonstration. Le sens direct est évident. Pour montrer la réciproque on suppose ∩_{i=1}^{n} Ker f_{i} ⊂ Ker f. On vérifie d’abord que pour une seule forme linéaire on a ⟨f⟩ = (Ker f)^{⊥}. Par le 6 de la proposition 4.3.2 on sait déjà que ⟨f⟩ ⊂ (⟨f⟩^{0})^{⊥} = (Ker f)^{⊥}. Réciproquement, soit φ ∈ (Ker f)^{⊥} non nulle est soit x ∈ E tel que φ(x) ≠ 0. Alors puisque le sous-espace Ker f = Ker φ admet ⟨x⟩ comme supplémentaire dans E on vérifie aisément que φ = (f(x)/φ(x))f ∈ ⟨f⟩. D’où l’égalité. (argument plus rapide à méditer : on passe aux quotient par Ker f et alors on est en dimension 1 et le 3. de la proposition 4.3.3 s’applique). Avec l’identité ⟨f⟩ = (Ker f)^{⊥} et dans l’ordre le 1. et le 3. de la proposition 4.3.2 on en déduit

⟨f⟩ = (Ker f)^{⊥} ⊂ (⋂_{i=1}^{n} Ker f_{i})^{⊥} = ∑_{i=1}^{n}(Ker f_{i})^{⊥} = ⟨f_{1}, ⋯, f_{n}⟩

□

Proposition 4.3.5 (formules de Cramer) On suppose E de dimension finie n et on se donne une forme n-linéaire alternée ϕ non nulle sur E (i.e. telle que ϕ(e_{1}, ⋯, e_{n}) ≠ 0). Alors la forme linéaire

x ↦ \frac{ϕ(e_{1}, ⋯, e_{i−1}, x, e_{i+1}, ⋯, e_{n})}{ϕ(e_{1}, ⋯, e_{n})}

est la forme linéaire e_{i}^{∗}. On retrouve ainsi les formules de Cramer

x = ∑_{i=1}^{n} \frac{ϕ(e_{1}, ⋯, e_{i−1}, x, e_{i+1}, ⋯, e_{n})}{ϕ(e_{1}, ⋯, e_{n})}e_{i}

Démonstration. C’est immédiat. □

4.4 Problème : codimension des noyaux

Il s’agit de démontrer la proposition 4.4.2.

Définition 4.4.1 Soit E un espace vectoriel et F ⊂ E un sous-espace. On appelle \underline{codimension} de F dans E et on note codim(F) la dimension du quotient E/F.

Proposition 4.4.2 Soit E un espace vectoriel sur k.

1. Soient f_{1}, ⋯, f_{l} ∈ E^{∗}. La dimension de ⟨f_{1}, ⋯, f_{l}⟩ est égal à la codimension de ∩_{i=1}^{l} Ker f_{i}.

2. Réciproquement si H est un sous-espace de codimension r il existe r formes linéaires indépendantes f_{1}, ⋯, f_{r} telles que H = ∩_{i=1}^{r} Ker f_{i}

Indication :

1. Sens direct :

(a) Utiliser le lemme 4.3.4 pour montrer qu’on peut supposer les f_{i} linéairement indépendants.

(b) Passer au quotient par ∩_{i=1}^{l} Ker f_{i} pour se ramener au cas de l formes linéaires indépendantes et dim E = l.

(c) conclure.

2. Sens réciproque : utiliser l’identification H^{⊥} ⟶^{∼} (E/H)^{∗}.

4.5 Transposée d’une application linéaire.

Définition 4.5.1 Soient E et F deux espaces vectoriels et f: E ⟶ F une application linéaire. La \underline{transposée} de f, notée f^{t} est l’application linéaire

\xymatrix{f^{t}: F^{∗} \ar[r] & E^{∗} \\ φ \ar@{|->}[r] & φ ∘ f.}

Proposition 4.5.2 Soient E et F deux espaces vectoriels et f: E ⟶ F une application linéaire.

1. ∀x ∈ E, ∀φ ∈ F , ⟨φ, f(x)⟩ = ⟨f^{t}(φ), x⟩.

2. Si g: E ⟶ F est une autre application linéaire alors (f +g)^{t} = f^{t}+g^{t}.

3. Si g: F ⟶ G est une autre application linéaire alors (g ∘ f)^{t} = f^{t} ∘ g^{t}

4. Si f est inversible alors f^{t} aussi et on a (f^{t})^{−1} = (f^{−1})^{t}.

5. (Ker f)^{⊥} = Im(f^{t}) et (Im f)^{⊥} = Ker(f^{t}).

6. Le rang de f est égal à celui de f^{t}.

Démonstration. 1. et 2. sont immédiats.

Par définition, pour φ ∈ G^{∗} on a (g ∘ f)^{t}(φ) = φ ∘ g ∘ f = f^{t}(φ ∘ g) = f^{t}(g^{t}(φ)) = (f^{t} ∘ g^{t})(φ).Cela démontre 3.

Pour tout espace vectoriel E on a (Id_{E})^{t} = Id_{E^{∗}}. L’assertion 4. se déduit donc du 3.

Soit φ ∈ Im(f^{t}). Alors il existe ψ ∈ F^{∗} telle que φ = ψ ∘ f, et donc pour tout x ∈ Ker f on a φ(x) = ψ(f(x)) = ψ(0) = 0. Donc φ ∈ (Ker f)^{⊥}. Réciproquement soit φ ∈ (Ker f)^{⊥}. Alors Ker f ⊂ Ker φ et donc par factorisation il existe ψ ∈ F^{∗} telle que φ = ψ ∘ f. Donc φ = f^{t}(ψ) ∈ Im(f^{t}). On a démontré la première égalité. Soit φ ∈ (Im f)^{⊥}. Alors pour tout x ∈ E on a f^{t}(φ)(x) = φ(f(x)) = 0. Donc φ ∈ Ker(f^{t}). Réciproquement soit φ ∈ Ker(f^{t}) et soit y = f(x) ∈ Im f. Alors φ(y) = φ(f(x)) = f^{t}(φ)(x) = 0. Donc φ ∈ (Im f)^{⊥} et cela donne la deuxième égalité du 5.

On a déjà l’égalité Im(f^{t}) = (Ker f)^{⊥}. Par le 4. de la proposition 4.3.2 on sait que (Ker f)^{⊥} ≅ (E/ Ker f)^{∗}. Par factorisation on obtient (E/ Ker f)^{∗} ≅ (Im f)^{∗} et on a donc un isomorphisme canonique Im(f^{t}) ≅ (Im f)^{∗}. Par définition le rang de f est la dimension de son image. Ainsi f est de rang fini si et seulement si f^{t} est de rang fini, et dans ce cas la dimension de (Im f)^{∗} est égale à celle de Im f et on a bien l’égalité de rangs annoncée.

□

4.6 Quelques calculs matriciels.

4.6.1 Matrice transposée

Définition 4.6.1 Soit

A = [a_{i,j}] ∈ M_{m,n}(k)

une matrice à m lignes et n colonnes et à coefficients dans k. On appelle \underline{matrice transposée} de A et on note A^{t} la matrice à n lignes et m colonnes

A^{t} = [a_{j,i}] ∈ M_{n,m}(k).

Visuellement on obtient A^{t} à partir de A en appliquant une symétrie par rapport à la diagonale principale. Par exemple

[ \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} ]^{t} = [ \begin{matrix}1 & 3 \\ 2 & 4 \end{matrix} ] .

Proposition 4.6.2 Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finies, munis des bases e_{1}, ⋯ e_{n} pour E et f_{1}, ⋯ f_{m} pour F. Soient e_{1}^{∗}, ⋯, e_{n}^{∗} et f_{1}^{∗}, ⋯ f_{m}^{∗} les bases duales. Soit f: E ⟶ F une application linéaire. Alors la matrice transposée de la matrice de f relativement aux bases (e_{i}) et (f_{j}) est la matrice de l’application transposée f^{t} relativement aux bases (f_{j}^{∗}) et (e_{i}^{∗}).

Démonstration. Exercice. □

4.6.2 Une utilisation du pivot de Gauß.

Soit e_{1}, ⋯, e_{n} une base de E et soit F un sous-espace de E engendré par les vecteurs u_{1}, ⋯, u_{l}. Soit M la matrice n × l des coordonnées des u_{i} dans la base des e_{j}, c’est-à-dire

(u_{1}, ⋯, u_{l}) = (e_{1}, ⋯, e_{n})M .

En suivant l’algorithme du pivot de Gauß on peut vérifier qu’il existe une matrice inversible A ∈ GL_{n}(k), une matrice de permutation B ∈ GL_{l}(k) et une matrice triangulaire supérieure inversible T avec rang(T) = dim F telle que

AMB = [ \begin{matrix}T & ∗ \\ 0 & 0 \end{matrix} ] .

La matrice A correspond à une suite d’opération sur les lignes de M tandis que B correspond à une suite de permutations des colonnes de M survenant lorsqu’en cours d’algorithme on rencontre une colonne nulle avant d’avoir terminé. Soit M′ la matrice n × (l + 1) obtenue à partir de M en rajoutant la colonne X_{1}, ⋯, X_{n}, c’est-à-dire

(u_{1}, ⋯, u_{l}, ∑_{i=1}^{n} X_{i}e_{i}) = (e_{1}, ⋯, e_{n})M′ ,

et soit B′ ∈ GL_{l+1}(k) la matrice représentant la même permutation que B mais vue dans Σ_{l+1} (avec l + 1 comme point fixe). Autrement dit B′ laisse fixe la dernière colonne de M’ et permute les autres colonne comme B. Alors on a

AM′B′ = [ \begin{matrix}T & ∗ & ∗ \\ 0 & 0 & C \end{matrix} ] .

Alors C est une matrice à n − r lignes et une colonne et chaque ligne de C sera de la forme ∑ a_{i}X_{i}. Ces lignes de C fournissent une base de F^{⊥}, c’està-dire un système fondamental d’équation pour F en remplaçant les X_{i} par les e_{i}^{∗} dans chaque ligne de C. En effet les colonnes de T donnent une base de F, la colonne de X_{i} n’est rien d’autre qu’une façon de garder en mémoire les opérations effectuée sur les lignes de M. Les formes linéaires obtenue à partir de C annulent cette base de F parce que la matrice en dessous de T dans AM′B′ est nulle. Ces formes linéaires sont indépendantes parce que A est inversible. On conclut avec les dimensions.

Exercice 4.2 Dans ℚ^{3} avec sa base canonique on étudie les vecteurs u_{1} = (1, 1, 1), u_{2} = (2, 1, 1) et u_{3} = (3, 2, 2). Donner une base de F et de F^{⊥} (N.B. : lorsqu’on applique l’algorithme décrit ci-dessus on ne calcule \underline{en aucun cas} les matrices A ni B ni B′)

Exercice 4.3 Trouver un exemple intéressant avec 3 vecteurs de ℚ^{4} engendrant un espace F de dimension 2 et réduire cet exemple suivant l’algorithme ci-dessus.

4.7 Dualité dans les espaces euclidiens.

Dans cette section k = ℝ, l’espace E est un espace euclidien de dimension finie n et pour x, y dans E on note (x, y) leur produit scalaire. Deux bases B et B′ sont dites \underline{de même sens} lorsque det_{B}(B′) > 0. Sinon elles sont dites \underline{de sens contraire}. Être de même sens est une relation d’équivalence sur l’ensemble des bases de E. Il y a deux classes d’équivalences pour cette relation. Le choix d’une de ces classes d’équivalence s’appelle une \underline{orientation} de E. A orientation fixée les bases de cette orientation sont dites \underline{directes}, les autres \underline{indirectes}.

Proposition 4.7.1 L’application x ↦ (x, .) est un isomorphisme de E sur son dual E^{∗}. En particulier pour toute forme linéaire φ il existe un et un seul vecteur x_{φ} tel que ⟨φ, .⟩ = (x_{φ}, .).

Démonstration. Puisque le produit scalaire est bi-linéaire (x, .) ∈ E^{∗} pour tout x de E et l’application x ↦ (x, .) est linéaire. Puisque le produit scalaire est non dégénéré cette application est injective. Puisque E et E^{∗} ont même dimension cette application est un isomorphisme. □

On fixe une orientation sur E. Cela permet entre autre de définir le produit vectoriel de n − 1 éléments :

Lemme 4.7.2 Soit B = {e_{1}, ⋯, e_{n}} une base directe de E et x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n−1} des vecteurs de E. Il existe un unique vecteur x dans E tel que

∀u ∈ ℝ^{n}, (x, u) = det_{B}(x_{1}, ⋯, x_{n−1}, u).

Démonstration. Comme le déterminant est multilinéaire, l’application

φ: u ↦ det_{B}(x_{1}, ⋯, x_{n−1}, u)

est une forme linéaire (nulle si et seulement si les x_{i} sont liés). Alors l’unique vecteur x = x_{φ} de la proposition 4.7.1 correspondant à cette forme linéaire φ convient.

Définition 4.7.3 Soit B une base orthonormale directe de E = ℝ^{n}, et Soient x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n−1} des vecteurs de E. On appelle \underline{produit vectoriel} des x_{i} et on note

x_{1} ∧ x_{2} ∧ ⋯ ∧ x_{n−1}

l’élément de E défini par le lemme 4.7.2

Proposition 4.7.4 Le produit vectoriel sur E vérifie les propriétés : 1. Soit σ ∈ S_{n−1} une permutation, alors

x_{σ(1)} ∧ x_{σ(2)} ∧ ⋯ ∧ x_{σ(n−1)} = ε(σ) (x_{1} ∧ x_{2} ∧ ⋯ ∧ x_{n−1}).

2.

(λx_{1} + μx′_{1}) ∧ ⋯ ∧ x_{n−1} = λ (x_{1} ∧ ⋯ ∧ x_{n−1}) + μ (x′_{1} ∧ ⋯ ∧ x_{n−1}).

3. x_{1} ∧ ⋯ ∧ x_{n−1} = 0 si et seulement si les x_{i} sont liés.

Démonstration. Ces propriétés sont des conséquences de l’unicité du produit vectoriel et des propriétés analogues du déterminant. □

Exercice 4.4 Écrire les détails de la démonstration de la proposition 4.7.4.

52

Formes quadratiques et hermitiennes.

5.1 Généralités sur les formes sesquilinéaires.

Soit k un corps et soit σ un automorphisme de k. On note σ(x) = x^{σ}.

Définition 5.1.1 Soit E un k-espace vectoriel. Une application

f: E × E ⟶ k,

est appelée \underline{forme sesquilinéaire} ou s’il faut préciser \underline{forme σ-sesquilinéaire} lorsque

1. ∀y ∈ E, x ↦ f(x, y) est k-linéaire.

2. ∀x ∈ E, y ↦ f(x, y) est semi-linéaire, c’est-à-dire additive et vérifiant f(x, λy) = λ^{σ}f(x, y).

Exemple :

1. Pour σ = Id on retrouve les formes bilinéaires.

2. Pour k = ℂ, E = ℂ^{n} et σ la conjugaison complexe le produit hermitien canonique

⟨(z_{1}, ⋯, z_{n}), (z′_{1}, ⋯, z′_{n})⟩ = ∑_{i=1}^{n} z_{i}σ(z′_{i}),

est σ-sesquilinéaire.

Dans la suite de ce chapitre on va supposer E de dimension finie n = dim E. Représentation matricielle Soit e_{1}, ⋯ e_{n} une base de E et soit M la matrice M = [f(e_{i}, e_{j})]_{1≤i,j≤n}. Alors pour u = ∑ x_{i}e_{i} et v = ∑ y_{i}e_{i} on a

f(u, v) = (x_{1}, ⋯, x_{n}) M ( y_{1} ; ⋮ ; y_{n} )^{σ}

Cette matrice M représente aussi l’application semi-linéaire f̄: E ⟶ E^{∗} définie par f̄(y) = f(., y) dans les bases e_{1}, ⋯, e_{n} et sa duale :

M = Mat_{e^{∗},e}(f̄) .

Attention l’application f̄ est semi-linéaire. En conséquence pour x ∈ E représenté par la matrice colonne X telle que x = (e_{1}, ⋯, e_{n})X les coordonnée de f̄(x) ne s’obtiennent pas avec le produit matriciel M X mais avec le produit matriciel M X^{σ} (en notant [m_{i,j}]^{σ} = [m_{i,j}^{σ}]).

Définition 5.1.2 On dit que f est non dégénérée si f̄ est injective. Puisqu’on est en dimension finie cela revient à dire que f̄ est bijective. Le sousespace Ker f̄ est aussi appelé noyau de f, ou selon les auteurs le \underline{radical de f} (alors noté radf).

Évidemment si M = Mat_{e^{∗},e}(f̄) est la matrice de f dans la base e_{1}, ⋯, e_{n} alors

Ker f̄ = 0 ⟺ det M ≠ 0.

Cependant ce déterminant det M n’est pas un invariant de f puisqu’il dépend de la base e_{1}, ⋯, e_{n}. Soit (u_{1}, ⋯, u_{n}) = (e_{1}, ⋯, e_{n})P une autre base de E. Alors P = Mat_{e}(u) = Mat_{e,u}(Id_{E}) et donc ^{t}P = Mat_{u^{∗},e^{∗}}(Id_{E^{∗}}). Par le changement de base habituel on obtient

Mat_{u^{∗},u}(f̄) = Mat_{u^{∗},e^{∗}}(Id_{E^{∗}}) Mat_{e^{∗},e}(f̄)(Mat_{e,u}(Id_{E}))^{σ} = ^{t}P MP^{σ}.

Alors la matrice de f relativement à cette nouvelle base est ^{t}P MP^{σ} dont le déterminant est

det(^{t}P MP^{σ}) = det(M)(det(P)^{1+σ}).

Cela montre que l’élément det(M)(k^{×})^{1+σ} ∈ {0} ∪ k^{×}/(k^{×})^{1+σ} est un invariant de la forme f elle-même.

Définition 5.1.3 Le discriminant de f est la classe det(M)(k^{×})^{1+σ} dans le quotient k/(k^{×})^{1+σ} := {0} ∪ k^{×}/(k^{×})^{1+σ}.

Définition 5.1.4 Une forme sesquilinéaire est \underline{réflexive} lorsque

∀x, y ∈ E, f(x, y) = 0 ⟺ f(y, x) = 0.

Définition 5.1.5 Une forme bilinéaire f: E × E ⟶ k est dite \underline{symétrique} lorsque

∀x, y ∈ E, f(x, y) = f(y, x).

