SUR LA STRUCTURE GALOISIENNE

DES UNITÉS CIRCULAIRES

DANS LES

ℤ_{p}-EXTENSIONS

Jean-Robert Belliard

département de mathématiques pures Université de Bordeaux I 351 Cours de la Libération 33405 Talence, France

Résumé : Le but de cet article est de décrire le comportement galoisien des unités circulaires dans la ℤ_{p}-extension K_{∞} = ∪_{n}K_{n} d’un corps abélien réel K = K_{0}. Pour ce faire on introduit un sous-module de K_{n}^{×} qui est très proche de l’intersection des images des normes relatives (dans K_{∞}), appliquées à ces unités.

Sous des hypothèses assez faibles, on décrit la structure locale (éventuellement globale) de ce module, qui se révèle être la plus simple possible (compte-tenu de son caractère). On en déduit, par exemple, la cohomologie des unités circulaires. On construit également des exemples explicites de corps pour lesquels ni la cohomologie des unités circulaires, ni la structure de notre sous-module, ne sont aussi simples.

Introduction

L’objet de cet article est l’étude de la structure galoisienne relative des unités circulaires dans les ℤ_{p}-extensions de corps abéliens sur ℚ. Plus précisément, on définit un module D_{n} ( ), et on décrit sa structure locale ou globale comme une somme directe d’un module libre et du quotient d’un module libre par ses invariants (voir 3.4). Pour mieux appréhender les notions d’unités cyclotomiques, on peut regarder l’exemple suivant, le plus simple connu. Soit p un nombre premier fixé, on note q = p si p ≠ 2 et q = 4 sinon. on notera ζ_{n} la racine de l’unité:

ζ_{n} = exp (\frac{2iπ}{n} )

Soit M_{n} = ℚ(ζ_{qp^{n}} + ζ_{qp^{n}}^{−1}) et Γ_{n} = Gal(M_{n}/ℚ) et soit γ_{n} ∈ ℤ une racine primitive modulo qp^{n}. Soit ξ_{n} l’unité réelle suivante :

ξ_{n} = \sqrt{\frac{(1 − ζ_{qp^{n}}^{γ_{n}})(1 − ζ_{qp^{n}}^{−γ_{n}})}{(1 − ζ_{qp^{n}})(1 − ζ_{qp^{n}}^{−1})}} = \sqrt{ζ_{qp^{n}}^{(1−γ_{n})}} \frac{(1 − ζ_{qp^{n}}^{γ_{n}})}{(1 − ζ_{qp^{n}})}

Il est bien connu que le module galoisien engendré par ξ_{n} est isomorphe à l’idéal d’augmentation, et que l’indice de {±1} × ξ_{n}^{ℤ[Γ_{n}]} est égal au nombre de classe de M_{n} (voir [16]). Ce module s’appelle le module des unités cyclotomiques de M_{n}.

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On trouve dans la littérature de nombreuses propositions pour un module qui généraliserait {±1} × ξ_{n}^{ℤ[Γ_{n}]} à un corps abélien K. Actuellement le consensus semble être fait sur le module des unités circulaires C_{S}(K) défini dans [13]. Sinnott donne des générateurs explicites et calcule l’indice de ces unités, mais n’étudie pas leur structure galoisienne. Lorsque K n’est plus un sous-corps de M_{n} et que son degré sur ℚ n’est pas premier, on ne peut espérer que ce module galoisien soit isomorphe à l’idéal d’augmentation. En général, il n’est pas non plus monogène. On ne savait pratiquement rien sur sa structure galoisienne lorsque le conducteur de K est divisible par plus de deux nombres premiers.

Soit K un corps de nombres abélien réel, soit K_{∞} = ∪K_{n} la ℤ_{p}-extension cyclotomique de K = K_{0}. On suppose que p ne se ramifie pas dans K. Pour m ≥ n ≥ 0, on note G_{n}^{m} le groupe Gal(K_{m}/K_{n}) et N_{n}^{m} la norme de K_{m} à K_{n}. La question précise étudiée ici a été motivée par l’article [8], où Greither étudie d’un point de vue général les “normes universelles dans une ℤ_{p}-extension” d’un foncteur en ℤ_{p}-modules partant de la catégorie des corps de nombres. Sous des hypothèses assez peu contraignantes, il montre que le module de ces normes universelles est libre par rapport à l’action des groupes de Galois relatifs de cette ℤ_{p}-extension. Ces résultats laissent espérer une G_{0}^{n}- structure locale assez simple pour les modules ∩_{m≥n}N_{n}^{m}(C_{S}(K_{m})). Notamment, sous la conjecture de Greenberg les résultats de [8] montrent que le module ker N_{0}^{n} ∩ (∩_{m≥n≥0}N_{n}^{m}(C_{S}(K_{m}) ⊗ ℤ_{p})) est libre sur l’anneau ℤ_{p}[G_{0}^{n}]/N_{0}^{n} .