Lorsque f est une forme bilinéaire symétrique l’application q(x) = f(x, x) est la forme quadratique associée à f et la forme f est la forme polaire associée à q.

Proposition 5.1.6 On suppose k de caractéristique différente de 2. Soit f une forme bilinéaire symétrique et q sa forme quadratique associée, alors

f(x, y) = \frac{q(x + y) − (q(x) + q(y))}{2}

Démonstration. Exercice. □

Définition 5.1.7 Une forme bilinéaire f est dite \underline{anti-symétrique} lorsque

∀x, y ∈ E, f(x, y) = −f(y, x).

Définition 5.1.8 Une forme sesquilinéaire f est dite alternée lorsque

∀x ∈ E, f(x, x) = 0.

Proposition 5.1.9 Si f est une forme bilinéaire anti-symétrique et si k n’est pas de caractéristique 2, alors f est alternée.

Démonstration. Puisque f est anti-symétrique on a f(x, x) = −f(x, x) et il suit 2f(x, x) = 0 pour tout x de E. □

Proposition 5.1.10 Soit f une forme sesquilinéaire alternée non nulle. Alors σ = Id et f est bilinéaire et anti-symétrique.

Démonstration. Soient x, y ∈ E, alors puisque f est alternée on a

0 = f(x + y, x + y) = f(x, x) + f(x, y) + f(y, x) + f(y, y),

et il suit f(x, y) = −f(y, x) pour tout x et tout y dans E. Puisque f est non nulle il existe x, y dans E tels que f(x, y) ≠ 0. En utilisant l’anti-symétrie de f on obtient λ^{σ}f(x, y) = f(x, λy) = −f(λy, x) = λ(−f(y, x)) = λf(x, y). Et puisque f(x, y) ≠ 0 il suit λ = λ^{σ}. □

Définition 5.1.11 Une forme f de E dans k est dite \underline{hermitienne} lorsque

∀x, y ∈ E, f(x, y) = f(y, x)^{σ}.

Exercice 5.1 Soit f une forme σ-hermitienne non nulle. Montrer que σ est une involution.

Théorème 5.1.12 Soit E un k-espace vectoriel de dimension finie n, et f une forme σ-sesquilinéaire non dégénérée, reflexive. Alors

1. σ est une involution.

2. Si σ est l’identité, f est bilinéaire symétrique ou antisymétrique.

3. Si σ ≠ Id, il existe un élément α ∈ k^{×} tel que αf soit hermitienne.

Démonstration. Soit y ≠ 0 un vecteur de E. L’ensemble H_{y} = Ker(f(., y)) est un hyperplan de E. Par reflexivité de f on a

∀x ∈ E, (f(x, y) = 0) ⟺ (f(y, x) = 0) ⟺ (f(y, x)^{σ^{−1}} = 0).

L’application x ↦ f(y, x)^{σ^{−1}} est une forme linéaire avec même noyau que f(., y). Par factorisation il existe λ_{y} ∈ k tel que

∀x ∈ E, f(x, y) = λ_{y}f(y, x)^{σ^{−1}}.

Soient f̄ et ḡ les applications de E dans E^{∗} et définie respectivement par

f̄(y) = (x ↦ f(x, y)) et ḡ(y) = (x ↦ f(y, x)^{σ^{−1}}) .

Ces applications sont bijectives, la première et σ-semi-linéaire et la deuxième est σ^{−1}-semi-linéaire. Donc l’application f̄^{−1} ∘ ḡ est σ^{−2}-semi-linéaire de E dans lui-même et vérifie (pour μ_{y} = (λ_{y}^{σ^{−1}})^{−1}) :

∀y ∈ E, ∃μ_{y} ∈ k, f̄^{−1} ∘ ḡ(y) = μ_{y}y .

dans cette situation le lemme ci-dessous donne que μ_{y} ne dépend pas de y et que σ est une involution. Énonçons et démontrons le :

Lemme 5.1.13 Soit E un k-espace vectoriel de dimension supérieure ou égale à 2, τ un automorphisme de k et u une application τ-semi-linéaire non nulle telle que pour tout x de E les vecteurs x et u(x) sont liés. Alors u est une homothétie et τ est l’identité.

Démonstration du lemme 5.1.13. On suppose que x et y engendrent un sousespace vectoriel de dimension 2. Alors si u(x) = αx, u(y) = βy et u(x + y) = γ(x + y) = αx + βy puisque x et y sont libres on obtient α = β = γ. Ensuite si une homothétie non-nulle est τ-semi-linéaire alors τ = Id. □

Fin de la preuve du théorème 5.1.12 On a obtenu σ^{2} = Id et l’existence d’un μ ∈ k^{×} tel que ḡ = μf̄.

1. Si σ = Id, alors μ^{2} = 1 et soit μ = 1 et f est symétrique soit μ = −1 et f est anti-symétrique.

2. Si σ ≠ Id, alors f n’est pas alternée et pour un x_{0} tel que f(x_{0}, x_{0}) ≠ 0 l’application (f(x_{0}, x_{0}))^{−1}f est hermitienne.

5.2 Sous-espaces orthogonaux, isotropes.

Dans ce paragraphe §5.2 f désigne une forme sesquilinéaire réflexive non dégénérée sauf précision contraire. En outre f est supposée hermitienne si σ ≠ Id.

Définition 5.2.1 Soit A une partie de E. On appelle orthogonal de A et on note A^{⊥} l’ensemble

A^{⊥} = {x ∈ E, ∀y ∈ A f(x, y) = 0} = {x ∈ E, ∀y ∈ A f(y, x) = 0}.

Les éléments de A^{⊥} sont les éléments de E qui sont orthogonaux aux éléments de A.

L’isomorphisme (semi-linéaire) permet d’identifier E et E^{∗}. Il vérifie en outre f̄(A^{⊥}) = A^{⊥} ⊂ E^{∗} (le deuxième ⊥ réfère à la dualité entre E et E^{∗}). Si on utilise cet isomorphisme on peut traduire les propositions 4.3.2 et 4.3.3 en terme d’orthogonalité pour f. Cela conduit à :

Proposition 5.2.2 Soit A ⊂ E.

1. A ↦ A^{⊥} est décroissante (pour l’inclusion).

2. A^{⊥} = ⟨A⟩^{⊥} est un sous-espace de E.

3. Si A est un sous-espace de E alors dim E = dim A + dim A^{⊥}.

4. Si V et W sont deux sous-espaces de E alors

(V + W)^{⊥} = V^{⊥} ∩ W^{⊥}, (V ∩ W)^{⊥} = V^{⊥} + W^{⊥}, V^{⊥⊥} = V

Démonstration. L’argumentation qui précède l’énoncé est déjà une démonstration complète. Il est aussi possible et instructif de démontrer cette proposition directement en suivant le cheminement des preuves des propositions citées plus haut mais sans y faire référence ni utiliser f̄. □

Définition 5.2.3

1. Un \underline{vecteur isotrope} x de E est un vecteur non nul vérifiant f(x, x) = 0, c’est-à-dire tel que x ∈ {x}^{⊥}.

2. Un \underline{sous-espace isotrope} V de E est un sous-espace tel que V ∩ V^{⊥} ≠ {0}.

3. Un \underline{sous-espace totalement isotrope} est un sous-espace vérifiant V ⊂ V^{⊥}.

Remarques : L’ensemble des vecteurs isotropes s’appelle le \underline{cône isotrope} de f, parce que c’est une partie de E stable par homothéties. En général ce n’est pas un sous-espace vectoriel.

Définition 5.2.4 Soit f une forme sesquilinéaire non dégénérée réflexive et hermitienne si σ ≠ Id. On appelle \underline{indice} de f le maximum des dimensions des sous-espaces totalement isotropes.

Puisque f est non dégénérée on a dim E = dim V^{⊥}+dim V et l’inclusion V ⊂ V^{⊥} conduit à dim V ≤ n/2, pour tout sous-espace V totalement isotrope. En particulier l’indice de f est aussi inférieur à n/2.

Si V est isotrope, alors V ∩ V^{⊥} est totalement isotrope.

Si V n’est pas isotrope, alors V ∩ V^{⊥} = {0}, donc E = V ⊕ V^{⊥} =: V ⊥V^{⊥} est somme directe othogonale de V et de son orthogonal. La notation V ⊥W est définie par ce qui précède.

On verra plus tard que les sous-espaces totalement isotropes maximaux (pour l’inclusion), dits "setim", ont tous la même dimension (en l’occurence l’indice de f).

Les définitions de ce paragraphe ont encore un sens même si f est dégénérée, mais on réserve la notion de somme directe orthogonale aux formes non-dégénérées. Que reste-t’il de la proposition 5.2.2 ? En fait si f est dégénérée alors Ker f est un sous-espace vectoriel de E et f induit par factorisation une application f̃: E/ Ker f × E/ Ker f ⟶ k de même nature (hermitienne ou bilinéaire symétrique ou bilinéaire anti-symétrique) que f. Alternativement en prenant un supplémentaire V de Ker f on obtient une somme directe E = V ⊕ Ker f avec f(x + y, x′ + y′) = f(x, x′) pour x, x′ ∈ V et y, y′ ∈ Ker f et f_{|V} non dégénérée. Les définitions qui précèdent et les propriétés obtenues pour f̃ ou f_{|V} donnent aussi des informations pour f, mais qui doivent éventuellement être modifiée légèrement pour tenir compte de Ker f.

Exercice 5.2 On suppose f dégénérée avec 0 < dim Ker f = r < n. Soit V ⊂ E. Quelle est la dimension de V^{⊥}?

5.3 Groupes unitaires, orthogonaux, symplectiques.

On fixe σ un automorphisme du corps k, E un k-espace vectoriel de dimension n et on note GL(E) le groupe linéaire des k-automorphismes de E.

5.3.1 Définitions générales.

Le groupe GL(E) agit par composition à droite sur l’ensemble des formes σ-sesquilinéaires de E, concrètement cette action de groupe est définie par la formule

(f.φ)(u, v) = f(φ(u), φ(v))

pour f sesquilinéaire et φ ∈ GL(E). Être dans la même orbite sous l’action de GL(E) est une relation d’équivalence sur les formes sesquilinéaires sur E.

Définition 5.3.1 Dans le cas bilinéaire cette relation d’équivalence et son interprétation matricielle s’appelle la \underline{congruence}. En pratique f et g sont équivalentes si il existe u ∈ GL(E) telle que f = g.u ou encore

f(x, y) = g(u(x), u(y)).

L’interprétation matricielle se déduit de l’équivalence, pour f et g bilinéaire entre "f = g.u" et "pour toute base e de E il existe P ∈ GL_{n}(k) avec Mat_{e}(f) = ^{t}P Mat_{e}(g)P ". On reconnaît la congruence des matrices. J’ignore quelle est la terminologie pour la relation d’équivalence M ∼ ^{t}P MP^{σ} qui correspond aux formes sesquilinéaires pour σ non trivial.

Définition 5.3.2 Soit f une forme non dégénérée. Le stabilisateur de f est appelé :

1. le \underline{groupe unitaire} de f et noté U(f) si f est hermitienne.

2. le \underline{groupe orthogonal} de f et noté O(f) si f est symétrique.

3. le \underline{groupe symplectique} de f et noté Sp(f) si f est alternée.

Proposition et définition 5.3.3 Si f est symétrique ou hermitienne, on appelle \underline{isométrie} pour f un élément u ∈ GL(E) tel que ∀x ∈ E f(x, x) = f(u(x), u(x)). Lorsque car(k) ≠ 2 on a équivalence entre "u est une isométrie" et "u appartient au stabilisateur de f".

Démonstration. Soit q: E ⟶ k la forme quadratique (ou quadratique hermitienne si σ est non trivial) associée à f, autrement dit définie par q(x) = f(x, x). Si f est symétrique l’équivalence annoncée en caractéristique impaire suit de

f(x, y) = \frac{1}{4}(q(x + y) − q(x − y)).

On suppose donc σ d’ordre 2. Alors l’application linéaire Id −σ est non nulle et si x ∈ k vérifie σ(x) ≠ x, on obtient un a ∈ k ^{×} qui vérifie σ(a) = −a en posant a = x − σ(x). On peut ensuite vérifier l’identité hermitienne (qui permet de conclure comme dans le cas symétrique) :

f(x, y) = \frac{1}{4}(q(x + y) − q(x − y) − \frac{1}{a}(q(x + ay) − q(x − ay))).

□ Remarque : Lorsque k = ℂ et σ est la conjugaison complexe on prend habituellement a = i et l’identité hermitienne devient :

f(x, y) = \frac{1}{4}(q(x + y) − q(x − y) + i(q(x + iy) − q(x − iy))).

À partir d’ici et jusqu’à la fin du chapitre 5 on suppose le corps des scalaires k de caractéristique impaire (ou nulle) : \underline{car(k) ≠ 2.}

Version matricielle : Si f est une forme de matrice M = Mat_{e}(f) et si u est une isométrie pour f de matrice U = Mat_{e,e}(u) on a ^{t}UMU^{σ} = M. Il suit donc det(u)^{1+σ} = 1, et en particulier lorsque σ = Id on obtient det(u) = ±1.

Définition 5.3.4 Soit f une forme non dégénérée. Le stabilisateur de f est appelé :

1. Si f est hermitienne on appelle \underline{groupe spécial unitaire} de f et on note SU(f) ou U^{+}(f) le sous-groupe de U(f) formé des endomorphismes de déterminant 1.

2. Si f est symétrique on appelle \underline{groupe spécial orthogonal} de f et noté SO(f) ou O^{+}(f) le sous-groupe de O(f) formé des endomorphismes de déterminant 1. Les éléments de SO(f) s’appellent des isométries positives, ou des rotations.

Remarque : SU(f) est distingué dans U(f) et SO(f) est distingué dans O(f). En ce qui concerne les endomorphismes symplectiques, on sait démontrer que leur déterminant vaut toujours 1 (il n’y a pas de sous-groupe spécial symplectique). Pour le dévissage complet (centres, générateurs, sous-groupes dérivés, etc ...) des sous-groupes GL(E), SL(E), O(f) et SO(f), voir le livre de Perrin "cours d’algèbre". Ici on se contente de définir les symétries et d’en extraire un système générateur de O(f) et SO(f).

5.3.2 symétries orthogonales.

Définition 5.3.5 On appelle \underline{symétrie} ou \underline{involution} sur E un endomorphisme u ∈ GL(E) d’ordre divisant 2. On note E^{+} et E^{−} les sous-espaces propres de u associés respectivement aux valeurs propres +1 et −1. On dit que u est une \underline{symétrie orthogonale} pour f lorsqu’en outre u ∈ O(f). On dit que u est une \underline{réflexion} d’hyperplan E^{+} lorsque E^{+} est un hyperplan. On dit que u est un \underline{renversement} lorsque dim(E^{−}) = 2.

Une symétrie u vérifie l’identité polynômiale u^{2} = 1, en particulier u est diagonalisable et on a E = E^{+} ⊕ E^{−}. L’identité Id ∈ GL(E) correspond au cas dim(E^{−}) = 0, les réflexions au cas dim(E^{−}) = 1, les retournements au cas dim(E^{−}) = 2. La récurrence s’arrête là ...

Proposition 5.3.6 Soit f une forme bilinéaire symétrique. Une symétrie u de E est orthogonale si et seulement si E^{+} et E^{−} sont orthogonaux.

Démonstration. On suppose u orthogonale, soit x ∈ E^{+} et y ∈ E^{−}. Alors f(x, y) = f(u(x), u(y)) = f(x, −y) = −f(x, y). Puisque car(k) ≠ 2 on obtient x⊥y. Réciproquement on suppose E^{+} et E^{−} orthogonaux. Soit x, y ∈ E. On écrit x = x^{+} +x^{−} et y = y^{+} +y^{−} suivant la décomposition E = E^{+} ⊕E^{−}. On obtient f(x, y) = f(x^{+} + x^{−}, y^{+} + y^{−}) = f(x^{+}, y^{+}) + f(x^{−}, y^{−}) par orthogonalité de E^{+} et E^{−}. Tandis que f(u(x), u(y)) = f(x^{+} − x^{−}, y^{+} − y^{−}) = f(x^{+}, y^{+}) + f(−x^{−}, −y^{−}) = f(x^{+}, y^{+}) + f(x^{−}, y^{−}) aussi. □ Le même argument qu’en début de cette preuve montre que si x et y sont des vecteurs propres pour un endomorphismes orthogonal u associés à des valeurs propres λ_{x} et λ_{y} telles que λ_{x}λ_{y} ≠ 1 alors x⊥y. Pour cette démonstration il n’est pas utile non plus de supposer f non dégénérée. Par contre si f est non dégénérée alors les inclusions E^{+} ⊂ (E^{−})^{⊥} et E^{−} ⊂ (E^{+})^{⊥} deviennent des égalités par calcul de dimensions. On obtient alors E = E^{+}⊥E^{−}, et en particulier ni E^{+} ni E^{−} ne sont isotropes. Réciproquement on a :

Proposition 5.3.7 Soit f une forme bilinéaire symétrique non dégénérée, et F ⊂ E un sous-espace non isotrope. Alors il existe une unique symétrie orthogonale de sous-espace positif E^{+} = F.

Démonstration. Puisque F est non isotrope et f non dégénérée on peut décomposer E en somme directe E = F ⊕ F^{⊥}. Alors l’endomorphisme u = Id_{F} ⊕(− Id_{F^{⊥}}) convient et c’est le seul. □ Par exemple la réflexion orthogonale s_{H} d’hyperplan H avec H^{⊥} = kv est aussi définie par la formule

s_{H}(x) = x − 2\frac{f(v, x)}{f(v, v)}v.

5.3.3 Générateurs de O(f) et SO(f).

Dans ce sous-paragraphe on suppose que f est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée et on notera q la forme quadratique associée à f.

Théorème 5.3.8 Le groupe orthogonal O(f) est engendré par les réflexions orthogonales.

Démonstration. On procède par récurrence sur n = dim(E). La propriété est vraie en dimension 1, car alors O(f) = {± Id}. On prend donc n > 1 et on suppose le théorème vrai pour tout espace E de dimension au plus n − 1. On démontre d’abord deux lemmes calculatoires.

Lemme 5.3.9 E contient des vecteurs non nul et non isotropes pour f.

Démonstration. Soit x un vecteur isotrope pour f. Comme f est non dégénérée, il existe y ∈ E tel que f(x, y) ≠ 0. Alors y = f(x, z)^{−1}z vérifie f(x, y) = 1. Si y est non isotrope alors y convient. Si y est isotrope alors x + y vérifie f(x + y, x + y) = 2 ≠ 0. □

Lemme 5.3.10 Si q(x) = q(y) ≠ 0 alors (q(x + y) = 0) ⟹ q(x − y) ≠ 0.

Démonstration. En effet sinon on aurait q(x + y) = 0 = 2q(x) + 2f(x, y) et q(x − y) = 0 = 2q(x) − 2f(x, y) et en ajoutant 4q(x) = 0. □ On reprend la démonstration du théorème 5.3.8. On distingue les cas suivants :

1. L’endomorphisme u admet un vecteur fixe x non isotrope.

2. Tout les vecteurs non isotrope de E vérifient u(x) ≠ x. On fixe alors x non isotrope dans E et on a donc y = u(x) qui vérifie q(x) = q(y), puis par le lemme les deux seuls sous-cas possibles :

(a) q(x − y) ≠ 0.

(b) q(x − y) = 0 et alors q(x + y) ≠ 0. Démonstration dans le cas 1. Soit H l’orthogonal de ⟨x⟩. Alors u(H) = H puisque f(x, y) = 0 équivaut à f(u(x), u(y)) = 0. On peut donc appliquer l’hypothèse de récurrence à u_{|H}, qui s’écrit u_{|H} = τ_{1} ⋯ τ_{r} où les τ_{i} sont des réflexions de H. Mais si on pose σ_{i} = τ_{i} ⊕ Id_{⟨x⟩} alors σ_{i} est une réflexion de E et u = σ_{1} ⋯ σ_{r}, d’où le théorème. Démonstration dans le cas 2(a). Alors H = ⟨x − y⟩^{⊥} contient x + y parce que f(x + y, x − y) = q(x) − q(y) + f(y, x) − f(x, y) = 0. Soit τ_{H} la réflexions orthogonale d’hyperplan H. Alors τ_{H}(x − y) = y − x et τ_{H}(x + y) = x + y donne par élimination τ_{H}(y) = x. Ainsi x est un vecteur non isotrope et fixé par τ_{H} ∘ u : on est ramené au cas 1.

Démonstration dans le cas 2(b). Le vecteur x + y est non nul non isotrope. Soit H = ⟨x + y⟩^{⊥}, et τ_{H} la réflexion orthogonale d’hyperplan H. Le même calcul qu’en (a) conduit à τ_{H}(y) = −x. Puis comme x n’est pas isotrope, on dispose de la réflexion τ_{L} d’hyperplan L = ⟨x⟩^{⊥} qui vérifie τ_{L}(−x) = x. Alors x est un vecteur fixe et non isotrope de τ_{L} ∘ τ_{H} ∘ u : cela ramène au cas 1.

□ Remarque : Lorsque la forme f n’a pas de vecteurs isotropes (par exemple lorsque f est un produit scalaire euclidien) seul les cas 1 et 2(a) peuvent se produire et on voit en outre par récurrence que u est produit d’au plus p_{u} réflexions où p_{u} est la dimension des supplémentaires de l’espace des points fixes de u, p_{u} = n − dim(Ker(u − Id)). Une version affine de ce résultat a été développée dans la première leçon de cette année. Une référence précise sera fournie en cours. En général on sait aussi que n réflexions suffisent : c’est le théorème de Cartan-Dieudonné dont une démonstration se trouve p. 190 du Perrin.

En dimension 1 il n’y a pas de renversement. En dimension 2 le seul renversement est − Id qui n’engendre pas SO(f). En dimension supérieure on a :

Théorème 5.3.11 Soit f une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur E de dimension n ≥ 3 alors SO(f) est engendré par les renversements.

Démonstration. Il suffit de montrer que le produit de deux réflexions est un produit de renversements. On va voir que deux renversements suffisent et en particulier en dimension 3 ou plus tout u ∈ SO(f) est produit de n renversements. Soient σ_{1} et σ_{2} deux réflexions orthogonale d’hyperplans (nonisotropes) H_{1} et H_{2}. Si H_{1} = H_{2} alors σ_{1} ∘ σ_{2} = Id. On peut donc supposer H_{1} ≠ H_{2}. Si on est en dimension 3 alors τ_{i} = −σ_{i} est un renversement et on a σ_{1} ∘ σ_{2} = τ_{1} ∘ τ_{2}. En dimension supérieure à 3 on prend un sous-espace non isotrope V ⊂ H_{1} ∩ H_{2} de codimension 3 dans E. Alors E = V ⊥V^{⊥} et les σ_{i} se restreignent à l’identité sur V. On se ramène ainsi à V^{⊥} de dimension 3 puisqu’il suffit de prolonger par l’identité sur V les renversements de V^{⊥} pour obtenir des renversements de E. Si f est anisotrope la preuve est terminée. En général il reste à démontrer l’existence de ce sous-espace V non isotrope de codimension 3. En effet même si H_{1} et H_{2} sont non-isotropes leur intersection peut l’être. Soient x_{1} et x_{2} des vecteurs engendrant les orthogonaux respectifs de H_{1} et H_{2}. Alors ⟨x_{i}⟩ = H_{i}^{⊥} et comme H_{i} n’est pas isotrope x_{i} non plus. Donc le radical rad(f_{|(H_{1}∩H_{2})}) est égal au radical rad(f_{|⟨x_{1},x_{2}⟩}) de dimension au plus 1. Soit W un supplémentaire (de dimension n−2 ou n−3) dans H_{1} ∩H_{2} à ce radical. Alors f_{|W} est non-dégénérée et W contient des sous-espaces non isotropes de dimension n − 3. □

5.4 Classification des formes sesquilinéaires.

En général la classification à équivalence près des formes sesquilinéaires (ou à congruence près des formes quadratiques) est un problème difficile sur un corps quelconque. On va présenter quelques cas particuliers plus accessibles. Le point de départ est l’existence de bases orthogonales.

Définition 5.4.1 Soit f une forme sesquilinéaire sur E. Une base e_{1}, ⋯, e_{n} de E est dite \underline{base orthogonale} pour f lorsque pour tout i ≠ j on a f(e_{i}, e_{j}) = 0.

Lorsque e est une base orthogonale la matrice Mat_{e}(f) est diagonale. La seule matrice diagonale et anti-symétrique est la matrice nulle, il n’y a donc pas de base orthogonale pour une forme alternée non triviale. On n’étudiera pas dans ce cours la classification des formes alternées.

Théorème 5.4.2 Soit f une forme symétrique ou hermitienne sur E de dimension finie. Alors il existe une base orthogonale e pour f. Et en outre on a f(e_{i}, e_{i})^{σ} = f(e_{i}, e_{i}).

Démonstration. C’est une récurrence immédiate sur dim E. □ Pour classifier à équivalence près les formes sesquilinéaires on a déjà défini trois invariants de leur classe d’équivalence : le rang, l’indice et le discriminant dans k/(k^{×})^{1+σ}. En général ces invariants ne suffisent pas. Par exemple en dimension 2 et pour k = ℝ les formes quadratiques x^{2} + y^{2} et −x^{2} − y^{2} ne sont pas équivalentes et pourtant elles ont même rang, même indice et même discriminant.

Théorème 5.4.3 Soit E un k-espace vectoriel de dimension finie n.

1. On suppose k algébriquement clos. Alors toutes les formes quadratiques non dégénérées sur E sont équivalentes à la forme quadratique x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+ ⋯ + x_{n}^{2}. Leur indice est la partie entière de n/2.

2. On suppose k = ℝ. Pour toute forme quadratique q, il existe p tel que 0 ≤ p ≤ n et tel que q soit congruente à la forme

q(x_{1}, ⋯, x_{n}) = ∑_{i=1}^{p} x_{i}^{2} − ∑_{i=p+1}^{n} x_{i}^{2}.

À congruence près il y a exactement ces n + 1 formes quadratiques non dégénérées sur E. Le couple (p, n − p) s’appelle la signature de q et c’est un système d’invariants complet pour les formes quadratiques à congruence près.

3. On suppose k = ℂ et σ est la conjugaison complexe. Pour toute forme quadratique hermitienne q non dégénérées sur E il existe p tel que 0 ≤ p ≤ n et tel que q soit équivalente à la forme

q(z_{1}, ⋯, z_{n}) = ∑_{i=1}^{p} z_{i}\overline{z}_{i} − ∑_{i=p+1}^{n} z_{i}\overline{z}_{i}.

À équivalence près il y a exactement ces n+1 formes hermitiennes non dégénérées sur E.

Démonstration. Pour démontrer 1, soit e′ une base orthogonale pour une forme quadratique f de rang n, et soit a_{i} = f(e′_{i}, e′_{i}). Puisque k est algébriquement clos il existe des α_{i} ∈ k^{×} tels que pour tout i α_{i}^{2} = a_{i}. Alors dans la base formée des e_{i} = α_{i}^{−1}e′_{i} la matrice de q est la matrice identité. On dit que la base e est orthonormale pour q.

Pour démontrer 2 on part aussi d’une base orthogonale e′ pour une forme quadratique q. Quitte à renumérotter les e′_{i} on peut supposer q(e′_{i}) = a_{i} > 0 pour 1 ≤ i ≤ p et q(e′_{i}) = −a_{i} < 0 pour i > p. Puisque les a_{i} sont positifs il existe des α_{i} tels que pour tout i on ait α_{i}^{2} = a_{i}. Alors dans la base e_{i} = α_{i}^{−1}e′_{i} la forme quadratique q a la matrice requise. On doit ensuite s’assurer que deux telles formes quadratiques avec des invariants p distincts ne sont pas congruentes. En raisonnant matriciellement on peut fixer une forme quadratique q et vérifier que si deux bases orthogonales e et e′ de E sont telles que :

q(e_{1}) = ⋯ = q(e_{p}) = q(e′_{1}) = ⋯ = q(e′_{p′}) = 1
q(e_{p+1}) = ⋯ = q(e_{n}) = q(e′_{p′+1}) = ⋯ = q(e′_{n}) = −1,

alors p = p′. Montrons le. Dans ce cas si F est le sous-espace de E engendré par e_{1}, ⋯, e_{p} et G′ le sous-espace de E engendré par e′_{p+1}, ⋯, e′_{n} alors q(x) > 0 pour x ∈ F \ {0} et q(x) < 0 pour x ∈ G′ \ {0}. Donc F et G′ sont en somme directe et on en tire p + n − p′ ≤ n soit p ≤ p′. Par symétrie on récupère l’autre inégalité et on a bien p = p′.

L’assertion 3 se démontre exactement comme l’assertion 2. Pour comprendre cette similarité il suffit de constater que dans les deux cas Im(q) ⊂ ℝ et q(λx) = λ^{1+σ}q(x). Ainsi on peut normaliser modulo (k^{×})^{1+σ} = ℝ_{>0}^{×} (dans les deux cas) et seul le signe de q(e′_{i}) ∈ ℝ est un invariant de q. □

On va classifier maintenant les formes quadratique ou hermitienne non dégénérées sur un corps fini k = 𝔽_{q} de caractéristique impaire. Comme dans le cas précédent le \underline{groupe quadratique} 𝔽_{q}^{×}/(𝔽_{q}^{×})^{2} joue un rôle important. Puisque 𝔽_{q}^{×} est cyclique ce groupe quadratique est d’ordre 2, et on le représente dans 𝔽_{q}^{×} par le système {1, α} où α est un élément de 𝔽_{q}^{×} qui n’est pas un carré.

Théorème 5.4.4 Soit E un espace vectoriel de dimension n ≥ 1 sur 𝔽_{q} avec 2 ∤ q. À congruence près il y a exactement deux classes de formes quadratiques non dégénérées sur E. Le discriminant dans 𝔽_{q}^{×}/(𝔽_{q}^{×})^{2} est un système d’invariant complet. Matriciellement ces classes de congruences sont représentées soit par la matrice I_{n} soit par la matrice diagonale dont tous les coefficients diagonaux sont 1 sauf le dernier égal à α.

Démonstration. Les deux matrices décrites plus haut ne sont pas congruentes parce qu’elles n’ont pas le même discriminant. Il s’agit donc de montrer que toute forme quadratique non dégénérée est représentée dans une base convenable par une de ces deux matrices. On procède par récurrence sur n = dim(E). Si n = 1 c’est évident. On suppose le théorème démontré en dimension n−1 ≥ 1. Soit x un vecteur non isotrope de E et y un vecteur non isotrope de ⟨x⟩^{⊥}. Alors q(λx + μy) = λ^{2}q(x) + μ^{2}q(y). On admet provisoirement l’existence d’un couple (λ, μ) tel que pour z = λx + μy on ait q(z) = 1. Alors l’hypothèse de récurrence appliquée à l’orthogonal de ⟨z⟩ permet de conclure. Il reste à démontrer le

Lemme 5.4.5 Soient u, v ∈ 𝔽_{q}^{×}. Alors l’équation λ^{2}u + μ^{2}v = 1 admet au moins une solution (λ, μ) ∈ 𝔽_{q} × 𝔽_{q}.

Démonstration. Sur 𝔽_{q}^{×} le noyau de x ↦ x^{2} est ±1. Il y a donc (q −1)/2 carré non nuls dans 𝔽_{q} soit (q+1)/2 carrés en tout. Puisque u et v sont non nuls les applications t ↦ ut et t ↦ 1−vt sont injectives et les ensembles {uλ^{2}, λ ∈ 𝔽_{q}} et {1−vμ^{2}, μ ∈ 𝔽_{q}} comptent tous deux (q +1)/2 éléments. Leur intersection n’est pas vide (sinon leur réunion contiendrait q + 1 > q éléments distincts). Un élément de cette intersection donne la solution requise. □

On classifie maintenant les formes hermitiennes associées à une involution σ non triviale sur k fini. Alors dans ce cas on sait que l’ordre de k est un carré puisque k est de degré 2 sur le sous-corps (fini) fixé par σ. Réciproquement 𝔽_{q^{2}} admet une unique involution non triviale x ↦ x^{q}.

Théorème 5.4.6 Soit σ l’involution non triviale de k = 𝔽_{q^{2}}. À équivalence près il y a une seule classe de forme σ-hermitienne non dégénérée sur l’espace de dimension finie E. Cette forme hermitienne est représentée dans une base convenable par la matrice identité.

Soit f une forme hermitienne sur E de forme quadratique hermitienne q, soient e_{1}, ⋯, e_{n} une base orthogonale et notons a_{i} = q(e_{i}). Puisque f est hermitienne on a σ(a_{i}) = a_{i} et donc a_{i} ∈ 𝔽_{q} = k^{σ}. Maintenant q(λe_{i}) = λ^{1+σ}a_{i} et pour pouvoir normaliser il faut disposer d’antécédents des a_{i}^{−1} pour l’application norme N_{k/𝔽_{q}}(x) = x^{1+σ} = x^{1+q}. Le noyau de cette norme est formé des racines de l’équation x^{q+1} = 1 et contient donc au plus q + 1 éléments. L’image de N a donc au moins q^{2} − 1/q + 1 = q − 1 = o(𝔽_{q}^{×}) éléments, c’est-à-dire que N est surjective. □

5.5 Théorème de Witt.

Définition 5.5.1 On appelle \underline{espace quadratique régulier} un espace E muni d’une forme quadratique non dégénérée.

Dans toute la suite on considère des espace quadratique régulier sur un corps k de caractéristique différente de 2.

5.5.1 Plan hyperbolique.

Définition 5.5.2 Un \underline{plan hyperbolique} est un espace régulier de dimension 2 (plan régulier) admettant un vecteur isotrope.

Proposition 5.5.3 Soit (E, q) un espace régulier et x un vecteur isotrope de E. Alors il existe un plan P de E contenant x et tel que (P, q_{|P}) soit hyperbolique.

Démonstration. Puisque q est régulière il existe y ∈ E telle que f(x, y) ≠ 0. Alors P = ⟨x, y⟩ convient. □

Proposition 5.5.4 Soit (E, q) un plan hyperbolique. Il existe une base e = (e_{1}, e_{2}) et une base ε = (ε_{1}, ε_{2}) telle que

Mat_{e}(q) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) et Mat_{ε}(q) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} )

On dit que la base e est une \underline{base hyperbolique}.

Démonstration. Par définition il existe e_{1} ∈ E avec q(e_{1}) = 0. Puisque q est non dégénérée il existe y ∈ E avec f(e_{1}, y) = 1. Alors y n’est pas colinéaire à e_{1} et pour tout λ ∈ k on a f(e_{1}, λe_{1} + y) = 1 et q(λe_{1} + y) = 2λ + q(y). Il suffit donc de poser e_{2} = (−q(y)/2)e_{1} + y pour obtenir la base e voulue.

Avec la matrice Mat_{e}(q) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) on voit que

f(αe_{1} + βe_{2}, α′e_{1} + β′e_{2}) = α′β + αβ′.

Donc ε_{1} = e_{1} + e_{2}/2 et ε_{2} = e_{1} − e_{2}/2 convient. □

Corollaire 5.5.5 Dans un plan hyperbolique, il y a exactement deux droites de vecteurs isotropes. Les sous-espaces totalement isotropes sont donc de dimension 1.

Démonstration. À partir de la matrice Mat_{e}(q) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) on voit que

q(αe_{1} + βe_{2}) = 2αβ. □

Proposition 5.5.6 Un plan quadratique (P, q) est hyperbolique si et seulement si le discriminant de q est −1(k^{×})^{2} dans k/(k^{×})^{2}.

Démonstration. Si (P, q) est hyperbolique alors le discriminant de q calculé dans les bases de la proposition 5.5.4 vaut −1. Réciproquement soit (P, q) un plan quadratique de discriminant −1(k^{×})^{2}, soit f_{1}, f_{2} une base orthogonale de P et soit a = q(f_{1}) et b = q(f_{2}). Puisque le discriminant modulo les carrés est un invariant il existe α ∈ k tel que −ab = α^{2} et donc −b/a = (α/a)^{2}. Avec la formule q(xf_{1} + yf_{2}) = ax^{2} + by^{2} on vérifie que (α/a)f_{1} + f_{2} est isotrope. □

Corollaire 5.5.7 Si k est algébriquement clos tout plan régulier est hyperbolique.

5.5.2 Sous-espaces hyperboliques, seti et setim.

Définition 5.5.8 Un \underline{sous-espace hyperbolique} est un espace somme directe orthogonale de plans hyperboliques.

Un sous-espace hyperbolique E = P_{1}⊥ ⋯ ⊥P_{r} est donc de dimension paire n = 2r. Si on se donne une base hyperbolique e_{i}, f_{i} de chaque P_{i} alors la matrice de q dans la base B = e_{1}, ⋯, e_{r}, f_{1}, ⋯, f_{r} est

Mat_{B}(q) = ( \begin{matrix}0 & I_{r} \\ I_{r} & 0 \end{matrix} ) .