L’approche utilisée ici se différencie de celle de [8] par son côté effectif et élémentaire. Cela permet d’obtenir des résultats globaux mais impose une certaine perte en généralité. Dans le premier chapitre on définit un sous-module global D_{n}(K) des p-unités de K_{n} ne contenant que des normes universelles et dont l’intersection avec les unités de K_{n} contient “l’essentiel” des normes universelles de C_{S}(K_{n}) (voir proposition 1.6). Le résultat principal de cet article (théorème 3.4) est la description effective de la G_{0}^{n}-structure locale (éventuellement globale) de D_{n} (K). Ce résultat est démontré sous des hypothèses fréquemment vérifiées par K ou p. Par exemple l’hypothèse locale est satisfaite lorsque p est impair et K est le sous-corps réel maximal d’un corps cyclotomique. Dans le chapitre II, on construit une présentation galoisienne de D_{n}(K) (théorème 2.6). Cette présentation s’obtient à l’aide de relations de normes à la Bass, et constitue l’ingrédient principal de la preuve de 3.4. La littérature contient de nombreuses présentations similaires pour les unités cyclotomiques. Par exemple dans l’article [1] (avec une légère erreur corrigée dans [4]), Bass donne une présentation multiplicative des unités cyclotomiques. Puis Solomon a construit dans [15] une présentation galoisienne s’appliquant à de nombreux sous-modules d’indices finis de C_{S}(K) (dont C_{S}(K) lui-même pour K/ℚ cyclique). Mais celles-ci ne s’appliquent pas à D_{n}(K) et ne semblent pas se simplifier aussi fréquemment que celle du théorème 2.6. Les preuves de 3.4 et 2.6 sont complètement explicites et peuvent par exemple conduire à un algorithme de recherche d’une ℤ[G_{0}^{n}]-base de D_{n}(K) lorsque ce dernier est libre. En application, lorsque la deuxième conclusion de 3.4 a lieu, on calcule la G_{n}^{m}-cohomologie de C_{S}(K_{m}) (pour m > n ≥ 0) et on vérifie l’égalité : C_{S}(K_{m}) ∩ K_{n} = C_{S}(K_{n}) (la “descente galoisienne” pour C_{S}(K_{n}) entre deux étages de la ℤ_{p}-tour). Cela complète les résultats de [6] et [9] qui concernaient les corps K = ℚ(ζ_{pd}) avec p ≠ 2, p ∤ d et pd ≢ 2[4]. Dans le dernier chapitre on donne des conditions suffisantes aux hypothèses de 3.4 et on donne deux exemples de corps K pour lesquels on construit une unité de C_{S}(K_{1}) ∩ K qui n’appartient pas à C_{S}(K), avec p = 2 ou 3. Pour construire ces exemples on reprend des idées de [7] où la descente galoisienne pour les unités circulaires avait été démentie en général. Mais dans les corps étudiés dans [7], la ramification éventuelle était modérée, tandis que dans les exemples présentés ici l’absence de descente a lieu entre deux étages d’une ℤ_{p}-extension cyclotomique. En constatant l’existence d’un tel défaut, il est naturel de se demander s’il reste borné dans la ℤ_{p}-extension. Une réponse affirmative suit des résultats de [11] qui bornent l’indice des unités circulaires dans celles de Washington, et ces dernières vérifient la descente galoisienne (voir [6]).

UNITES CIRCULAIRES ET ℤ_{p}-EXTENSIONS 3

I Définitions, premières propriétés

Dans ce chapitre on définit le module D_{n} (K), et on établit certaines des propriétés utiles de ce module. Plus précisément, on calcule son caractère (proposition 1.4) et on le compare avec le module des unités circulaires de Sinnott (proposition 1.6 et lemme 1.3).

I.1 conventions et notations.

A chaque n ∈ ℕ, n ≠ 0, on associe le corps 𝔹_{n} qui est le sous corps de ℚ(ζ_{qp^{n}}), fixé par le sous-groupe d’ordre p − 1 de Gal(ℚ(ζ_{qp^{n}})/ℚ) si p ≠ 2 (resp. par la conjugaison complexe sinon).

Si K est un corps abélien, on notera K_{n} le composé de K avec 𝔹_{n}, G_{K} le groupe Gal(K/ℚ), cond(K) le conducteur de K qui est un entier positif non congru à 2 modulo 4, E(K) le groupe des unités de K, C_{S}(K) le groupe des unités circulaires défini dans [13], et, si l est un nombre premier qui ne se ramifie pas dans K, (\frac{K}{l} ) désignera le Frobenius de l.

Si G est un groupe et si M est un ℤ[G]-module on notera χ_{M}^{G} son caractère (i.e. la trace de la représentation linéaire de G donnée par M ⊗ ℚ), et M^{G} le sous-module des G-invariants de M.

Définition 1.1. A un couple (K, n) où K est un corps abélien réel de conducteur non divisible par p et n est un entier naturel, on associe le sous-module de K_{n}^{×}, noté D_{n} (K) et engendré comme ℤ[G_{K_{n}}]-module par les entiers algébriques :

N_{ℚ(ζ_{qp^{n}m})∩K_{n}}^{ℚ(ζ_{qp^{n}m})}(1 − ζ_{qp^{n}m}), m ∈ ℕ, m | cond(K), si n ≠ 0

et par p et N_{ℚ(ζ_{m})∩K}^{ℚ(ζ_{m})}(1 − ζ_{m}), m ∈ ℕ, m | cond(K), si n = 0

Remarque 1.2. Ces entiers sont des p-unités si n ≠ 0, égaux à p ou à une cond(K)-unités si n = 0.

I.2 propriétés élémentaires.

Dans toute la suite K est un corps abélien réel, et p un nombre premier rationnel fixé qui ne se ramifie pas dans K.

Lemme 1.3. Soit n un entier positif ou nul, on a :

(1) Tout élément de D_{n} (K) est totalement positif.

(2) C_{S}(K) = {±1} × (D_{0} (K) ∩ E(K))

(3) Si n ≠ 0 alors C_{S}(K_{n}) = C_{S}(K) (D_{n} (K) ∩ E(K_{n})).