Dans une base orthogonale convenablement ordonnée et normalisée B′ la matrice de q est

Mat_{B′}(q) = ( \begin{matrix}I_{r} & 0 \\ 0 & −I_{r} \end{matrix} ) .

Proposition 5.5.9 Un espace vectoriel de dimension 2r est hyperbolique si et seulement si il est régulier et possède un sous-espace totalement isotrope de dimension r.

Démonstration. Soit E = P_{1}⊥ ⋯ ⊥P_{r} un espace hyperbolique (donc régulier) de dimension n = 2r. On choisit dans chaque P_{i} un vecteur isotrope e_{i}. Alors le sous-espace engendré par les e_{i} est de dimension r et totalement isotrope. Réciproquement on procède par récurrence sur r. Le cas r = 1 suit directement de la définition des plans hyperboliques. On suppose le théorème vrai pour r et on se donne un espace régulier E de dimension 2r+2 contenant F totalement isotrope de dimension r + 1. Soit e_{1}, ⋯, e_{r+1} une base de F. Il existe u ∈ E tel que f(e_{r+1}, u) = 1 et forcément u ∉ F et P := ⟨u, e_{r+1}⟩ est un plan hyperbolique pour la restriction de q. En particulier P est non isotrope et on a E = P ⊥P^{⊥}. En outre puisque F est totalement isotrope et e_{r+1} ∈ F on voit que x ∈ F ∩ P^{⊥} équivaut à x ∈ ⟨u⟩^{⊥} ∩ F. La forme linéaire x ↦ f(x, u) est non-nulle sur F donc son noyau est de dimension r. Donc le sous-espace F ∩ P^{⊥} est totalement isotrope de dimension r. Par récurrence P^{⊥} est hyperbolique puis E = P ⊥P^{⊥} aussi. □ On appelle parfois \underline{lagrangien} un tel sous-espace totalement isotrope de dimension maximale d’un espace hyperbolique.

Proposition 5.5.10 Un sous-espace S totalement isotrope d’un espace régulier E est contenu dans un sous-espace hyperbolique.

Démonstration. On procède par récurrence sur n = dim S. Si n = 1 et S = ⟨s⟩ alors pour tout u ∈ E tel que f(s, u) ≠ 0 le plan ⟨u, s⟩ est hyperbolique. On suppose la proposition vraie pour dim S = n et on suppose que S est totalement isotrope de dimension n + 1. On prend e_{n+1} ∈ S et y ∈ E avec f(e_{n+1}, y) = 1, et on considère le plan hyperbolique P = ⟨e_{n+1}, y⟩. Alors comme dans la preuve précédente on vérifie que E = P ⊥P^{⊥} et que dim(S ∩ P^{⊥}) = n. Par récurrence (S ∩ P^{⊥}) est contenu dans un espace hyperbolique H et alors S ⊂ (H⊥P) aussi. □

Corollaire 5.5.11 Si S est un sous-espace totalement isotrope de E régulier alors il existe S′ totalement isotrope de même dimension que S et tel que S ∩ S′ = 0.

Démonstration. Lors de la récurrence de la preuve de la proposition 5.5.10 on a démontré en fait que toute base e_{1}, ⋯, e_{n} de S se complète en une base e_{1}, e′_{1}, ⋯, e_{n}, e′_{n} telle que les couples (e_{i}, e′_{i}) forment n bases hyperboliques. Le sous-espaces S′ engendré par les e′_{i} convient. □ Le corollaire qui suit permet de plonger les sous-espaces isotropes dans des sous-espaces non isotropes. Ceci ramène beaucoup de questions au cas non isotrope en particulier la démonstration du théorème de Witt à suivre.

Corollaire 5.5.12 Soit (E, q) un espace régulier, soit F ⊂ E un sousespace, soit F_{0} = rad(q_{|F}) et U un supplémentaire dans F de F_{0} (de sorte que q_{|U} soit non dégénérée). Alors il existe un sous-espace hyperbolique H de E contenant F_{0} et orthogonal à U.

Démonstration. U donc U^{⊥} est non isotrope. Le sous-espace F_{0} est contenu dans U^{⊥} donc dans un sous-espace hyperbolique H ⊂ U^{⊥}. □

Proposition 5.5.13 Soit (E, q) un espace quadratique régulier, tous les setim de E ont la même dimension.

Démonstration. Soient S et T deux setim. On choisit un supplémentaire S_{1} (resp. T_{1}) à S∩T dans S (resp. dans T) et on a S = S_{1}⊕S∩T et T = T_{1}⊕S∩T.

Lemme 5.5.14 T_{1} ∩ S_{1}^{⊥} = {0}

Démonstration. Pour tout x ∈ S^{⊥} on a q(x) ≠ 0 ou x ∈ S sinon S + kx serait un seti contenant strictement S. Soit x ∈ T_{1} ∩ S_{1}^{⊥}. Alors x ∈ T et donc x est orthogonal à S ∩ T puisque T est totalement isotrope. Ainsi x est orthogonal à S_{1} et à S ∩ T donc à S. Comme x ∈ T on a q(x) = 0 et donc x ∈ S ∩ T_{1} = S ∩ T ∩ T_{1} = {0}. □ On reprend la preuve de la proposition. Par le lemme on a dim T_{1} +dim S_{1}^{⊥} ≤ dim E et on en tire dim T_{1} ≤ dim S_{1} puis dim T ≤ dim S. Par symétrie cette inégalité est une égalité. □

Théorème 5.5.15 Soit E un espace quadratique régulier.

1. E est somme directe orthogonale d’un espace hyperbolique H avec un espace anisotrope^{1} G.

2. Si E est somme directe orthogonale E = H⊥G avec H hyperbolique et G anisotrope alors l’indice de q vaut exactement dim H/2.

Démonstration. Soit S un setim de E et H un sous-espace hyperbolique contenant S. Alors E = H⊥H^{⊥}. Soit x ∈ H^{⊥} avec q(x) = 0. Alors S + kx est un seti et donc x = 0 par maximalité de S. L’espace G = H^{⊥} est bien anisotrope ce qui montre 1. Pour 2 il s’agit de montrer qu’un setim F de H est aussi un setim de E. Or F ⊕ G = F^{⊥} car l’inclusion ⊂ est immédiate et les dimensions sont les mêmes. Ainsi tout x ∈ F^{⊥} s’écrit x = y+z avec y ∈ F et z ∈ G. Puisque F est un seti et F ⊥G on a q(x) = q(z). Autrement dit x isotrope et x ∈ F^{⊥} si et seulement si x ∈ F. Cela démontre la maximalité de F. □

1on dit que (G, q) est \underline{anisotrope} lorsque q(x) ≠ 0 pour tout x non nul de G.

5.5.3 Théorème de Witt.

Dans un espace vectoriel E sans structure quadratique supplémentaire GL(E) agit sur les sous-espaces de E et deux sous-espaces sont dans la même orbite si et seulement si ils ont même dimension. Si on se fixe un espace quadratique (E, q) général le groupe orthogonal O(q) agit aussi sur les sousespaces et si F et F′ sont dans la même orbite alors ils ont même dimension et pour la restriction de q ils sont isométrique c’est à dire que la matrice de q_{|F} est congruente à celle de q_{F′}. Le théorème de Witt donne l’implication réciproque et ramène l’étude des orbites des sous-espaces de E sous l’action de O(q) à une question d’équivalence de formes.

Théorème 5.5.16 (Witt) Soit (E, q) un espace quadratique, F, F′ ⊂ E et σ: (F, q) ⟶^{∼} (F′, q) une isométrie.

1. Si (E, q) est régulier, alors il existe u ∈ O(q) telle que u_{|F} = σ.

2. Si F est non isotrope, alors il existe u ∈ O(q) telle que u_{|F} = σ.

3. Si F et F′ sont supplémentaire dans E et orthogonaux alors il existe u ∈ O(q) telle que u_{|F} = σ.

Démonstration. Pour 3 on écrit E = F ⊕ F′. Alors l’isométrie

u = σ ⊕ σ^{−1} : F ⊕ F′ ⟶ F′ ⊕ F = E

prolonge σ.

On montre d’abord que 1 se ramène à 2. On suppose E régulier et F quelconque. Il s’agit ensuite de prolonger σ en une isométrie définie sur un espace non isotrope contenant F. Soit F_{0} = rad(q_{|F}) et F′_{0} = rad(q_{|F′}). Alors σ(F_{0}) = F′_{0} et pour tout supplémentaire U à F_{0} dans F, la restriction de q à U est régulière et on a F′ = F′_{0} ⊕ σ(U). Par le corollaire 5.5.12 il existe H hyperbolique dans E de dimension 2 dim F_{0} = 2 dim F′_{0} orthogonal à U et contenant F_{0}. Alors H⊥U contient F et est régulier. Pour nous ramener à 2, il reste à prolonger σ en une isométrie (non surjective) σ′: H⊥U ⟶ E. Pour cela il suffit de compléter une base f de F_{0} en une suite de bases hyperboliques de H, puis de compléter la base σ(f) de F′_{0} en une suite de bases hyperboliques d’un H′ hyperbolique contenant F′_{0} comme setim. En envoyant la première suite de bases hyperboliques sur la seconde on définit une isométrie φ: H ⟶ H′ qui prolonge σ_{|F_{0}}. Alors σ′ = φ ⊕ σ_{|U} convient.

On montre 2. On suppose F régulier, et on procède par récurrence sur la dimension t = dim F (étonnant, non ?). Si t = 1 alors F = kx et q(x) ≠ 0. En reprenant la même démarche que dans la démonstration du théorème 5.3.8 on voit que quitte à composer σ à gauche par des réflexions orthogonales de E on peut supposer σ(x) = x. Et dans ce dernier cas Id_{E} est orthogonale et prolonge σ. On suppose 2 vrai pour tout espace de dimension n − 1 ≥ 1 et on prend F régulier de dimension n. Partant d’une base orthogonale e_{1}, ⋯, e_{n} de F on peut supposer (quitte à composer σ à gauche par des réflexions orthogonales) que σ(e_{n}) = e_{n}. Alors F′ = ⟨e_{1}, ⋯, e_{n−1}⟩ et G′ = ⟨σ(e_{1}), ⋯, σ(e_{n−1})⟩ sont contenus dans l’hyperplan H orthogonal à e_{n}, de dimensions n − 1 et isométriques par σ_{|F′}. Par récurrence il existe une isométrie u′ de H qui prolonge σ_{|F′}. Ainsi on obtient u dans O(q) prolongeant σ à E en posant u = u′ ⊕ Id_{⟨e_{n}⟩}. □

Corollaire 5.5.17 Si q est régulière alors O(q) opère transitivement sur les seti de même dimension (en particulier sur les setim).

Démonstration. Deux setis de même dimension sont isomorphes comme espace vectoriels donc isométriques. □

Corollaire 5.5.18 Soient F, F′ ⊂ E deux sous-espaces isomorphes comme espaces quadratiques.

1. Si (E, q) est régulier, alors F^{⊥} et (F′)^{⊥} sont isomorphes (comme espaces quadratiques).

2. Si F est non isotrope, alors F^{⊥} et (F′)^{⊥} sont isomorphes (comme espaces quadratiques).

Démonstration. Dans les deux cas le théorème de Witt donne une isométrie u de E prolongeant l’isométrie entre F et F′. Alors u(F^{⊥}) = u(F)^{⊥} = (F′)^{⊥} et u définit par restriction une isométrie entre les deux orthogonaux. □Ce dernier corollaire s’appelle parfois "théorème de simplification de Witt", et il se reformule alors :

Théorème 5.5.19 (Simplification de Witt) Soient (E, q) et (E′, q′) deux espace quadratiques réguliers isomorphes. On suppose que E = A⊥B et E′ = A′⊥B′ avec (A, q_{|A}) et (A′, q′_{|A′}) isomorphes. Alors (B, q_{|B}) et (B′, q′_{|B′}) sont aussi isomorphes.

□

Corollaire 5.5.20 Si E se décompose de deux façon différente E = H⊥G = H′⊥G′ avec H, H′ hyperboliques et G, G′ anisotrope, alors il existe u ∈ O(q) telle que u(H) = H′ et u(G) = G′. En particulier la forme anisotrope q_{a} = q_{|G} est bien définie par q à équivalence près.

Démonstration. Les deux setim de H et H′ ont même dimension, donc les deux espaces hyperboliques aussi et ils sont isomorphes (comme espaces quadratiques). Par simplification les espaces anisotropes aussi. □Une telle écriture E = H⊥G avec H hyperbolique et G anisotrope s’appelle une \underline{décomposition de Witt} de q.

Corollaire 5.5.21 Soient q et q′ deux formes non dégénérées sur E, d’indices respectifs ν(q) et ν(q′) et de formes anisotropes associées respectives q_{a} et q′_{a}. Alors

q ∼ q′ ⟺ (ν(q) = ν(q′) et q_{a} ∼ q′_{a}) .

Démonstration. En effet à équivalence près q est déterminée par sa décomposition de Witt, et le sous-espace hyperbolique H est déterminé par l’indice ν(q). □

5.5.4 Exercices : calculs d’indice.

Exercice 5.3 Soit q une forme quadratique sur ℝ^{n} non dégénérée de signature (p, n − p). Quel est l’indice de q?

Exercice 5.4 Soit k un corps algébriquement clos et soit q une forme quadratique non dégénérée sur k^{n}. Montrer que l’indice de q est la partie entière de n/2 (cela termine la preuve du 1 du théorème 5.4.3).

Exercice 5.5 Soit k = 𝔽_{q} avec 2 ∤ q et n = 2.

1. À quelle condition sur q, la classe de −1 est-elle un carré ?

2. Soit α ∈ 𝔽_{q}^{×} qui n’est pas un carré. Montrer que la forme quadratique de rang 2 et de discriminant α est anisotrope si et seulement si 4 | q −1.

3. Que peut-on dire de l’indice de la forme quadratique de rang 2 et de discriminant 1 ?

74

Réseaux.

6.0 prérequis à propos des ℤ-modules.

Dans ce chapitre et contrairement aux habitudes j’impose des pré-requis assez élevés. Voici la liste des notions admises ici. Je suppose connue la définition de ℤ-modules libres, de rang des ℤ-modules libres, le principe qu’un sous-module de ℤ^{n} est libre de rang inférieur ou égal à n, l’égalité entre le rang d’un sous-module M de ℤ^{n} et la dimension du ℚ espace vectoriel de ℚ^{n} engendré par M. On utilisera aussi le théorème de la base adaptée sur ℤ dont voici un énoncé :

Théorème 6.0.1 Soit M un sous-ℤ-module de ℤ^{n}. Alors il existe une base e_{1}, ⋯, e_{n} de ℤ^{n} et une suite d’entier positifs ou nul ordonnés par divisibilité d_{1} | ⋯ | d_{r} | d_{r+1} = 0 | ⋯ | d_{n} = 0 tels que d_{1}e_{1}, ⋯, d_{n}e_{n} soit une base de M. La suite des d_{i} est un invariant de la classe d’isomorphisme de ℤ^{n}/M et on appelle les d_{i} les \underline{diviseurs élémentaires} de M ⊂ ℤ^{n}. On a bien sur en général

ℤ^{n}/M ≅ ⨁_{i=1}^{n} ℤ/(d_{i})

et pour r = n :

o(ℤ^{n}/M) = ∏_{i=1}^{n} d_{i}

Ces notions sont strictement contenues dans le programme de l’UV de quatrième année "modules sur les anneaux principaux". J’indiquerai brièvement en cours le fil conducteur des démonstrations de cette théorie dans la cas particulier des ℤ-modules. Voir les sections 1 à 4 du chapitre XIX du livre des Gras pour un exposé détaillé de cette théorie.

6.1 Sous-groupes discrets de ℝ^{n}.

On fixe un entier n et on étudie l’espace euclidien ℝ^{n} muni de la métrique euclidienne ∥x∥. Dans la suite on notera B_{f}(a, r) la boule fermée de centre a et de rayon r dans R^{n} (resp. B_{o}(a, r) la boule ouverte). Lorsqu’il n’est pas utile de préciser on notera B(a, r). On dit qu’un espace topologique général est discret lorsque tous ses sous-ensembles sont ouverts (et il suffit de vérifier que tous ses points sont ouverts). Dans ℝ^{n} on a la caractérisation suivante des sous-groupes discrets (pour la topologie induite par la métrique de ℝ^{n}).

Lemme 6.1.1 Soit G < ℝ^{n} un sous-groupe de ℝ^{n} muni de la topologie induite par celle de ℝ^{n}. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. G est discret.

2. Pour tout compact C de ℝ^{n} l’intersection C ∩ G est finie.

3. Pour tout ε > 0 l’intersection B(0, ε) ∩ G est finie.

4. Il existe η > 0 tel que B(0, η) ∩ G = {0}.

Démonstration. Par définition de la topologie induite (la topologie trace) les B_{o}(a, r) ∩ G sont les ouverts élémentaires de G. Dans le groupe topologique ℝ^{n} les translations sont bi-continues et toutes les questions topologiques se "recentrent" en 0. Cela explique l’équivalence entre 1 et 4, mais détaillons-la quand même. Par définition 4 est équivalent à "{0} est ouvert dans G". Cela entraîne que tout singleton {g} = {0} + g ⊂ G est image par une application bi-continue d’un ouvert. Tous les singletons donc tous les sous-ensembles de G sont alors ouverts. L’implication 2 ⇒ 3 est immédiate. Pour conclure on démontre 3 ⇒ 4 et 4 ⇒ 2.

On suppose 3 et on cherche η tel que B(0, η) ∩ G = {0}. On prend ε > 0 et on écrit B(0, ε) ∩ G = {0, x_{1}, ⋯, x_{k}} où k = #(B(0, ε) ∩ G) − 1. Si k = 0 alors η = ε convient. Sinon η = \frac{1}{2} min ∥x_{i}∥ convient.

On suppose 4 et soit C un compact de ℝ^{n}. Supposons, en vue d’une contradiction, que C∩G soit infini. Alors C∩G contient une suite infinie dont on extrait par compacité une sous-suite convergente à termes deux à deux distincts (x_{i})_{i∈ℕ} ⊂ G∩C. Soit x = lim x_{i}. On peut donc trouver i, j ∈ ℕ avec x_{i} ≠ x_{j}, ∥x−x_{i}∥ < η/2 et ∥x−x_{j}∥ < η/2. Mais alors 0 ≠ x_{i}−x_{j} ∈ B(0, η)∩G, ce qui contredit 4. □

Corollaire 6.1.2 Les sous-groupes de ℝ sont denses ou discrets.