(4) Si n ≠ 0 alors N_{K}^{K_{n}}(D_{n} (K)) = p^{ℤ} × (D_{0} (K))^{1−(\frac{K}{p})}

(5) D_{n} (K) ∩ E(K_{n}) = ker N_{ℚ}^{K_{n}} ∩ D_{n} (K)

Démonstration :

(1)

Comme K_{n} est totalement réel et que chaque générateur de D_{n} (K) est une norme depuis un corps totalement imaginaire vers un sous-corps de K_{n}, (1) est vrai pour un système générateur de D_{n} (K) donc pour chaque élément de D_{n} (K).

Dans (2) et (3) l’inclusion du groupe de droite dans le groupe de gauche provient directement des définitions. On vérifie les deux inclusions réciproques.

Un élément ϵ de C_{S}(K) est une unité qui peut s’écrire:

(i)  ϵ = ± ∏_{m} ∏_{m∤a} N_{ℚ(ζ_{m})∩K}^{ℚ(ζ_{m})}(1 − ζ_{m}^{a})^{x(m,a)}

où m, a, x(m, a) sont des entiers, et où les x(m, a) sont presque tous nuls. Ici on a besoin d’utiliser les formules bien connues (voir par exemple [14]):

(∗)  N_{ℚ(ζ_{r})}^{ℚ(ζ_{m})}(1 − ζ_{m}) = (1 − ζ_{r})^{∏^{l}(1−(\frac{ℚ(ζr)}{l})^{−1})}

si r | m, r ≠ 1 et en faisant parcourir à l les premiers divisant m et ne divisant pas r et

(∗∗)  N_{ℚ}^{ℚ(ζ_{l^{m}})}(1 − ζ_{l^{m}}) = l si l est premier, m ≥ 1

Ces identités et la transitivité de la norme donnent l’existence d’éléments y_{m} de ℤ[G_{K}] et d’entiers s_{m} divisant m qui vérifient :

N_{ℚ(ζ_{m})∩K}^{ℚ(ζ_{m})}(1 − ζ_{m}) = \{ \begin{matrix}N_{ℚ(ζ_{d})∩K}^{ℚ(ζ_{d})}(1 − ζ_{d})^{y_{m}} si pgcd(m, cond(K)) = d et d ≠ 1 \\ s_{m} si pgcd(m, cond(K)) = 1 \end{matrix}

On constate donc que (i) se réécrit:

ϵ = ± ∏_{m|cond(K)} N_{ℚ(ζ_{m})∩K}^{ℚ(ζ_{m})}(1 − ζ_{m})^{x_{m}} s

où s est un nombre rationnel de valuation nulle en tout premier divisant cond(K), et où les x_{m} sont des éléments de ℤ[G_{K}]. De plus si L est un idéal premier de K ne divisant pas cond(K), et si v_{L} désigne sa valuation sur K, on a (voir remarque 1.2):

0 = v_{L}(ϵ) − v_{L} ( ∏_{m|cond(K)} N_{ℚ(ζ_{m})∩K}^{ℚ(ζ_{m})}(1 − ζ_{m})^{x_{m}} ) = v_{L}(s)

ce qui donne s ∈ {±1} puis :

±ϵ = ∏_{m|cond(K)} N_{ℚ(ζ_{m})∩K}^{ℚ(ζ_{m})}(1 − ζ_{m})^{x_{m}} ∈ D_{0} (K) ∩ E(K)

On peut aussi remarquer que le générateur p n’intervient pas ici.

(3)

En tenant compte de la remarque 2.2, les arguments précédents s’appliquent mutatis mutandis à l’inclusion réciproque de (3).

(4) se voit rapidement sur un système de générateurs des deux ℤ[G_{K}]-modules en utilisant (∗) et (∗∗).

(5)

L’inclusion du groupe de gauche dans celui de droite se déduit directement de (1) et l’inclusion réciproque vient de l’identité:

v(ϵ^{#G_{Kn}}) = v(N_{ℚ}^{K_{n}}(ϵ))

qui est vraie pour tout ϵ de D_{n} (K) et toute valuation non archimédienne de v de K_{n}. En effet si m est un entier naturel divisible par au moins deux premier distincts, 1 − ζ_{m} est une unité. Si par contre m = l^{n} avec l premier, n ≥ 1 si l ≠ 2 et n > 1 sinon ; 1 − ζ_{m} est alors un générateur de l’unique idéal premier de ℚ(ζ_{m}) divisant l ( ce dernier étant totalement ramifié dans ℚ(ζ_{m}) ). Dans tous les cas, et pour tout g ∈ G_{K_{n}}, N_{ℚ(ζ_{m})∩K}^{ℚ(ζ_{m})}(1 − ζ_{m})^{g} vérifie notre identité. □

On peut maintenant calculer le caractère de la représentation linéaire de G_{K_{n}} donnée par D_{n} (K)⊗ ℚ.

Proposition 1.4.

(1) Soient n un entier naturel, n ≠ 0, et K_{dec} = K^{⟨(\frac{K}{p})⟩} le corps de décomposition de p dans K on a:

χ_{D_{n}(K)}^{G_{Kn}} = χ_{ℤ[G_{Kn}]}^{G_{Kn}} − χ_{ℤ[G_{K_{dec}} ]}^{G_{Kn}} + χ_{ℤ}^{G_{Kn}}

(2) Toujours pour n ≠ 0 on a :

χ_{N_{K}^{Kn} (D_{n}(K))}^{G_{Kn}} = χ_{ℤ[G_{K}]}^{G_{Kn}} − χ_{ℤ[G_{Kdec}]}^{G_{Kn}} + χ_{ℤ}^{G_{Kn}}

(3) Soit P(K) l’ensemble des diviseurs premiers de cond(K) on a:

χ_{D_{0}(K)}^{G_{K}} = χ_{ℤ[G_{K}]}^{G_{K}} + #P(K)χ_{ℤ}^{G_{K}}

Corollaire 1.5. Soient f = [K : K_{dec}] et g = [K_{dec} : ℚ]. Si n ≠ 0 on a:

dim_{ℚ}(D_{n} (K) ⊗_{ℤ} ℚ) = χ_{D_{n}(K)}^{G_{Kn}}(1) = gfp^{n} − g + 1,
dim_{ℚ}(N_{K}^{K_{n}}(D_{n} (K)) ⊗_{ℤ} ℚ) = χ_{N_{K}^{Kn} (D_{n}(K))}^{G_{Kn}}(1) = gf − g + 1

En outre on a:

dim_{ℚ}(D_{0} (K) ⊗_{ℤ} ℚ) = gf + #P(K)

Démonstration de 1.4 (1) : Le théorème de Dirichlet donne pour tout sous-corps F de K_{n}:

(ii)  χ_{E(F)}^{G_{Kn}} = χ_{ℤ[G_{F}]}^{G_{Kn}} − χ_{ℤ}^{G_{Kn}}

Donc 1.4 (1) est une conséquence de l’exactitude des suites suivantes:

1 w(ker N_{K}^{K_{n}} ∩ E(K_{n})) ⊗ ℚ  wD_{n} (K) ⊗ ℚ  w N_{K}^{K_{n}} (p^{ℤ} × (ker N_{K_{dec}}^{K} ∩ E(K))) ⊗ ℚ  w1

1 w(ker N_{K}^{K_{n}} ∩ E(K_{n})) ⊗ ℚ  wE(K_{n}) ⊗ ℚ  w N_{K}^{K_{n}} E(K) ⊗ ℚ  w1
1 w(ker N_{K_{dec}}^{K} ∩ E(K)) ⊗ ℚ  wE(K) ⊗ ℚ  w N_{K_{dec}}^{K} E(K_{dec}) ⊗ ℚ  w1

L’exactitude des deux dernières suites est immédiate. Pour la première on utilise l’identité bien connue (voir [13]):

(∗ ∗ ∗)  Pour tout corps abélien F : C_{S}(F) ⊗ ℚ = E(F) ⊗ ℚ

On en déduit :

(ker N_{K}^{K_{n}} ∩ E(K_{n})) ⊗ ℚ = (ker N_{K}^{K_{n}} ∩ C_{S}(K_{n})) ⊗ ℚ d’après (∗ ∗ ∗)
= (ker N_{K}^{K_{n}} ∩ (C_{S}(K)(D_{n} (K) ∩ E(K_{n})))) ⊗ ℚ d’après 1.3 (3)
= (ker N_{K}^{K_{n}} ∩ E(K_{n}) ∩ D_{n} (K)) ⊗ ℚ
car ∀x ∈ C_{S}(K) on a N_{K}^{K_{n}}(x) = x^{p^{n}}
= (ker N_{K}^{K_{n}} ∩ D_{n} (K)) ⊗ ℚ d’après 1.3 (5)

Ce qui donne l’exactitude à gauche de D_{n} (K). D’autre part on a :

N_{K}^{K_{n}}(D_{n} (K)) ⊗ ℚ = (p^{ℤ} × (D_{0} (K))^{1−(\frac{K}{p})}) ⊗ ℚ d’après 1.2 (4)

= (p^{ℤ} × (ker N_{K_{dec}}^{K} ∩ D_{0} (K))) ⊗ ℚ car H^{1}(⟨(\frac{K}{p} )⟩, D_{0} (K)) est fini

= (p^{ℤ} × (ker N_{K_{dec}}^{K} ∩ C_{S}(K))) ⊗ ℚ d’après 1.3 (2) et (5)

= (p^{ℤ} × (ker N_{K_{dec}}^{K} ∩ E(K))) ⊗ ℚ d’après (∗ ∗ ∗)

Ce qui donne l’exactitude à droite de D_{n} (K) et conclut cette preuve. □ Démonstration de 1.4 (2) : C’est une conséquence évidente de (1) □ Démonstration de 1.4 (3) : 1.3 (5), (∗∗) et (∗ ∗ ∗) donnent la suite:

1  wE(K) ⊗ ℚ  wD_{0} (K) ⊗ ℚ  w N_{ℚ}^{K} (p^{ℤ} × ∏_{l∈P(K)} l^{ℤ}) ⊗ ℚ  w1

ce qui avec (ii) démontre 1.4 (3). □

Proposition 1.6. Les identités (∗) et (∗∗) donnent, pour chaque couple d’entiers strictement positifs m et n les inclusions :

N_{K_{n}}^{K_{m+n}}(D_{m+n} (K) ∩ E(K_{m+n})) ⊂ D_{n} (K) ∩ E(K_{n})

On désigne la limite projective relativement aux applications normiques des modules :

(D_{n} (K) ∩ E(K_{n})) ⊗ ℤ_{p} (resp. C_{S}(K_{n}) ⊗ ℤ_{p}) par lim_{⟵} ((D_{n} (K) ∩ E(K_{n})) ⊗ ℤ_{p})
(resp. lim_{⟵} (C_{S}(K_{n}) ⊗ ℤ_{p})) On a :

lim_{⟵} ((D_{n} (K) ∩ E(K_{n})) ⊗ ℤ_{p}) = lim_{⟵} (C_{S}(K_{n}) ⊗ ℤ_{p})