Soit G un sous-groupe non discret de ℝ. En niant 4, on voit que G contient une suite (x_{n}) de réels tous non nuls qui converge vers 0. Comme G est un groupe on peut prendre les x_{n} tous positifs. Soit x ∈ ℝ avec x > 0. Alors pour tout n il existe un entier r_{n} (la partie entière de x/x_{n}) tel que

r_{n}x_{n} ≤ x < (r_{n} + 1)x_{n}.

En particulier la suite des (r_{n}x_{n}) ⊂ G converge vers x. Cela montre que G ∩ ℝ^{+} est dense dans ℝ^{+}. Par symétrie G est dense dans ℝ. □

Exercice 6.1 Soient x, y ∈ ℝ linéairement indépendants sur ℚ. Alors le groupe ⟨x, y⟩ est dense dans ℝ.

Lemme 6.1.3 Soit G un sous-groupe de ℝ^{n}. On a équivalence entre les trois assertions :

1. Il existe f ∈ Aut_{ℝ}(ℝ^{n}) avec G = f(ℤ^{n}).

2. Il existe M ∈ GL_{n}(ℝ) avec G = Mℤ^{n}.

3. Il existe une base de ℝ^{n} qui engendre G comme ℤ-module.

Si un groupe G vérifie l’une de ces assertions alors il est discret et libre de rang n.

Démonstration. L’équivalence entre 1, 2 et 3 est immédiate. Un groupe G qui vérifie 1 est libre de rang n. On doit montrer qu’un tel groupe est discret. Soit e_{1}, ⋯, e_{n} la ℝ-base de ℝ^{n} qui est aussi une ℤ-base de G. Alors tout x ∈ ℝ^{n} assez proche de 0 s’écrit x = ∑ λ_{i}e_{i} avec λ_{i} ∈] − 1; 1[ pour tout i. Mais un tel x appartient à G si et seulement si les λ_{i} sont entiers c’est-à-dire nuls. On obtient ainsi un η > 0 tel que G ∩ B(0, η) = {0}. □

Remarque : L’implication réciproque (à savoir G sous-groupe discret de rang n engendre ℝ^{n} sur ℝ) est vraie. Cette implication est l’enjeu du théorème de Jacobi-Bravais à suivre.

Définition 6.1.4 On appelle \underline{réseau} de ℝ^{n} un ℤ-module libre de rang n engendré par une ℝ-base de ℝ^{n}.

Lemme 6.1.5 Soit G = Mℤ^{n} = Nℤ^{n} un réseau obtenu à partir de deux matrices M, N de GL_{n}(ℝ). Alors MN^{−1} ∈ GL_{n}(ℤ) et en conséquence

det(M) = ± det(N).

Démonstration. En partant de Mℤ^{n} = Nℤ^{n} on arrive à N^{−1}Mℤ^{n} = ℤ^{n} qui entraîne N^{−1}M ∈ M_{n}(ℤ). Par symétrie la matrice inverse M^{−1}N appartient aussi à M_{n}(ℤ), c’est-à-dire que toutes deux sont dans GL_{n}(ℤ). □

Définition 6.1.6 Si G = Mℤ^{n} est un réseau alors | det(M)| est un invariant de G, on l’appelle le \underline{déterminant du réseau} G.

Définition 6.1.7 Soit G = ⊕_{i=1}^{n}ℤe_{i} un réseau de ℝ^{n}. On appelle \underline{parallélotope} \underline{fondamental} de G le convexe :

P(e_{1}, ⋯, e_{n}) = {x ∈ ℝ^{n}, x = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}e_{i}, 0 ≤ λ_{i} < 1}.

Un parallélotope fondamental (parfois appelé domaine fondamental) d’un réseau n’est pas un invariant du réseau. Il s’agit d’un système de représentant dans ℝ^{n} de ℝ^{n}/G. Il y autant de tels parallélotopes que de bases (à permutation près) du réseau. Cependant le volume de ce parallélotope est un invariant :

Proposition et définition 6.1.8 Un parallélotope fondamental P d’un réseau G est mesurable (au sens de la mesure de Lebesgue μ de ℝ^{n}) et on a μ(P) = det(G). Cet invariant se note aussi μ_{G} et s’appelle le \underline{co-volume} ou la \underline{mesure de la maille} du réseau G.

Démonstration. On note ε la base canonique de ℤ^{n}. Le parallélotope fondamental P_{0} de ℤ^{n} associé à ε est évidement mesurable de mesure 1. On part de P = P(e_{1}, ⋯, e_{n}) et de la matrice M = Mat_{ε}(e) telle que M(ε) = (e). Alors M(P_{0}) = P et

μ(P) = ∫_{P} dμ = ∫_{M(P_{0})} dμ = | det(M)| ∫_{P_{0}} dμ = | det(M)|,

parce que le changement de variable x ↦ Mx a pour jacobienne M. □

Proposition et définition 6.1.9 Si H ⊂ G est un réseau de ℝ^{n} contenu dans le réseau G on appelle indice de H dans G et on note (G : H) l’ordre du quotient (fini) G/H. On a :

μ_{H} = μ_{G}(G : H).

Démonstration. Il suffit de prendre pour parallélotopes fondamentaux ceux obtenus à partir d’une base de G adaptée à H pour G et de la base de H déduite de la précédente pour H. □

Le théorème fondateur de la théorie des sous-groupes discrets de ℝ^{n} affirme que les notions de ℤ-rang et de ℝ-dimensions coïncident pour ces sousgroupes. (Penser au sous-groupe de rang 2 engendré par 1 et \sqrt{2} dans ℝ)

Théorème 6.1.10 (Jacobi–Bravais) Soit G un sous-groupe discret de ℝ^{n}, soit V le sous-espace de ℝ^{n} engendré par G et soit r = dim_{ℝ} V. Alors G est ℤ-libre de rang r.

Remarque : Attention si r < n le volume μ_{G} n’est pas défini. Démonstration. On prend (e_{1}, ⋯, e_{r}) ⊂ G un système de vecteurs ℝ-libre de rang maximal, et soit H le sous-groupe de G engendré par ces e_{i}. Soit P_{1} = {x = ∑_{i=1}^{r} λ_{i}e_{i}, 0 ≤ λ_{i} < 1}. Par construction P_{1} est un système de représentants de V/H. L’adhérence de P_{1} est compacte et comme G est discret l’intersection G ∩ P_{1} est finie. Forcément G est engendré par (e_{1}, ⋯, e_{r}) ∪ (G ∩ P_{1}) donc est de type fini donc libre. Il reste à voir que le ℤ-rang de G est au plus r. Soit x ∈ G et écrivons x = ∑_{i=1}^{r} α_{i}e_{i} avec α ∈ ℝ. Pour tout entier m on considère x^{(m)} = mx − ∑_{i} E(mα_{i})e_{i}. Alors pour tout m on a x^{(m)} ∈ G ∩ P_{1} et comme cet ensemble est fini il existe l ≠ j tels que x^{(l)} = x^{(j)}. On en déduit (j − l)x = ∑_{i}(E(jα_{i}) − E(lα_{i}))e_{i} c’est-à-dire que x est dans le ℚ-espace vectoriel engendré par les e_{i}. □

Corollaire 6.1.11 Un sous-groupe ℤ-libre de ℝ^{n} de ℤ-rang supérieur ou égal à n + 1 n’est pas discret.

Ce corollaire immédiat "écrase" et généralise l’exercice 6.1

6.2 Théorème de Minkowski.

Lemme 6.2.1 (Minkowski) Soit G un réseau de ℝ^{n} et soit Σ un sousensemble mesurable de ℝ^{n} tel que μ(Σ) > μ_{G}. Alors il existe x, y ∈ Σ avec x ≠ y et x − y ∈ G.

Démonstration. Soit P un parallélotope fondamental pour G. Les translatés P + g, g ∈ G donnent une partition de ℝ^{n} :

ℝ^{n} = ⨿_{g∈G}(P + g).

D’où une partition Σ = ⨿_{g∈G}((P + g) ∩ Σ) et en passant aux mesures :

μ(Σ) = ∑_{g∈G} μ((P + g) ∩ Σ) = ∑_{g∈G} μ(P ∩ (Σ − g)).

La dernière égalité provient de l’invariance par translation de μ. Maintenant si les ensembles (P ∩ (Σ − g)) sont disjoints alors la dernière somme est majorée par μ_{G} ce qui contredit μ(Σ) > μ_{G}. Il existe donc g, g′ ∈ G tels que g ≠ g′ et P ∩ (Σ − g) ∩ (Σ − g′) ≠ ∅, c’est-à-dire qu’il existe x, y ∈ Σ avec x − g = y − g′. On en déduit x − y = g − g′ ∈ G \ {0} puisque g ≠ g′ et g, g′ ∈ G. □

Théorème 6.2.2 (Minkowski) Soit G un réseau de ℝ^{n} et S ⊂ ℝ^{n} mesurable vérifiant les trois hypothèses suivantes :

1. S est symétrique par rapport à 0 (autrement dit −S ⊂ S).

2. S est convexe (autrement dit pour tout x, y ∈ S le segment [x, y] est contenu dans S).

3. μ(S) > 2^{n}μ_{G} ou μ(S) ≥ 2^{n}μ_{G} avec S compact. Alors S ∩ G contient un élément non nul.

Démonstration. On suppose d’abord μ(S) > 2^{n}μ_{G}. On applique le lemme 6.2.1 à Σ = \frac{1}{2}S. On trouve x, y distincts dans \frac{1}{2}S tels que x − y ∈ G. Mais x − y = \frac{1}{2}(2x − 2y) ∈ S puisque S est symétrique et convexe. D’où la conclusion lorsque μ(S) > 2^{n}μ_{G}. On suppose maintenant S compact et μ(S) ≥ 2^{n}μ_{G}. En appliquant le premier cas à (1 + 1/n)S on obtient une suite décroissante de compacts non vide

K_{n} = ((1 + \frac{1}{n}) S) ∩ G.

Alors l’intersection des K_{n} est non vide et si x ∈ ∩_{n}K_{n} alors x ∈ S ∩ G par compacité de S. Alternativement les seuls compacts discrets sont les ensembles finis et une suite décroissante d’ensemble finis est stationnaire.

□

6.3 Applications diophantiennes.

6.3.1 Approximations diophantiennes simultanées.

On fixe n. On note ε la base canonique de ℤ^{n} et on se donne x = (x_{1}, ⋯, x_{n}) ∈ ℝ^{n} \ ℚ^{n}.

Lemme 6.3.1 Soit G le ℤ-module engendré par {ε_{1}, ⋯, ε_{n}, x}. Alors G n’est pas discret.

Démonstration. Par hypothèse sur x ce ℤ-module est au moins de rang n+1. Le corollaire 6.1.11 conclut. □

Théorème 6.3.2 Soient x_{1}, ⋯, x_{n}, n nombres réels. Alors pour tout ε tel que 0 < ε < 1, il existe un entier q indépendant de i et n entiers (p_{i})_{1≤i≤n} tels que

|x_{i} − \frac{p_{i}}{q} | < \frac{ε}{q}.

Démonstration. Puisque G n’est pas discret la boule fermée

B_{ε} = {(x_{1}, ⋯, x_{n}) ∈ ℝ^{n}, sup(x_{i}) ≤ ε}

contient un élément de G non nul que l’on écrit g = ∑ a_{i}ε_{i} + ax et on a |a_{i} + ax_{i}| ≤ ε pour tout i. Puisque ε < 1 on a forcément a ≠ 0 (le réseau ℤ^{n} lui est discret et vérifie B_{ε} ∩ ℤ^{n} = {0} pour ε < 1). Comme a ≠ 0 on obtient pour tout i :

|x_{i} + \frac{a_{i}}{a} | ≤ \frac{ε}{a}.

Cela montre le théorème (en prenant ε = ε/2, p_{i} = −a_{i} et a = q). □

6.3.2 Equations diophantiennes linéaires.

On prend n ≥ 2. Les équations diophantiennes linéaires sont des équations de la forme

∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i} = b  (6.1)

données par des entiers a_{1}, ⋯, a_{n} non tous nuls (on suppose a_{n} ≠ 0 pour fixer les idées) et un entier b et pour lesquelles on cherche les solutions x_{1}, ⋯ x_{n} entières, c’est-à-dire telles que (x_{1}, ⋯, x_{n}) ∈ ℤ^{n}. Lorsque les a_{i} et b sont rationnels on se ramène à une équation diophantienne en chassant les dénominateurs. Lorsque l’un des paramètres est irrationnels souvent l’ensemble des solutions est vide et dans tous les cas on n’a plus affaire à un problème diophantiens.

Lemme 6.3.3 Si x^{0} = (x_{1}^{0}, ⋯, x_{n}^{0}) est une solution particulière de 6.1 alors toute solution x est de la forme x = y +x^{0} où y est une solution de l’équation homogène associée 6.2 :

∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i} = 0  (6.2)

Démonstration. C’est évident. □

Lemme 6.3.4 L’équation générale 6.1 admet une (donc plusieurs) solutions si et seulement si le pgcd des a_{i} divise b.

Démonstration. Dans un anneau principal un pgcd des a_{i} est un générateur de l’idéal (principal) engendré par ces a_{i}. Avec cette définition le lemme devient tautologique. En vue d’une méthode de calcul des solutions il faut remarquer que l’algorithme d’euclide donne à la fois ce pgcd d et des coefficients de Bezout tels que d = ∑ a_{i}u_{i}, c’est-à-dire une solution particulière si elle existe puisque b = b′d = ∑ a_{i}u_{i}b′. □

Lemme 6.3.5 L’ensemble des solutions (y_{1}, ⋯, y_{n}) de l’équation homogène 6.2 est un sous-groupe discret de rang n − 1 contenant comme sous-groupe d’indice fini le sous-groupe Γ engendré par les γ_{i} = −a_{n}ε_{i} + a_{i}ε_{n} pour 1 ≤ i ≤ n − 1.

Démonstration. Soit G l’ensemble des solutions de 6.2. Alors G est le noyau de la forme ℤ-linéaire φ: (x_{1}, ⋯, x_{n}) ↦ ∑ a_{i}x_{i}. Clairement les γ_{i} sont linéairement indépendants (la matrice des coordonnées des γ_{i} est triangulaire inférieure avec a_{n} sur la diagonale pour i < n), et ils appartiennent à G dont le rang est donc supérieur ou égal à n − 1. Réciproquement comme G est dans l’hyperplan de ℚ^{n} associé à φ son rang est inférieur donc égal à n − 1.

□

Définition 6.3.6 Une ℤ-base de l’ensemble des solutions de (6.2) s’appelle \underline{un système fondamental de solutions}.

Théorème 6.3.7 Soit e_{1}, ⋯, e_{n} une base de ℤ^{n} adaptée au sous-groupe Γ du lemme 6.3.5, c’est-à-dire telle qu’il existe des q_{1}, ⋯, q_{n−1} ∈ ℕ non nuls ordonnés par divisibilité et que q_{1}e_{1}, ⋯, q_{n−1}e_{n−1} soit une base de Γ. Alors e_{1}, ⋯, e_{n−1} est un système fondamental de solutions de l’équation 6.2 et (G : Γ) = ∏_{i=1}^{n−1} q_{i}.

Démonstration. Soit φ: ℤ^{n} ⟶ ℤ la forme linéaire φ(x_{1}, ⋯, x_{n}) = ∑ a_{i}x_{i}. Par définition G = Ker φ. Pour i < n on a q_{i}e_{i} ∈ Γ ⊂ G et donc q_{i}φ(e_{i}) = φ(q_{i}e_{i}) = 0. Puisque ℤ est sans torsion on a e_{i} ∈ G pour i < n, et donc ⟨e_{1}, ⋯, e_{n−1}⟩ ⊂ G ⊂ ℤ^{n}. Tout y ∈ ℤ^{n} s’écrit y = ∑ λ_{i}e_{i} et il vient φ(y) = λ_{n}φ(e_{n}). Puisque φ est non-nulle on doit avoir φ(e_{n}) ≠ 0 et on en déduit y ∈ G ⟺ λ_{n} = 0. □

6.3.3 Théorème des deux carrés.

Définition 6.3.8 On dit qu’un entier n est \underline{somme de 2 carrés} lorsqu’il existe a, b ∈ ℕ tels que n = a^{2} + b^{2}.

Définition 6.3.9 Soit n ∈ ℕ et p un nombre premier. On appelle valuation p-adique de n et on note v_{p}(n) le plus grand entier positif ou nul tel que p^{v_{p}(n)} | n.

Remarque : La factorisation d’un entier positif n en puissances de nombre premiers s’écrit donc :

n = ∏_{p∈P} p^{v_{p}(n)}.

Proposition 6.3.10 Un entier positif n ≡ 3[4] n’est pas somme de deux carrés.

Démonstration. Il suffit de réduire modulo 4 l’équation a^{2}+b^{2} = n. Les carrés modulo 4 sont 0 et 1 et leur somme ne peut pas valoir 3 modulo 4. □

Théorème 6.3.11 Si p est un nombre premier congru à 1 ou 2 modulo 4, alors p est somme de deux carrés.

Démonstration. Pour p = 2 on a 2 = 1 + 1 = 1^{2} + 1^{2}. On suppose p ≡ 1[4]. Alors 𝔽_{p}^{×} est cyclique d’ordre divisible par 4, donc contient u avec u^{2} = −1. Soit R = {(a, b) ∈ ℤ^{2}; a ≡ ub[p]}. Alors R est un réseau de co-volume p puisque c’est le noyau de l’application surjective ℤ^{2} ⟶ 𝔽_{p} définie par (a, b) ↦ \overline{a} − u\overline{b}. Par le théorème de Minkowski le disque de rayon r contient un point non nul de R dès que r^{2} > (4p/π). On prend r tel que (4p/π) < r^{2} < 2p. Soit (a, b) le point de R non nul contenu dans ce disque. Alors on a 0 < a^{2} + b^{2} < 2p tandis que a^{2} + b^{2} ≡ 0[p]. Automatiquement a^{2} + b^{2} = p.

□

Lemme 6.3.12 L’anneau A = ℤ[i] est euclidien donc principal. Si n est somme de deux carrés et si p ≡ 3[4] est un nombre premier divisant n alors v_{p}(n) est pair.