Démonstration : Le lemme 1.3 (3) et l’exactitude à gauche de lim_{⟵} donnent l’inclusion ⊂. Pour

vérifier l’inclusion réciproque on utilise quelques notations supplémentaires. On note E^{1}(K_{n}) les éléments de E(K_{n}) congrus à 1 modulo tout premier divisant p. Pour tout premier 𝔏 de K_{n} on note U_{𝔏}^{1} les unités principales du localisé de K_{n} en 𝔏. Soit ℘_{i}, 1 ≤ i ≤ g les premiers de K qui divisent p et pour tout n soit 𝔓_{i,n} le premier de K_{n} qui divise ℘_{i}. On utilise ici la conjecture de Léopoldt (démontrée dans [3] pour les corps abéliens) et on identifie E(K_{n})⊗ℤ_{p} = E^{1}(K_{n})⊗ℤ_{p} avec un sous-ℤ_{p}[Gal(K_{n}/K_{dec})]-module du produit ∏_{i} U_{𝔓_{i,n}}^{1}. Soit maintenant (ϵ_{n})_{n} une suite cohérente en norme avec ϵ_{n} ∈ C_{S}(K_{n}) ⊗ ℤ_{p}, alors le lemme 1.3 (3) donne l’existence pour tout n ∈ ℕ d’un x_{n} ∈ C_{S}(K) ⊗ ℤ_{p} et d’un x′_{n} ∈ (D_{n} (K) ∩ E(K_{n})) ⊗ ℤ_{p} vérifiant : ϵ_{n} = x_{n}x′_{n}. Ici la théorie du corps de classe locale donne pour tout n : N_{K_{dec}}^{K_{n}}(ϵ_{n}) = 1 ⊗ 1. Il suit :

1 ⊗ 1 = N_{K_{dec}}^{K_{n}}(ϵ_{n}) = N_{K_{dec}}^{K_{n}}(x_{n}x′_{n}) = N_{K_{dec}}^{K}(x_{n}^{p^{n}}) d’après 1.3 (4)

Ainsi pour chaque n ∈ ℕ, comme U_{𝔓_{i},n}^{1} ne contient pas de racines q^{ieme} de l’unité, on a N_{K_{dec}}^{K}(x_{n}) ∈

\{±1 ⊗ 1\}. En outre C_{S}(K)^{1−(\frac{K}{p})} est d’indice fini dans ker N_{K_{dec}}^{K} ∩ C_{S}(K), donc le lemme 1.3 (2) assure l’existence d’un entier m, indépendant de n, tel que :

x_{n}^{p^{m}} ∈ D_{0} (K)^{1−(\frac{K}{p})} ⊗ ℤ_{p}

Pour un n dorénavant fixé on a ici :

ϵ_{n} = N_{K_{n}}^{K_{m+n}}(x_{m+n}x′_{m+n}) = x_{m+n}^{p^{m}}N_{K_{n}}^{K_{m+n}}(x′_{m+n}) ∈ (D_{n} (K) ∩ E(K_{n})) ⊗ ℤ_{p}

En effet l’inclusion D_{0} (K)^{1−(\frac{K}{p})} ⊂ D_{n} (K) a déjà été prouvée en 1.3 (4) tandis que D_{0} (K)^{1−(\frac{K}{p})} ⊂ E(K) est une conséquence de 1.3 (5). □

II Une présentation galoisienne de D_{n} (K)

II.1 notations, énoncé du résultat principal.

A partir d’ici, on désigne par P = P(K) l’ensemble des nombres premiers divisant cond(K) Pour l ∈ P on notera l^{e_{l}} l’exacte puissance de l qui divise cond(K).

Pour deux entiers naturels, m ≥ n, on désigne par G_{n}^{m} le groupe Gal(𝔹_{m}/𝔹_{n}). C’est un groupe cyclique d’ordre p^{m−n}. On notera N_{n}^{m} ∈ ℤ[G_{n}^{m}] l’élément : N_{n}^{m} = ∑_{g∈G_{n}^{m}} g.

Si G est un groupe abélien, on notera Ĝ l’ensemble de ses caractères ℂ-irréductibles, que l’on identifie avec le groupe des homomorphismes de G dans ℂ^{×}. Si n ∈ ℕ et si L est un sous-corps de K_{n} on identifiera Ĝ_{L} avec le sous-groupe de Ĝ_{K_{n}} constitué des χ ∈ Ĝ_{K_{n}} dont le noyau contient Gal(K_{n}/L). Si χ ∈ Ĝ, on notera e_{χ} = \frac{1}{#G} ∑_{g∈G} χ(g^{−1})g, l’idempotent de ℂ[G] associé à χ. Dans toute la suite on notera additivement la multiplication dans ℂ^{×}.

Définition 2.1 (et notation). A un couple (J, n) où J ⊂ P et n ∈ ℕ, on associe les objets :

(1)  d_{J} = ∏_{l∈J} l^{e_{l}}; ξ_{n} (J) = ζ_{qp^{n}d_{J}} si n ≠ 0; ξ_{0} (J) = ζ_{d_{J}}

(2)  \{ \begin{matrix}K_{n} (J) & =^{def.} K_{n} ∩ ℚ(ξ_{n} (J)) = (K ∩ ℚ(ξ_{0} (J)))_{n} \\ K(J) & =^{def.} K_{0} (J) \\ G(J) & =^{def.} G_{K(J)} \\ K_{dec}(J) & =^{def.} K_{dec} ∩ K(J) = (K(J))_{dec} \end{matrix}

(3)  \{ \begin{matrix}ϵ_{0} (∅) & = p \\ ϵ_{n} (J) & = N_{K_{n}(J)}^{ℚ(ξ_{n}(J))}(1 − ξ_{n} (J)) si n ≠ 0 ou J ≠ ∅ \end{matrix}

Remarque 2.2. Il est bien connu que pour I et J contenus dans P et tout n ∈ ℕ on a :

ℚ(ξ_{n} (J)) ∩ ℚ(ξ_{n} (I)) = ℚ(ξ_{n} (I ∩ J))

Il suit directement :

K_{n} (J) ∩ K_{n} (I) = K_{n} (I ∩ J) et K_{dec}(J) ∩ K_{dec}(I) = K_{dec}(I ∩ J)

Remarque 2.3. On voit immédiatement que ϵ_{n} (J) ∈ D_{n} (K(J)) + ℚ^{×}. On montrera plus tard que {ϵ_{n} (J) ; I ⊂ J} est un système ℤ[G_{K_{n}}]-générateur de D_{n} (K(J)) si n ≠ 0 ou de

D_{0} (K(J)) ⊕ ⨁_{{l∈J \atop l∤cond(K(J))}} ℤ l sinon .

On utilisera dans la suite de cet article une relation d’ordre (non stricte) sur les sous-ensemble de P, notée ≺ et vérifiant les propriétés suivantes :

(i) ≺ est totale (i.e. : ∀I ⊂ P ∀J ⊂ P on a I ≺ J ou J ≺ I).

(ii) ≺ prolonge l’inclusion (i.e. : I ⊂ J ⟹ I ≺ J).

Remarque 2.4. L’existence de telles relations d’ordre est facile à vérifier. Par exemple l’ordre induit par l’ordre archimédien sur les d_{I} ou encore l’ordre lexicographique sur les sous ensembles de P conviennent.

Jusqu’à la fin de ce chapitre, tous les homomorphismes utilisés seront des homomorphismes de ℤ[G_{K_{n}}]-modules et on identifie ce dernier anneau avec ℤ[G_{K}] ⊗_{ℤ} ℤ[G_{0}^{n}]. Si M est un module et F une partie non vide de M, on notera ⟨F ⟩_{M} ou ⟨F ⟩, s’il n’y a pas d’ambiguïté possible, le sous-module de M engendré par les éléments de F. On définit maintenant les objets nécessaires à l’énoncé du résultat principal de ce chapitre.

Définition 2.5. Soient J ⊂ P et n ∈ ℕ

(1) Soit l ∈ J, on notera N_{l}^{J} ∈ ℤ[G(J)] l’élément :

N_{l}^{J} = ∑_{g∈Gal(K(J)/K(J−{l}))} g

(2) Soit (w_{n} (I))_{I⊂P} un ensemble de symboles en bijection avec les sous-ensembles de P, on forme la somme :

L_{n} (J) = ⨁_{{I⊂P \atop I≺J}}(ℤ[G (I)] ⊗ ℤ[G_{0}^{n}])w_{n} (I)

et pour J′ ≺ J on considère L_{n} (J′) comme un sous-ℤ[G_{K}]⊗ℤ[G_{0}^{n}]-module (facteur direct) de L_{n} (J)

(3) Soit l ∈ J on définit R_{n} (J, l) ∈ L_{n} (J) par :

R_{n} (J, l) = \{ \begin{matrix}0 si n = 0 et J = \{l\} \\ (N_{l}^{J} ⊗ 1)w_{n} (J) − w_{n} (J − \{l\}) + ((\frac{K(J − \{l\})}{l})^{−1} ⊗ (\frac{𝔹_{n}}{l} )^{−1}) w_{n} (J − \{l\}) \\ sinon \end{matrix}

(4) On définit v_{n} (J) ∈ ℤ[G (J)] ⊗ ℤ[G_{0}^{n}] par :

v_{0} (J) = 0; v_{n} (∅) = 0; v_{n} (J) = N_{K_{dec}(J)}^{K(J)} ⊗ N_{0}^{n} si n ≠ 0 et J ≠ ∅

(5) On désignera par H_{n} (J) le sous-ℤ[G_{K}] ⊗ ℤ[G_{0}^{n}]-module de L_{n} (J) engendré par :

H_{n} (J) = ⟨{R_{n} (I, l) : I ⊂ P, I ≺ J, l ∈ I}⟩

(6) On désignera par V_{n} (J) le sous-ℤ[G_{K}] ⊗ ℤ[G_{0}^{n}]-module de L_{n} (J) engendré par :

V_{n} (J) = ⟨{v_{n} (I) w_{n} (I) : I ⊂ P, I ≺ J}⟩

Le résultat principal de ce chapitre est :

Théorème 2.6. Soit J ⊂ P, soit n ∈ ℕ et soit α_{n} (J) : L_{n} (J) ⟶ D_{n} (K) défini par ℤ[G_{K}] ⊗ ℤ[G_{0}^{n}]-linéarité avec ∀I ≺ J w_{n} (I) ⟼ ϵ_{n} (I) . Pour tout I ⊂ P, l’action de G_{K} sur ϵ_{n} (I) se factorise par G(I). Donc α_{n} (J) est clairement bien défini, et on a :

D_{n} (K(J)) ⊂ Im α_{n} (J) , (H_{n} (J) + V_{n} (J)) ⊂ ker α_{n} (J) , de plus il existe un entier non nul z_{J} tel que :

z_{J} ker α_{n} (J) ⊂ (H_{n} (J) + V_{n} (J))

La démonstration occupe le reste de ce chapitre. On conclut cette section avec quelques conventions supplémentaires.