Démonstration. Montrer que ℤ[i] est euclidien pour la norme N(a + ib) = a^{2} + b^{2} est un exercice bateau. Soit p ≡ 3[4]. Alors l’équation N(a + ib) = p n’a pas de solution dans A et on peut en déduire que p est encore irréductible dans A. On note σ la conjugaison de ℤ[i]. On suppose que p ≡ 3[4] divise n = a^{2} + b^{2} = (a + ib)(a − ib). Par le lemme de Gauß on obtient p | a + ib ou p | a − ib. Soit s tel que (a + ib) ∈ p^{s}A et a + ib ∉ p^{s+1}A. Alors par conjugaison et comme σ(p) = p on voit que a − ib ∈ p^{s}A et a − ib ∉ p^{s+1}A. D’où n = (a + ib)(a − ib) ∈ p^{2s}A \ p^{2s+1}A. En particulier p^{2s+1} ne divise pas n dans ℤ non plus. En passant aux normes on voit ensuite que (p^{2})^{2s} divise n^{2} dans ℤ. □

Corollaire 6.3.13 Un entier positif n est somme de deux carrés si et seulement si les v_{p}(n) sont pairs pour tout p ≡ 3[4].

Démonstration. En regroupant ce qui précède on voit qu’il reste à démontrer qu’un produit de deux entiers chacun somme de deux carré est aussi somme de deux carré. Cela revient à la multiplicativité de la norme dans ℤ[i] puisque

\begin{aligned}(a^{2} + b^{2})(c^{2} + d^{2}) & = N(a + ib)N(c + id) = N((a + ib)(c + id)) \\ & = (ac − bd)^{2} + (ad + bc)^{2}. \end{aligned}

□

6.3.4 Théorème des quatres carrés.

Proposition 6.3.14 Tout nombre premier est somme de quatre carrés.

Démonstration. On peut supposer p impair (et même p ≡ 3[4] mais cela ne sert pas). Par le principe des tiroirs déjà utilisé pour démontrer le lemme 5.4.5 il existe u, v dans ℤ tels que u^{2} + v^{2} + 1 ≡ 0[p]. On considère le réseau R = {(a, b, c, d) ∈ ℤ^{4}, c ≡ ua+vb[p], d ≡ ub−va[p]}. De même que précédemment on montre que R est d’indice p^{2} dans ℤ^{4}. le volume de la sphère de rayon r en dimension 4 est (π^{2}r^{4})/2 et on choisit r tel que 16p^{2} < (π^{2}r^{4})/2 < (π^{2}/2)4p^{2}, c’est-à-dire (π^{2}r^{4})/2 > 16p^{2} et aussi r^{2} < 2p. Par le théorème de Minkowski il existe un point non nul (a, b, c, d) de R contenu dans la sphère de rayon r. On en tire 0 < a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} < 2p tandis que a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} ≡ 0[p] d’où p = a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}. □

Théorème 6.3.15 (Lagrange) Tout nombre entier est somme de quatre carrés.

Démonstration. Comme pour le théorème des deux carrés il s’agit de montrer que le produit de deux sommes de quatre carrés est une somme de quatre carrés. Ici aussi cela se ramène à la multiplicativité d’une sorte de norme mais il s’agit de la norme réduite associée aux quaternions de Hamilton c’est-à-dire une ℚ algèbre non commutative. Voir le début du paragraphe 5.7 du "Théorie Algébrique des Nombres" de Pierre Samuel (le lemme 2 suffit à nos besoins). Alternativement on peut se contenter de bombarder la formule :

(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})(A^{2} + B^{2} + C^{2} + D^{2}) =
(aA − bB − cC − dD)^{2} + (aB + bA + cD − dC)^{2}
+ (aC − bD + cA + dB)^{2} + (aD + bC − cB + dA)^{2}.

□

Réduction des endomorphismes.

Étant donné un endomorphisme u d’un k-espace vectoriel E de dimension finie n, \underline{réduire} u c’est trouver une base dans laquelle la matrice de u soit "le plus simple possible". Matriciellement on cherche dans la classe de similitude de Mat_{ε}(u) une matrice "simple". Par exemple diagonaliser (matrice diagonale), trigonaliser (matrice triangulaire inférieure ou supérieure), Jordaniser (matrice de Jordan) lorsque c’est possible sont des réductions. La seule réduction générale abordée dans ce cours sera la réduction de Frobenius (en bloc diagonaux de matrices compagnons) qui donne un représentant "canonique" de la classe de similitude de Mat_{ε}(u).

7.1 sous-espaces stables par u.

Définition 7.1.1 On appelle sous-espace stable par u un sous-espace F ⊂ E tel que u(F) ⊂ F.

Exemples : Si P ∈ k[X] alors Im(P (u)) et Ker(P (u)) sont stables par u. En particuliers les sous-espaces propres et les sous-espaces caractéristiques de u sont stables par u. Plus généralement on a le lemme

Lemme 7.1.2 Soit u, v ∈ End_{k}(E) deux endomorphismes qui commutent. Alors Ker u et Im u sont stables pour v.

Démonstration. Soit x ∈ Ker u, alors u(v(x)) = v(u(x)) = v(0) = 0 et donc v(x) ∈ Ker u. Soit x = v(y) ∈ Im(v). Alors u(x) = u(v(y)) = v(u(y)) ∈ Im v. □

Définition 7.1.3 On appelle polynôme minimal de u et on note μ_{u}(X) le générateur unitaire de l’idéal de k[X] des polynômes annulant u.

μ_{u}(X)k[X] = {P ∈ k[X]; P (u) = 0}.

L’existence de μ_{u} est assurée parce que n^{2} = dim_{k}(End(E)) est finie et donc les endomorphismes 1, u, u^{2}, ⋯, u^{n^{2}} sont liés. Le théorème de Cayley-Hamilton assure en outre que le degré de μ_{u} est inférieur ou égal à n.

Lemme 7.1.4 Soit E′ ⊂ E un sous-espace stable par u, soit E′′ = E/E′ l’espace quotient et soit u′ et u′′ les endomorphismes de E′ et respectivement E′′ induits par u. Alors μ_{u′} et μ_{u′′} divisent μ_{u}.

Démonstration. En effet μ_{u}(u′) = 0 et μ_{u}(u′′) = 0. □

Lemme 7.1.5 Soit E_{1} ⋯ E_{s} des sous-espaces stables tels que E = E_{1}+⋯+ E_{s}, et soit M_{i} le polynôme minimal de l’endomorphisme de E_{i} induit par u. Alors μ_{u} = ppcm(M_{i}).

Démonstration. Soit M = ppcm(M_{i}). Par le lemme 7.1.4 chaque M_{i} divise μ_{u} donc M aussi. Réciproquement M(u) est nul sur tous les E_{i} donc sur E et μ_{u} divise M. □

Définition 7.1.6 Pour tout λ ∈ k on appelle \underline{sous-espace propre} pour u associé à λ et on note E_{λ} le noyau Ker(λ Id_{E} −u). Lorsque E_{λ} ≠ {0} on dit que λ est une \underline{valeur propre} de u. L’ensemble des valeurs propres de u s’appelle le \underline{spectre} de u et se note Spec(u). Un vecteur non nul de E_{λ} s’appelle un \underline{vecteur propre} pour λ.

Définition 7.1.7 Soit ε une base de E. Le déterminant ci dessous ne dépend pas du choix de ε, on l’appelle \underline{polynôme caractéristique} de u et on le note χ_{u} :

χ_{u}(X) = det(XI_{n} − Mat_{ε}(u)).

L’indépendance vis à vis de la base vient de la multiplicativité du det puisque pour M ∈ GL_{n}(k) on a

det(XI_{n} − M Mat_{ε}(u)M^{−1}) = det(M(XI_{n} − Mat_{ε}(u))M^{−1}) =
det(XI_{n} − Mat_{ε}(u)).

Pour que λ ∈ k soit valeur propre de u il faut et il suffit que l’endomorphisme λ Id_{E} −u ne soit pas injectif c’est-à-dire que son déterminant soit nul ou encore que λ soit racine de χ_{u}.

Proposition 7.1.8 Soient E′ un sous-espace stable par u, soit E′′ = E/E′ et soient u′ (resp. u′′) l’endomorphisme de E′ (resp. E′′) induit par u. Alors χ_{u} = χ_{u′}χ_{u′′}.

Démonstration. Il suffit d’écrire la matrice de u dans une base de E complétant une base de E′ et d’utiliser la formule du déterminant des matrices triangulaires par blocs. □

Définition 7.1.9 On dit que u est trigonalisable lorsqu’il existe une base ε de E telle que la matrice de Mat_{ε}(u) soit triangulaire.

Mat_{ε}(u) = ( \begin{matrix}λ_{1} & ∗ & ⋯ & ∗ \\ 0 & λ_{2} & ⋯ & ∗ \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & λ_{n} \end{matrix} )

Nota Bene : Les λ_{i} ne sont pas supposés distincts.

Proposition 7.1.10 L’endomorphisme u est trigonalisable sur k si et seulement si χ_{u} est scindé sur k.

Démonstration. C’est une récurrence facile sur la proposition 7.1.8. En outre si il existe une base ε avec

Mat_{ε}(u) = ( \begin{matrix}λ_{1} & ∗ & ⋯ & ∗ \\ 0 & λ_{2} & ⋯ & ∗ \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & λ_{n} \end{matrix} ) ,

alors χ_{u} = ∏_{i}(X − λ_{i}). □

Théorème 7.1.11 (Cayley-Hamilton) Dans End_{k}(E) on a χ_{u}(u) = 0 et dans k[X] on a les divisibilités :

μ_{u} | χ_{u} | μ_{u}^{n}.

Démonstration. Quitte à étendre les scalaires au corps de décomposition L de χ_{u} on peut supposer χ_{u} scindé. Par le lemme 7.1.4 appliqué aux sous-espaces propres associés à la valeur propre λ on montre que X − λ divise μ_{u}. Cela donne alors χ | μ_{u}^{n} dans L[X] et donc dans k[X] (par unicité du reste de la division euclidienne). Il reste à montrer que χ_{u}(u) = 0 lorsque χ_{u} est scindé. Mais en utilisant une base ε telle que

Mat_{ε}(u) = ( \begin{matrix}λ_{1} & ∗ & ⋯ & ∗ \\ 0 & λ_{2} & ⋯ & ∗ \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & λ_{n} \end{matrix} ) ,

on peut voir par récurrence sur k

∀j ≤ k  ∏_{i≤k}(λ_{i} Id_{E} −u)(e_{j}) = 0.

□

7.2 Théorème des noyaux et applications.

7.2.1 théorème des noyaux.

Lemme 7.2.1 (des noyaux) Soit P un polynôme annulant u et décomposé en P = P_{1}P_{2} avec (P_{1}, P_{2}) = 1, et soit E_{i} = Ker(P_{i}(u)), pour i = 1, 2. On a

1. E_{1} = Im(P_{2}(u)), E_{2} = Im(P_{1}(u)) et E = E_{1} ⊕ E_{2}.

2. Les projecteurs E ↠ E_{i} appartiennent à k[u].

Démonstration. On pose F_{1} = Im(P_{2}(u)) et F_{2} = Im(P_{1}(u)). Comme 0 = P_{1}(u) ∘ P_{2}(u) = P_{2}(u) ∘ P_{1}(u) on a F_{i} ⊂ E_{i}. On part d’une équation de Bezout 1 = R_{1}P_{1}+R_{2}P 2 entre les P_{i}. Tout x ∈ E s’écrit x = P_{1}(u)R_{1}(u)(x)+ P_{2}(u)R_{2}(u)(x) donc E = F_{1} +F_{2}. Si z ∈ E_{1} ∩E_{2} alors z = R_{1}(u)∘P_{1}(u)(z)+ R_{2}(u) ∘ P_{2}(u)(z) = 0, et donc E_{1} ∩ E_{2} = {0}. On en déduit E = F_{1} ⊕ F_{2} et E_{i} = F_{i}. Enfin P_{1}(u) ∘ R_{1}(u) est le projecteur sur E_{2} et P_{2}(u) ∘ R_{2}(u) est le projecteur sur E_{1}. □ Par récurrence on déduit du lemme des noyaux le théorème du même nom :

Théorème 7.2.2 (des noyaux) Soit P un polynôme annulant u décomposé en un produit P = P_{1}P_{2} ⋯ P_{s} avec (P_{i}, P_{j}) = 1 pour i ≠ j. Soit E_{i} = Ker(P_{i}(u)) et pour tout i soit Q_{i} = ∏_{j≠i} P_{j} et F_{i} = Ker(Q_{i}(u)). On a

1. pour tout i, E_{i} = Im(Q_{i}(u)), F_{i} = Im(P_{i}(u)).

2. E = E_{1} ⊕ ⋯ E_{s} et pour tout i, F_{i} = ⊕_{j≠i}E_{j}.

3. Les projecteurs sur E_{i} sont dans k[u].

□

7.2.2 endomorphisme diagonalisable et critère de diagonalisation.

Proposition 7.2.3 L’endomorphisme u est diagonalisable sur k si et seulement si μ_{u} est scindé sur k avec des racines simples.

Démonstration. Si u est diagonalisable on vérifie que ∏_{λ∈spec(u)}(X − λ) est le polynôme minimal de u. Réciproquement on applique le théorème des noyaux à la factorisation de μ_{u} en produit de polynômes de degré 1 distincts. □

Corollaire 7.2.4 Si u est diagonalisable et si E′ ⊂ E est stable alors les endomorphismes induits par u sur E′ et E/E′ sont diagonalisables.

Démonstration. Exercice. □

Corollaire 7.2.5 Lorsque k est fini avec q éléments u est diagonalisable si et seulement si u^{q} = u.

Démonstration. Exercice. □

Corollaire 7.2.6 On suppose u diagonalisable d’espaces propres E_{1}, ⋯, E_{p} associés aux valeurs propres λ_{1}, ⋯, λ_{p}.

1. Un sous-espace F ⊂ E est stable par u si et seulement si F est de la forme F = F_{1} ⊕ ⋯ ⊕ F_{p} avec F_{i} ⊂ E_{i}.

2. Un endomorphisme v de E commute à u si et seulement si tous les E_{i} sont stables par v.

Démonstration. 1. Les sous-espaces F de cette forme sont évidemment ustables. Tout sous-espace F ⊂ E contient la somme directe F ∩E_{i}⊕⋯ F ∩E_{p}. Réciproquement si F est u-stable alors F est stable par tout endomorphisme de k[u] et donc par les projecteurs π_{i}: E ⟶ E_{i}. Tout x de F s’écrit donc x = ∑ π_{i}(x) avec π_{i}(x) ∈ F ∩ E_{i}.

2. On note C(u) l’algèbre (contenant k[u]) des endomorphismes de E qui commutent à u. On suppose que v ∈ C(u) et on prend x ∈ E_{i}. Alors u(v(x)) = v(u(x)) = v(λ_{i}x) = λ_{i}v(x), et donc v laisse E_{i} stable. Réciproquement si v laisse les E_{i} stable alors sa restriction aux E_{i} est un endomorphisme qui commute avec la restriction de u puisque cette dernière est l’homothétie de rapport λ_{i}. On obtient v(u(x)) = u(v(x)) pour tout x dans E_{i} et pour tout i puis v ∈ C(u). □

Remarque : On pose n_{i} = dim V_{i}. On déduit de 2 la décomposition

C(u) ≃ ∏_{i} End(V_{i}),

et donc

dim C(u) = ∑_{i} dim(End(V_{i})) = ∑_{i} n_{i}^{2} ≥ ∑_{i} n_{i} = n.

Corollaire 7.2.7 Soit F ⊂ End_{k}(E) un ensemble d’endomorphismes diagonalisables et commutant deux à deux. Alors il existe une base de E qui les diagonalise simultanément.

Démonstration. On peut supposer sans perte de généralité que les v ∈ F ne sont pas tous des homothéties (ces dernières sont diagonales dans toute base). On procède par récurrence sur n = dim E. Si n = 1 il n’y a rien à démontrer. On prend u ∈ F ayant (au moins) deux espaces propres distincts et on décompose suivant le spectre de λ :

E = ⨁_{λ∈Spec(u)} E_{λ}.

Puisque tous les v ∈ F commutent à u les E_{λ} sont v stables pour tout v ∈ F. Par récurrence on trouve une base de E_{λ} diagonalisant simultanément tous les v_{|E_{λ}} pour tous les v ∈ F et tous les λ ∈ Spec(u). En recollant ces bases on obtient une base de E qui diagonalise tous les v ∈ F. □

Définition 7.2.8 Soit λ ∈ Spec(u).

1. La multiplicité de λ comme racine de χ_{u}(X) s’appelle la \underline{multiplicité} \underline{algébrique} de λ.

2. La dimension n_{λ} = dim E_{λ} de l’espace propre associé à λ s’appelle la \underline{multiplicité géométrique} de λ.

3. Soit m_{λ} la multiplicité de λ comme racine de μ_{u}(X). On appelle \underline{espace} \underline{caractéristique} et on note E_{λ}^{c} le noyau E_{λ}^{c} = Ker((λ Id_{E} −u)^{m_{λ}}).

Proposition 7.2.9 On suppose χ_{u} scindé sur k (donc μ_{u} aussi).

1. E est somme directe des espaces caractéristiques associés à ses valeurs

propres.

E = ⨁_{λ∈Spec(u)} E_{λ}^{c}.

2. Pour tout λ ∈ spec(u) la dimension de l’espace caractéristique associé à λ est égal à la multiplicité algébrique de λ : dim E_{λ}^{c} = n_{λ}

Démonstration. L’affirmation 1. vient du théorème des noyaux appliqué au polynôme μ_{u}. Pour 2. soit d_{λ} = dim E_{λ}^{c}. Par le lemme 7.1.2 les sous-espaces caractéristiques associés à u sont stables et la restriction u_{λ} de u à E_{λ}^{c} est un endomorphisme. On a

∏_{λ∈Spec(u)}(X − λ)^{n_{λ}} = χ_{u}(X) = ∏_{λ∈Spec(u)} χ_{u_{λ}}(X).

Il suffit donc de voir que λ est la seule racine du polynôme (forcément scindé) χ_{u_{λ}}(X). Mais par définition de E_{λ}^{c} le polynôme minimal μ_{λ} de u_{λ} divise (X − λ)^{m_{λ}}. □

Forcément l’espace propre associé à λ est contenu dans l’espace caractéristique E_{λ}^{c}. On obtient donc le critère de diagonalisation portant sur χ_{u} :

Proposition 7.2.10 L’endomorphisme u est diagonalisable si et seulement si χ_{u} est scindé et pour tout λ ∈ Spec(u) les multiplicités algébrique et géométrique coïncident :

∀λ ∈ Spec(u) n_{λ} = dim E_{λ}.