Définition 2.7. Soit J ⊂ P

(1) On notera g_{J} l’entier : g_{J} = [K_{dec}(J) : ℚ]

(2) On notera f_{J} l’entier : f_{J} = [K(J) : K_{dec}(J)]

(3) Si n ≠ 0 on notera f_{n}(J) l’entier : f_{n}(J) = g_{J}f_{J}p^{n} − g_{J}

(4) On appellera idéal normique associé à J, et on notera N(J), le sous-module de ℤ[G(J)] engendré par tous les N_{l}^{J}, en faisant parcourir J à l.

(5) On désignera par X_{n} (J) le module quotient :

X_{n} (J) = \frac{⟨\{ϵ_{n} (J)\}⟩_{K_{n}^{×}}}{⟨\{ϵ_{n} (I) : I ⊂ P, I ≺ J, I ≠ J\}⟩_{K_{n}^{×}} ∩ ⟨\{ϵ_{n} (J)\}⟩_{K_{n}^{×}}}

(6) Si I ⊂ J ⊂ P on désignera par X_{n} (I, J) le module quotient :

X_{n} (I, J) = \frac{⟨\{ϵ_{n} (I)\}⟩_{K_{n}^{×}}}{⟨\{ϵ_{n} (L) : L ⊂ J, L ≺ I, L ≠ I\}⟩_{K_{n}^{×}} ∩ ⟨\{ϵ_{n} (I)\}⟩_{K_{n}^{×}}}

(7) Si A est un anneau intègre de corps de fraction Fr (A) et si M est un A-module on abrègera dim_{Fr (A)} M ⊗ Fr (A) en rang_{A} M

A partir d’ici et jusqu’à la fin de la preuve de 2.6 on fixe un n ∈ ℕ.

II.2 préparation.

Lemme 2.8. Soit J ⊂ P

(1) Si n ≠ 0 alors {ϵ_{n} (I) : I ⊂ J} est un système générateur de D_{n} (K(J))

(2) {ϵ_{0} (I) : I ⊂ J} est un système générateur de :

D_{0} (K(J)) ⊕ ⨁_{{l∈J \atop l∤cond(K(J))}} ℤ l

Démonstration : Pour I ⊂ J, on voit facilement que ϵ_{n} (I) ∈ D_{n} (K(J)), dès que K_{n}(I) ≠ ℚ. On a aussi l ∈ D_{0} (K(J)) dès que l | cond(K(J)). Cela donne une inclusion. On vérifie l’inclusion réciproque de (1). Soit m | cond(K(J)), il suffit de voir que :

N_{ℚ(ζ_{qp^{n}m})∩K_{n}(J)}^{ℚ(ζ_{qp^{n}m})}(1 − ζ_{qp^{n}m}) ∈ ⟨{ϵ_{n} (I) : I ⊂ J}⟩

Soit I l’ensemble des diviseurs premiers de m, on a clairement I ⊂ J et ℚ(ζ_{qp^{n}m}) ⊂ ℚ(ξ_{n} (I)). Ici (∗) et (∗∗) donnent :

N_{ℚ(ζ_{qp^{n}m})∩K_{n}(J)}^{ℚ(ζ_{qp^{n}m})}(1 − ζ_{qp^{n}m}) = N_{ℚ(ζ_{qp^{n}m})∩K_{n}(J)}^{ℚ(ξ_{n}(I))}(1 − ξ_{n} (I)) = N_{ℚ(ζ_{qp^{n}m})∩K_{n}(J)}^{K_{n}(I)}(ϵ_{n} (I))
∈ ⟨{ϵ_{n} (I) : I ⊂ J}⟩

Ce qui prouve (1). Un raisonnement semblable donne (2). □

10 JEAN-ROBERT BELLIARD

Lemme 2.9. Soient I et J deux sous-ensembles de P, on a :

(1) (H_{n} (J) + V_{n} (J)) ⊂ ker α_{n} (J).

(2) Si n ≠ 0 ou I ∩ J ≠ ∅ alors N_{K_{n}(I)}^{K_{n}}(ϵ_{n} (J)) ∈ ⟨{ϵ_{n} (I ∩ J)}⟩. Si de plus I ⊂ J, alors on a N_{K_{n}(I)}^{K_{n}(J)}(ϵ_{n} (J)) ∈ ⟨{ϵ_{n} (I)}⟩.

(3) Si I ∩ J = ∅ alors N_{K(I)}^{K}(ϵ_{0} (J)) ∈ ⟨J⟩. Démonstration : C’est une conséquence immédiate des formules (∗) et (∗∗), de la transitivité de la norme, et de la remarque 2.2. □ Lemme 2.10. Soient I et J deux sous-ensembles de P, avec I ⊂ J, on a

rang_{ℤ}(X_{n} (I, J)) = rang_{ℤ}(X_{n} (I)) Démonstration : Comme on a :

(⟨{ϵ_{n} (I′) : I′ ⊂ J, I′ ≺ I, I′ ≠ I}⟩) ⊂ (⟨{ϵ_{n} (I′) : I′ ⊂ P, I′ ≺ I, I′ ≠ I}⟩)

l’inégalité rang_{ℤ}(X_{n} (I, J)) ≥ rang_{ℤ}(X_{n} (I)) est évidente. Réciproquement, on a :