Démonstration. Exercice. □

Exercice 7.1 Montrer que μ_{λ} = (X − λ)^{m_{λ}}.

Exercice 7.2 Montrer les deux inégalités 1 ≤ m_{λ} ≤ n_{λ}. Pour chacune donner des cas d’égalités et d’autres exemples d’inégalités strictes.

Exercice 7.3 Soit λ ∈ Spec(u). Montrer que pour tout n ∈ ℕ on a

Ker(u − λ Id_{E})^{m_{λ}+n} = Ker(u − λ Id_{E})^{m_{λ}}

et que m_{λ} est le minimum des entiers avec cette propriété (c’est la raison pour laquelle on prend la puissance m_{λ} dans le définition de l’espace caractéristique).

7.2.3 La version diagonalisable plus nilpotent de Dunford.

Théorème 7.2.11 (Dunford) On suppose χ_{u} scindé sur k. Il existe deux uniques endomorphismes de E noté δ et ν qui commutent avec δ diagonalisable, ν nilpotent et u = δ + ν. De plus δ (et donc ν) appartient à k[u].

Démonstration. On écrit Spec(u) = {λ_{1}, ⋯, λ_{p}}, on note m_{i} la multiplicité de λ_{i} comme racine de μ_{u} et on note E_{1}, ⋯, E_{p} les sous-espaces caractéristiques E_{i} = Ker(λ_{i} Id_{E} −u)^{m_{i}}. Par la proposition 7.2.9 on peut décomposer E = ⨁_{i=1}^{p} E_{i}. Chaque E_{i} est u-stable et donc les restrictions u_{i} de u à E_{i} sont des endomorphismes et u = u_{1} ⊕ ⋯ ⊕ u_{p}. On pose δ_{i} = λ_{i} Id_{E_{i}} et ν_{i} = u_{i} − d_{i}. Alors δ_{i} et ν_{i} commutent, δ_{i} et diagonalisable et ν_{i}^{m_{i}} = 0 par définition de E_{i}. On obtient l’existence de δ et ν en posant δ = δ_{i} ⊕ ⋯ δ_{p} et ν = u − δ = ν_{1} ⊕ ⋯ ⊕ ν_{p}.

Par la proposition 7.2.9 la projection π_{i}: E ⟶ E_{i} appartient à k[u] et il existe donc P_{i}(X) ∈ k[X] tel que P_{i}(u) = π_{i}. Il suit δ = ∑_{i=1}^{p} λ_{i}P_{i}(u) ∈ k[u] et ν = u − δ ∈ k[u]. Cela permet de montrer l’unicité. En effet soit δ′ et ν′ deux endomorphismes commutant tels que u = δ′ + ν′ et δ′ diagonalisable et ν′ nilpotent. Alors δ′ et ν′ commutent deux à deux, donc commutent avec u et donc aussi avec δ et ν qui sont polynomiaux en u, et on a δ − δ′ = ν′ − ν. Puisque δ et δ′ commutent ils sont simultanément diagonalisable et δ − δ′ aussi. Puisque ν et ν′ commutent et sont nilpotent leur différence ν′ − ν est nilpotente aussi. Ainsi δ − δ′ = ν′ − ν est à la fois diagonalisable et nilpotent, c’est-à-dire nul. □

7.3 La version semi-simple plus nilpotent de Dunford.

Dans ce paragraphe on suppose que le corps de base k est parfait. Concrètement cela veut dire soit que la caractéristique de k est nulle car(k) = 0 soit, si car(k) = p, que le Frobenius x ↦ x^{p} est surjectif sur k. Par exemple les corps algébriquement clos sont parfait, les corps finis sont parfait tandis que pour tout nombre premier p, le corps 𝔽_{p}(T) n’est pas parfait puisque T ∉ (𝔽_{p}(T))^{p}. Les extensions algébrique des corps parfait sont séparable, c’est-à-dire que les racines des polynômes irréductibles à coefficient dans k sont simples dans toute clôture algébrique de k. Cette hypothèse sert essentiellement à faciliter la description des endomorphismes semi-simple (on pourrait les appeler "potentiellement diagonalisable").

Définition 7.3.1 On dit qu’un endomorphisme u ∈ End_{k}(V) est \underline{semi-simple} lorsque tout sous-espace vectoriel u-stable F ⊂ E admet un supplémentaire stable.

Proposition 7.3.2 On suppose k parfait. Un endomorphisme u de E est semi-simple si et seulement si μ_{u} est sans facteur carré dans k[X], autrement dit si et seulement si μ_{u} n’a que des racines simples dans un clôture algébrique de k.

Démonstration. On suppose u semi-simple. On décompose μ_{u}(X) en produit de puissances d’irréductibles μ_{u} = ∏_{i=1}^{p} P_{i}^{α_{i}}(X), avec les P_{i}(X) irréductibles sur k[X] et deux à deux distincts. Il s’agit de montrer que pour tout i on a α_{i} = 1. Par le lemme des noyaux on peut décomposer E = E_{1} ⊕ ⋯ ⊕ E_{p} avec E_{i} = Ker(P_{i}^{α_{i}}(u)). L’espace Ker(P_{i}(u)) est stable, il admet donc un supplémentaire F dans E stable par u. Le sous-espace F_{i} = F ∩ E_{i} est alors un supplémentaire stable dans E_{i} de Ker(P_{i}(u)). Avec ces notations on a l’équivalence entre F_{i} = {0} et α_{i} = 1. On suppose, en vue d’une contradiction, qu’il existe x ≠ 0 dans F_{i}, en particulier x ∈ E_{i} et P_{i}(u)(x) ≠ 0. Alors le maximum l des entiers m tels que P_{i}^{m}(u)(x) ≠ 0 vérifie 1 ≤ l < α_{i}, et P_{i}(u)P_{i}^{l}(u)(x) = 0. Il suit P_{i}^{l}(u)(x) ∈ F ∩ Ker(P_{i}(u)) puisque ces deux espaces sont stables, et donc P_{i}^{l}(u)(x) = 0 ce qui contredit la définition de l.

Réciproquement, on suppose μ_{u}(X) sans facteurs carrés, et on le factorise en μ_{u}(X) = ∏_{i=1}^{p} P_{i}(X) avec les P_{i}(X) deux à deux distincts et irréductibles. Soit F un sous-espace u-stable. Par le lemme des noyaux on écrit E = E_{1} ⊕ ⋯ ⊕ E_{p} avec E_{i} = Ker(P_{i}(u)) et des projecteurs π_{i}: E ⟶ E_{i} polynomiaux en u. En particulier comme F est u-stable on a F = (F ∩E_{1})⊕⋯⊕(F ∩E_{p}) et il suffit de trouver, pour tout i, un supplémentaire u-stable dans E_{i} aux sous-espace u-stable F_{i} = E_{i} ∩ F, c’est-à-dire un supplémentaire u_{i}-stable si on note u_{i} = u_{|E_{i}}. Par construction, μ_{u_{i}} = P_{i}(X) est irréductible et donc l’algèbre A_{i} := k[u_{i}] ≡ k[X]/(P_{i}(X)) est un corps commutatif. Alors E_{i} est muni de la structure de A_{i}-espace vectoriel naturelle et les sous-A_{i}-espaces vectoriels de E_{i} sont exactement les sous-k-espaces u-stable de E_{i}. Comme A_{i} est un corps ses sous-espaces u-stables ont tous des supplémentaires u-stables.

□ Remarque : Avec cette caractérisation, on constate que les polynômes minimaux des endomorphismes semi-simples ont des racines simples dans une clôture algébrique \overline{k} de k. Cela signifie que leurs matrices associées a priori non diagonalisable dans M_{n}(k) deviennent diagonalisable dans M_{n}(\overline{k}).

Exercice 7.4 On suppose u diagonalisable. Montrer que tout sous-espace F admet un supplémentaire u-stable.

Théorème 7.3.3 (Dunford) On suppose k parfait et \underline{u quelconque}. Il existe deux uniques endomorphismes de E noté σ et ν qui commutent avec σ semisimple, ν nilpotent et u = σ + ν. De plus σ (et donc ν) appartient à k[u], et si χ_{u} est scindé alors σ = δ est diagonalisable.

Démonstration. Soit χ_{u}(X) le polynôme caractéristique de u. Soit P (X) le produit avec multiplicité 1 de tous les facteurs irréductibles de χ_{u}. Alors un endomorphisme annulé par P (X) sera semi-simple. On va chercher, dans k[u] une solution ρ(u) (avec ρ ∈ k[X]) de l’équation P (ρ(u)) = 0 telle que u − ρ(u) soit nilpotent. Alors σ = ρ(u) et ν = u − ρ(u) conviendront et seront des éléments de k[u]. La preuve de l’unicité est alors exactement la même que dans la version δ + ν du théorème (le seul endomorphisme semisimple et nilpotent est l’endomorphisme nul). On va procéder de façon complètement explicite en utilisant une variante polynômiale de la méthode de Newton d’approximation en analyse archimédienne des zéros des fonctions analytiques. Puisque P est sans facteur carré et que k est parfait le pgcd unitaire pgcd(P (X), P′(X)) est égal à 1, et on dispose d’une équation de Bezout 1 = A(X)P (X) + B(X)P′(X). On définit par récurrence

\begin{aligned}ρ_{0}(X) & = X \\ ρ_{n+1}(X) & = ρ_{n}(X) − B(ρ_{n}(X))P (ρ_{n}(X)) \end{aligned}

Lemme 7.3.4 (Newton P -adique) Soit t un entier tel que P^{t}(X) divise P (ρ_{m}(X)) alors P^{2t}(X) divise P (ρ_{m}(X)).

Démonstration. On utilise un développement limité (à l’ordre 1) de P (X) en X et on obtient

P (X + Y) = P (X) + Y P′(X) + Y^{2} ⋯

Pour X = ρ_{n}(X) et Y = −B(ρ_{n}(X))P (ρ_{n}(X)) on obtient

P (ρ_{n+1}(X)) = P (ρ_{n}(X))(1 − B(ρ_{n}(X))P′(ρ_{n}(X)) + P (ρ_{n}(X)) ⋯)

Mais par construction P (X) divise 1 − B(X)P′(X) et donc (P (ρ_{n}(X)))^{2} divise P (ρ_{n+1}(X)). □ Par récurrence et puisque P (X) = P (ρ_{0}(X)) se divise lui-même on montre que P^{2^{m}}(X) divise P (ρ_{m}(X)). Ainsi on démontre :

1. P (X) divise ρ_{m+1}(X) − ρ_{m}(X) pour tout m donc divise X − ρ_{m}(X) pour tout m.

2. Pour 2^{t} ≥ n = dim(E) on a la suite de divisibilité dans k[X] :

μ_{u}(X) | χ_{u}(X) | P^{2^{t}}(X) | P (ρ_{t}(X)).

Autrement dit dans l’algèbre k[u] ≅ k[X]/μ_{u}(X) où \overline{P} (X) est nilpotent on a :

1. Pour tout m, u − ρ_{m}(u) est nilpotent.

2. Pour 2^{t} ≥ n = dim(E), l’endomorphisme P (ρ_{t}(u)) est nul. Cela donne donc l’existence dans k[u] des endomorphismes σ = ρ_{t}(u) et ν = u − σ du théorème. Lorsque simultanément k est parfait et χ_{u} est scindé on dispose des deux décomposition u = δ + ν = σ + ν′, mais δ est diagonalisable donc semi-simple et l’unicité dans la deuxième version conduit à δ = σ et ν = ν′. □

Remarque : Lorsque χ_{u} est scindé et même si k n’est pas parfait, la preuve ci-dessus fonctionne parfaitement. Cette seconde approche est à la fois plus générale et aussi fournit une méthode complète explicite pour trouver δ ∈ k[u] en fonction de u, sous réserve qu’on connaisse le polynôme P (produit des irréductibles divisant χ_{u} ou, c’est la même chose, divisant μ_{u}).

Je détaille les étapes principale de ce calcul. On suppose u donné par sa matrice M dans la base canonique de E.

1. On calcule χ_{M}(X) (éventuellement par une triangulation de Gauß pour optimiser le temps de calcul).

2. Si χ′_{M}(X) ≠ 0 (par exemple pour car(k) = 0) alors on calcule le pgcd unitaire (χ_{M}(X), χ′_{M}(X)) par l’algorithme d’Euclide sur les polynômes et on a

P (X) = χ_{M}(X)/(χ_{M}(X), χ′_{M}(X)).

Lorsque χ′_{M}(X) ≠ 0 le calcul explicite de P (X) peut se révéler un problème plus difficile que la réduction explicite de Dunford de M.

3. On calcule (algorithme d’Euclide) une équation de Bezout

1 = A(X)P (X) + B(X)P′(X).

4. On calcule dans k[M] la suite récurrente M_{0} = M et

M_{n+1} = M_{n} − B(M_{n})P (M_{n}).

On s’arrête dès que cette suite est stationnaire c’est-à-dire P (M_{n}) = 0. On sait a priori qu’on devra effectuer au plus t itération pour 2^{t} ≥ n.

7.4 Réduction de Jordan.

Définition 7.4.1 On appelle \underline{bloc de Jordan} de taille s associé à la valeur propre λ la matrice J_{s}(λ) = [a_{i,j}] ∈ M_{s}(k) telle que a_{i,j} = λδ_{i,j} + δ_{i+1,j}.

Concrètement ce sont des matrices triangulaires supérieures avec λ sur la diagonale, 1 sur la "sur-diagonale" et 0 partout ailleurs. Par exemple :

J_{1}(λ) = [λ] J_{2}(λ) = [ \begin{matrix}λ & 1 \\ 0 & λ \end{matrix} ] J_{3}(λ) = [ \begin{matrix}λ & 1 & 0 \\ 0 & λ & 1 \\ 0 & 0 & λ \end{matrix} ] ⋯

Clairement J_{s}(λ) − λI_{s} est nilpotente d’ordre exactement s, en particulier :

μ_{J_{s}(λ)} = χ_{J_{s}(λ)} = (X − λ)^{s}.

Décomposer (lorsque c’est possible) un endomorphisme u en bloc de Jordan c’est trouver une base ε de E dans laquelle Mat_{ε}(u) soit "diagonale par bloc", chaque bloc diagonaux égaux à un J_{s_{i}}(λ_{i}). Une telle matrice est alors triangulaire supérieure et toutes les valeurs propres λ_{i} présentes sur la diagonale doivent appartenir à k. Autrement pour que u admette une décomposition de Jordan sur k il est nécessaire que χ_{u} soit scindé. On va voir que cette condition est aussi suffisante, mais en attendant il y a un cas particulier où il est très facile de scinder χ_{u}.

7.4.1 Réduction des endomorphismes nilpotents.

Un endomorphisme nilpotent vérifie u^{t} = 0 pour un t entier. En particulier μ_{u} | X^{t} et donc χ_{u} = X^{n} puis μ_{u} | X^{n}. On va étudier une façon très visuelle de trouver et décrire une décomposition de Jordan d’un tel endomorphisme u. Cette technique peut être rendue complètement explicite et conduire à une méthode de calcul comme en section précédente (on dit "algorithme") mais quelques-uns des détails seront laissés aux lecteurs.

Lemme 7.4.2 Pour tout entier t ≥ 1, l’endomorphisme u définit par factorisation un morphisme injectif

\overline{u}: \frac{Ker u^{t+1}}{Ker u^{t}} ↪ \frac{Ker u^{t}}{Ker u^{t−1}} .

En particulier pour le rang t_{u} tel que μ_{u} = X^{t_{u}} :

0 = dim(Ker u^{t_{u}+1}/ Ker u^{t_{u}}) ≤ dim(Ker u^{t_{u}}/ Ker u^{t_{u}−1}) ≤ ⋯ ≤ dim(Ker u).

Démonstration. En partant de l’inclusion évidente u(Ker u^{t+1}) ⊂ Ker u^{t} on obtient un morphisme φ: Ker u^{t+1} ⟶^{u} Ker u^{t} ↠ Ker u^{t}/ Ker u^{t−1}. Bien sur Ker φ = u^{−1}(Ker u^{t−1}) = Ker u^{t}, et \overline{u} est une application injective par factorisation. □

En appliquant successivement le théorème du rang on trouve aussi :

n = dim(Ker u^{t_{u}}) = dim(Ker u^{t_{u}}/ Ker u^{t_{u}−1}) + dim(Ker u^{t_{u}−1})

= ⋯

= ∑_{t=1}^{t_{u}} dim(Ker u^{t}/ Ker u^{t−1})

On appelle tableau de Young associé à l’endomorphisme nilpotent u un tableau (à case vide) avec dim(Ker u^{t}/ Ker u^{t−1}) cases dans la t-ième colonne. Dans un tel tableau le nombre de lignes diminue quand on passe d’une colonne à sa voisine de droite, et le nombre total de cases est n = dim E. Par exemple voici le tableau de Young (en dimension 9) associé à un endomorphisme u tel que dim(Ker u) = 4, dim(Ker u^{2}) = 7 et Ker u^{3} = E de dimension 9.

Pour décomposer en blocs de Jordan cet endomorphisme on va remplir les cases du tableau de Young colonnes par colonnes mais en commençant par la droite. On choisit une base \overline{x}_{1}, \overline{x}_{2} de Ker u^{3}/ Ker u^{2} (de dimension 2) que l’on relève en x_{1}, x_{2} dans E. On remplit la dernière colonne du tableau.

\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}

Par le lemme 7.4.2 le système \overline{u(x_{1})}, \overline{u(x_{2})} est encore libre dans Ker u^{2}/ Ker u et on peut choisir \overline{x}_{3} dans Ker u^{2}/ Ker u tel que \overline{u(x_{1})}, \overline{u(x_{2})}, \overline{x}_{3} soit une base de Ker u^{2}/ Ker u. On relève \overline{x}_{3} en x_{3} ∈ Ker u^{2} ⊂ E et on remplit l’avant dernière colonne :

\begin{matrix}u(x_{1}) & x_{1} \\ u(x_{2}) & x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}

On finit en complétant le système libre u^{2}(x_{1}), u^{2}(x_{2}), u(x_{3}) par un vecteur x_{4} pour avoir une base de Ker u et on obtient :

u^{2}(x_{1}) u(x_{1}) x_{1}
u^{2}(x_{2}) u(x_{2}) x_{2}
u(x_{3}) x_{3}
x_{4}

Évidemment ce processus qui se comprend parfaitement sur cet exemple est complètement général, le seul argument utilisé est l’injectivité de

\overline{u}: \frac{Ker u^{t+1}}{Ker u^{t}} ↪ \frac{Ker u^{t}}{Ker u^{t−1}} ,

qui permet en appliquant u à une base de Ker u^{t+1}/ Ker u^{t} d’obtenir un système libre de Ker u^{t}/Ker u^{t−1}, qui se complète en une base etc…Pour terminer il faut lire le tableau de Young ligne par ligne de gauche à droite (normalement quoi) et on obtient la base ε de E qui suit

u^{2}(x_{1}), u(x_{1}), x_{1}, u^{2}(x_{2}), u(x_{2}), x_{2}, u(x_{3}), x_{3}, x_{4}.

Et voici la matrice de u dans cette base :

\begin{aligned}Mat_{ε}(u) & = [ \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ] \begin{matrix}u^{2}(x_{1}) \\ u(x_{1}) \\ x_{1} \\ u^{2}(x_{2}) \\ u(x_{2}) \\ x_{2} \\ u(x_{3}) \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} \\ & = [ \begin{matrix}J_{3}(0) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & J_{3}(0) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & J_{2}(0) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & J_{1}(0) \end{matrix} ] \end{aligned}

De façon générale il y aura autant de "blocs" de Jordan que de lignes dans la première colonne et chaque bloc aura la taille correspondant au nombre de cases dans sa ligne. Cela démontre l’existence d’une décomposition de Jordan pour les matrices nilpotentes et donne une ébauche d’algorithme de calcul. Pour avoir l’algorithme complet il faudrait décrire un processus de complétion en une base de tout système libre des espaces quotients Ker u^{t}/ Ker u^{t−1}. Cela est parfaitement élémentaire et peut se traiter comme toujours par du pivot de Gauß. On a démontré la partie existence d’une décomposition de Jordan dans la proposition ci-dessous :

Proposition 7.4.3 Tout endomorphisme nilpotent admet une décomposition de Jordan. Deux matrices nilpotentes sont semblables si et seulement si leur décomposition de Jordan est la même (à permutation des blocs près).

Démonstration. Deux matrices nilpotentes semblables représentent le même endomorphisme u dans des bases éventuellement différentes. Mais alors on a vu dans la partie existence que le nombre et la taille des blocs de Jordan déterminent et sont uniquement définis par la suite des dimensions dim(Ker(u^{t})/ Ker(u^{t−1})) qui elle-même ne dépend que de u. □

7.4.2 Réduction de Jordan.

Théorème 7.4.4 (Décomposition de Jordan) On suppose χ_{u} scindé sur k et on écrit Spec(u) = {λ_{1}, ⋯, λ_{p}}. Alors il existe une base ε de E dans laquelle Mat_{ε}(u) soit diagonale par blocs le i-ième bloc étant un bloc de Jordan J_{s_{i}}(λ_{t_{i}}) avec 1 ≤ i ≤ q pour un entier q ≥ p et 1 ≤ t_{i} ≤ p.

Démonstration. On commence par décomposer E en sous-espaces caractéristiques E = E_{1} ⊕ ⋯ ⊕ E_{p}. Comme les E_{i} sont stables pour u lorsqu’on recolle des bases de tous les E_{i} en une base de E, la matrice de u relative à cette base est diagonale par bloc, chaque bloc étant la matrice de la restriction u_{i} = u_{|E_{i}}. Il suffit donc de trouver une décomposition de Jordan de tous les u_{i} c’est-à-dire qu’on se ramène au cas Spec(u) = {λ}. Dans ce cas on a χ_{u}(X) = (X − λ)^{n} et en particulier l’endomorphisme v = u − λI_{E} est nilpotent. Par la proposition 7.4.3 l’endomorphisme v admet une décomposition de Jordan et sa matrice dans une base convenable est diagonale par blocs avec q blocs de Jordan du type J_{s_{1}}(0), ⋯, J_{s_{q}}(0) pour une suite d’entiers décroissante s_{1} ≥ s_{2} ≥ ⋯ ≥ s_{q} ≥ 1 et ∑ s_{i} = n. En conséquence dans cette même base la matrice de u = v + λ Id_{E} est diagonale par blocs les blocs diagonaux étant J_{s_{1}}(λ), ⋯, J_{s_{q}}(λ). □

Remarques : Une matrice diagonale est déjà sous forme de Jordan. Réciproquement le polynôme minimal de J_{s}(λ) est (X − λ)^{s}. En particulier un endomorphisme u tel que χ_{u} soit scindé est diagonalisable si et seulement si sa réduction de Jordan n’admet que des blocs de taille 1 c’est-à-dire est déjà diagonale. En fait les blocs de Jordan (à permutation près) fournissent une système complet d’invariant des classes de similitudes des matrices.

Proposition 7.4.5 Soit A et B des matrices de M_{n}(k) telle que χ_{A} et χ_{B} soient scindés sur k. Alors A et B sont semblables si et seulement si elles ont même décomposition de Jordan (à permutation des blocs près).

il y a un sens évident : si deux matrices ont même décomposition de Jordan, elles sont semblables. Réciproquement si A et B sont semblable soit u l’endomorphisme de k^{n} représenté par A et B dans des bases distinctes. Alors la dimension des espaces caractéristiques de u détermine la somme des tailles des blocs de Jordan associé à chaque valeur propre de A, et cette taille est la même pour B. Ainsi on peut supposer que A et B sont semblables et ont une seule valeur propre (alors commune) et égale à λ. Mais dans ce cas A − λI_{n} et B − λI_{n} sont semblables et nilpotentes : elles ont même réduction de Jordan. □

Remarque : Dans la construction de la proposition 7.4.3 les blocs de Jordan arrivent naturellement ordonné par taille décroissante (le nombre de cases par ligne décroît dans un tableau de Young). Dans tout ce qui précède les parenthèses (à permutation des blocs près) pourraient être supprimée si on se fixe un ordre sur le spectre commun aux matrices semblables. En conclusion la suite des tailles des blocs de Jordan donne un système complet d’invariant des classes de similitudes des matrices à coefficient dans un corps k qui scinde tous les polynômes caractéristiques c’est-à-dire algébriquement clos et la matrice réduite de Jordan (convenablement ordonnée) donne un représentant canonique de chaque classe de similitude. C’est ce même problème que la réduction de Frobenius résout mais sur un corps quelconque.

7.5 Réduction de Frobenius.

Définition 7.5.1 Soit P = X^{n} + a_{n−1}X^{n−1} + ⋯ + a_{0} un polynôme de k[X]. On note C(P) et on appelle \underline{matrice compagnon} de P (X) la matrice C(P) = [c_{i,j}] ∈ M_{n}(k) avec c_{i,j} = δ_{i+1,j} pour j < n et c_{i,n} = −a_{i−1}.

Autrement dit on a

C(P) = [ \begin{matrix}0 & 0 & ⋯ & & −a_{0} \\ 1 & 0 & & & −a_{1} \\ 0 & 1 & ... & & ⋮ \\ & & ... & 0 & −a_{n−2} \\ 0 & ⋯ & 0 & 1 & −a_{n−1} \end{matrix} ] .

L’espace vectoriel E = k[X]/(P) peut être muni de sa base "canonique" ¯1, X̄, ⋯, \overline{X}^{n−1}. Alors l’application \overline{X}: \overline{Q(X)} ↦ \overline{XQ(X)} est un endomorphisme de E et puisque modulo P on a XX^{n−1} ≡ X^{n} ≡ − ∑_{i=0}^{n−1} a_{i}X^{i} la matrice de cette application dans la base canonique est C(P). C’est pour cette raison que la matrice C(P) est associée à P. D’un point de vue plus élémentaire, on a aussi le lemme :

Lemme 7.5.2 P est le polynôme minimal de C(P) et donc aussi son polynôme caractéristique.

Démonstration. On note ε_{1}, ⋯, ε_{n} la base canonique de E = k^{n} et u = u_{P} l’endomorphisme de E représenté par C(P). alors pour i ≤ n − 1 on a u(ε_{i}) = ε_{i+1} et donc le système ε_{1}, u(ε_{1}), ⋯, u(ε_{n−1}) est libre (c’est même la base canonique de E). Le degré de μ_{C(P)} est donc n et on a déjà μ_{C(P)} = χ_{C(P)}. Il reste donc à voir que P (u) = 0. Sur la matrice C(P) on constate immédiatement :

1. Pour i ≤ n − 1 on a u^{i}(ε_{1}) = ε_{i+1}

2. u^{n}(ε_{1}) = u(u^{n−1}(ε_{1})) = u(ε_{n}) = − ∑_{i=0}^{n−1} a_{i}ε_{i+1} Il suit donc P (u)(ε_{1}) = 0, puis pour tout i avec 2 ≤ i ≤ n comme u commute à P (u) on en tire P (u)(ε_{i}) = P (u)(u^{i−1}(ε_{1})) = u^{i−1}P (u)(ε_{1}) = 0. □ Pour des raisons évidentes en termes de k[u]-module on dit que E est \underline{cyclique} lorsqu’il existe e ∈ E tel que e, u(e), ⋯, u^{n−1}(e) engendre E sur k (cela revient à dire que e engendre E sur k[u]). L’exemple canonique (i.e. à isomorphisme près le seul) d’espace cyclique est k[X]/(P (X)) muni de l’endomorphisme \overline{X}. Le théorème qui suit est une conséquence immédiate de la classification des modules de torsion sur les anneaux euclidiens, mais on va le démontrer autrement.

Théorème 7.5.3 (Frobenius) Soit M une matrice de M_{n}(k). Alors il existe une unique suite de polynômes unitaires P_{1} | P_{2} | ⋯ P_{t} telle que M soit semblable à une matrice diagonale par blocs chaque bloc étant C(P_{i}). Deux matrices sont semblables si et seulement les suites de polynômes qui leurs sont associées coïncident. Pour cette raison on appelle P_{1}, ⋯, P_{k} les \underline{invariants de} \underline{similitude} de M.

Automatiquement on a alors μ_{M} = P_{t} et χ_{M} = ∏_{i} P_{i}, et ce théorème contient Cayley-Hamilton. En cours j’indiquerai oralement comment ce théorème se déduit de la classification et comment l’algorithme de Smith appliqué à la matrice caractéristique XI_{n} − M donne une méthode de calcul complète et efficace de la suite des P_{i}(X). À mon goût ceci est le seul bon point de vue. Cependant, si les étudiants ne maîtrisent pas assez bien la théorie des modules sur les anneaux principaux ou euclidiens ils doivent disposer d’une approche plus élémentaire. C’est cette approche pénible et fastidieuse que j’ai extrait (et compilé) des livres de Fresnel et Goblot et que je vais suivre jusqu’à la fin de ce polycopié.

La démonstration du théorème 7.5.3 occupe la suite et la fin de cette section et se subdivise en existence et unicité.

7.5.1 Partie existence du théorème 7.5.3.

L’existence dans 7.5.3 se déduit de la proposition (voir théorème V.5 p.112 du Goblot) :

Proposition 7.5.4 Il existe une unique suite de polynômes unitaires (les derniers éventuellement égaux à 1) D_{1}, ⋯, D_{n} avec D_{n} | D_{n−1} | ⋯ | D_{1} tels que E se décompose en somme directe de sous-espaces stables cycliques E = E_{1} ⊕ ⋯ ⊕ E_{n} avec si l’on note u_{i} la restriction de u à E_{i} l’égalité μ_{u_{i}} = D_{i}.

Soit u l’endomorphisme de k^{n} représenté dans la base canonique par M. On commence par un lemme :

Lemme 7.5.5 Il existe un sous-espace F stable pour u, cyclique pour la restriction u′ = u_{|F} et tel que μ_{u} = μ_{u′} Démonstration. C’est le lemme 3.1.8 p.119 de l’"algèbre des matrice" de Fresnel, mais je préfère la preuve p.105 du Goblot. On suppose pour commencer que μ_{u} = P^{m} est puissance d’un seul irréductible. Il existe donc x ∈ E avec P^{m−1}(x) ≠ 0. Alors le sous-espace u-stable engendré par x (l’espace vectoriel engendré par les u^{i}(x)) convient. Lorsque μ_{u}(X) = ∏_{i=1}^{t} P_{i}^{e_{i}}(X) pour des P_{i} irréductibles deux à deux distincts on utilise le lemme des noyaux pour décomposer E = E_{1} ⊕ ⋯ ⊕ E_{t} avec E_{i} = Ker(P_{i}(u)) et aussi μ_{u_{|E_{i}}} = P_{i}^{m_{i}}, et on prend dans chaque E_{i} un x_{i} tel que P_{i}^{m_{i}−1}(u)(x_{i}) ≠ 0. Alors le sous-espace stable engendré par ∑_{i} x_{i} convient. □

Pour démontrer la proposition 7.5.4 on procède par récurrence sur n = dim E. On prend E_{1} = F où F est le sous-espace stable fournit par le lemme 7.5.5 et on note e_{1} ∈ E_{1} un vecteur tel que les u^{i}(e_{1}) engendrent E_{1}. Si F admet un supplémentaire stable W alors on aura μ_{u_{|W}} | μ_{u} = D_{1} et on peut conclure par récurrence puisque dim W < n. En outre on sait, parce que le théorème 7.5.3 est démontrée par la classification des modules qu’un tel supplémentaire stable existe. Tout le problème dans cette approche élémentaire et de décrire à la main un tel supplémentaire stable W !

On considère l’endomorphisme u′ induit par u sur E′ = E/F et μ_{u′} | μ_{u} = D_{1}. Par récurrence on peut décomposer E′ = E′_{2} ⊕ ⋯ ⊕ E′_{n} avec des E′_{i} cycliques et sur-lesquels l’endomorphisme u′_{i} induit par u′ admet pour polynôme minimal D′_{i} avec D′_{n} | ⋯ | D′_{2} = μ_{u′} | D_{1}. Soient \overline{e}_{i} des générateurs des espaces cycliques E′_{i} et soient x_{i} ∈ E des relevés des \overline{e}_{i}. La relation D′_{i}(u)(\overline{e}_{i}) = 0 donne D′_{i}(u)(x_{i}) ∈ k[u](e_{1}) et l’existence de S_{i}(X) tel que D′_{i}(u)(x_{i}) = S_{i}(u)(e_{1}). Puisque D′_{i} | μ_{u} on a un polynôme N_{i} tel que μ_{u} = N_{i}D′_{i} et il suit 0 = μ_{u}(u)(x_{i}) = N_{i}D′_{i}(u)(x_{i}) = N_{i}(u) ∘ S_{i}(u)(e_{1}) et puisque μ_{u} = D_{1} est le polynôme minimal de la restriction de u au sousespace stable engendré par e_{1} on en tire μ_{u} = N_{i}D′_{i} | N_{i}S_{i}, soit D′_{i} | S_{i}. On pose U_{i} pour le polynôme U_{i} = S_{i}/D′_{i} et e_{i} = x_{i} − U_{i}(u)(e_{1}). Notons μ_{e_{i}} pour le polynôme minimal de l’endomorphisme induit par u sur le sousespace stable engendré par e_{i}. Dans E/F le vecteur e_{i} s’envoie sur \overline{e}_{i} et donc D′_{i} | μ_{e_{i}}. Réciproquement on vérifie sur la définition de e_{i} que D′_{i}(u)(e_{i}) = 0, d’où l’égalité μ_{e_{i}} = D′_{i}. On note E_{i} le sous-espace stable engendré par e_{i}. Par construction la restriction de la projection canonique E ⟶ E/F est surjective depuis E_{2} + ⋯ + E_{n} ⟶ E′_{2} ⊕ ⋯ ⊕ E′_{n}, et comme dim(E_{i}) est majorée par le degré de μ_{e_{i}} = D′_{i} cette surjection est forcément un isomorphisme. On conclut en prenant E_{1} = F. □

7.5.2 Partie unicité du théorème 7.5.3.

On part de la décomposition E = E_{1} ⊕ ⋯ ⊕ E_{n} en sous-espaces E_{i} qui soient u-stables cyclique donnée par la proposition 7.5.4. On note u_{i} les endomorphismes de E_{i} induits par i et D_{i} la suite de polynômes avec D_{n} | ⋯ | D_{2} | D_{1} = μ_{u}. Il s’agit de vérifier que cette suite D_{1}, ⋯, D_{n} est intrinsèque à la paire (E, u) et ne dépend pas du choix de la décomposition E = E_{1} ⊕ ⋯ ⊕ E_{n}. On a déja D_{1} = μ_{u}. On écrit une factorisation μ_{u} = ∏_{i=1}^{t} P_{i}^{m_{i}} avec des P_{i} irréductibles deux à deux distincts. On procède par récurrence sur le nombre ∑_{i} m_{i} de facteurs irréductibles de μ_{u} (avec multiplicité). Si μ_{u} = P_{1} est irréductible alors tous les D_{i} valent soit 1 soit μ_{u} et il existe p tel que D_{i} = μ_{u} pour i ≤ p et D_{i} = 1 pour i > p. Mais alors on a dim(E_{i}) = deg(μ_{u}) pour i ≤ p et E_{i} = 0 pour i > p, et donc p = n/ deg(μ_{u}) ne dépend que de E et u. Cela initialise la récurrence.

On montre l’hérédité. Soit P un facteur irréductible de μ_{u} et soit E′ = Im P (u) et u′ l’endomorphisme de E′ induit par u. Une seconde de réflexion montre que μ_{u′} = μ_{u}/P. Pour tout i l’espace E′_{i} = P (u)(E_{i}) est cyclique avec un polynôme minimal noté D′_{i}. On obtient la décomposition E′ = E′_{1} ⊕ ⋯ E′_{n}. Soit p l’indice tel que P | D_{p} et P ∤ D_{p+1}. Par Bezout pour i ≥ p + 1 l’endomorphisme P (u) est inversible sur E_{i} et on a alors E′_{i} = E_{i} avec polynôme minimal D_{i}. Tandis que pour i ≤ p alors P | D_{i} et les espaces E_{i}/E′_{i} et E′_{i} sont cycliques de polynômes minimaux P et D_{i}/P. Ainsi la suite de polynômes D′_{i} satisfait les conditions de divisibilité pour l’espace E′. Par récurrence cette suite est intrinsèque au couple (E′, u′) qui lui ne dépend que de (E, u) et P, mais pas des E_{i}. En ce qui concerne les D_{i} eux-mêmes on a D_{i} = P D′_{i} pour i ≤ p et D_{i} = D′_{i} pour i > p : il reste seulement à vérifier que l’entier p lui-même est intrinsèque. Mais on a

n = dim E = ∑_{i} deg(D_{i}) = ∑_{i≤p}(deg(D′_{i}) + deg(P)) + ∑_{i>p} deg(D′_{i}) = p deg(P) + dim E′.

□