(⟨{ϵ_{n} (I′) : I′ ⊂ P, I′ ≺ I, I′ ≠ I}⟩ ∩ ⟨{ϵ_{n} (I)}⟩) ⊗ ℂ
= [K_{n} : K_{n} (I)](⟨{ϵ_{n} (I′) : I′ ⊂ P, I′ ≺ I, I′ ≠ I}⟩ ∩ ⟨{ϵ_{n} (I)}⟩) ⊗ ℂ
= N_{K_{n}(I)}^{K_{n}}(⟨{ϵ_{n} (I′) : I′ ⊂ P, I′ ≺ I, I′ ≠ I}⟩ ∩ ⟨{ϵ_{n} (I)}⟩) ⊗ ℂ
⊂ (⟨{ϵ_{n} (I′) : I′ ⊂ I, I′ ≠ I}⟩ ∩ ⟨{ϵ_{n} (I)}⟩) ⊗ ℂ d’après le lemme 2.9 (2)
⊂ (⟨{ϵ_{n} (I′) : I′ ⊂ J, I′ ≺ I, I′ ≠ I}⟩ ∩ ⟨{ϵ_{n} (I)}⟩) ⊗ ℂ car I ⊂ J et ≺ prolonge ⊂ .

□ II.3 Les idéaux normiques. Proposition 2.11. Soit J ⊂ P tel que J ≠ ∅. On a :

(1) rang_{ℤ} N(J) = ∑_{{I⊂J \atop I≠J}}(−1)^{#J−#I+1}g_{I}f_{I}

(2) Si n ≠ 0 alors :

∀J ⊂ P : rang_{ℤ} (\frac{ℤ[G (J)] ⊗ ℤ[G_{0}^{n}]}{(N(J) ⊗ ℤ[G_{0}^{n}]) + ⟨\{v_{n} (J)\}⟩}) = ∑_{I⊂J}(−1)^{#J−#I}f_{n}(I)

Démonstration de (1) : On a :

rang_{ℤ} N(J) = #{χ ∈ Ĝ(J) : ∃l ∈ J avec e_{χ}N_{l}^{J} ≠ 0}

= #{χ ∈ Ĝ(J) : ∃l ∈ J avec Gal(K(J)/K(J − {l})) ⊂ ker χ}

= # ⋃_{l∈J} Ĝ(J − {l})

= ∑_{{L⊂J \atop L≠∅}}(−1)^{#L+1}#Ĝ(J − L)

UNITES CIRCULAIRES ET ℤ_{p}-EXTENSIONS 11

En utilisant la remarque 2.2 et le principe d’inclusion-exclusion. En posant I = J − L on en déduit :

rang_{ℤ} N(J) = ∑_{{I⊂J \atop I≠J}}(−1)^{#J−#I+1}g_{I}f_{I} comme attendu. □

Démonstration de (2) : On a naturellement :

rang ((N(J) ⊗ ℤ[G_{0}^{n}]) + ⟨{v_{n} (J)}⟩) = rang(N(J) ⊗ ℤ[G_{0}^{n}]) + rang⟨{v_{n} (J)}⟩
− rang ((N(J) ⊗ ℤ[G_{0}^{n}]) ∩ ⟨{v_{n} (J)}⟩)

Or on a :

rang ((N(J) ⊗ ℤ[G_{0}^{n}]) ∩ ⟨{v_{n} (J)}⟩)
= rang (⟨{N_{K_{dec}(J)}^{K(J)}N_{l}^{J} ⊗ N_{0}^{n} : l ∈ J}⟩) car (v_{n} (J))^{2} = p^{n}[K(J) : K_{dec}(J)]v_{n} (J)
=#{χ ∈ Ĝ(J) : ∃l ∈ J avec Gal(K(J)/K_{dec}(J − {l})) ⊂ ker χ}
=# ⋃_{l∈J} Ĝ_{K_{dec}(J−{l})}
= ∑_{{I⊂J \atop I≠J}}(−1)^{#J−#I+1}g_{I} en utilisant à nouveau le principe d’inclusion-exclusion et 2.2

Et comme rang⟨{v_{n} (J)}⟩ = g_{J}, cette dernière identité et (1) montrent (2). □ II.4 Suites exactes récursives. Proposition 2.12. Soit J ⊂ P, si n ≠ 0 alors on a :

(1)  rang (⟨\{ϵ_{n} (I) : I ⊂ J, I ≠ J\}⟩) = \{ \begin{matrix}0 si J = ∅ \\ 1 + ∑_{{I⊂J \atop I≠J}}(−1)^{#J−#I+1}f_{n}(I) sinon \end{matrix}

(2)  rang(X_{n} (J)) = \{ \begin{matrix}p^{n} si J = ∅ \\ ∑_{I⊂J}(−1)^{#J−#I}f_{n}(I) sinon \end{matrix}

Proposition 2.13. Soit J ⊂ P, on a :

(1)  rang (⟨\{ϵ_{0} (I) : I ⊂ J, I ≠ J\}⟩) = #J + ∑_{{I⊂J \atop I≠J}}(−1)^{#J−#I+1}g_{I}f_{I} si #J ≥ 2

(2)  rang(X_{0} (J)) = ∑_{I⊂J}(−1)^{#J−#I}g_{I}f_{I} si #J ≥ 2

(3)  pour #J⟨2 : rang(p^{ℤ}) = 1 et rang(X_{0} (J)) = g_{J}f_{J} = 1 + ∑_{I⊂J}(−1)^{#J−#I}g_{I}f_{I}

Démonstration de 2.12 : Le lemme 2.8 donne un isomorphisme :

X_{n} (J, J) ≅ \frac{D_{n} (K(J))}{⟨\{ϵ_{n} (I) : I ⊂ J, I ≠ J\}⟩}

et avec le lemme 2.10 et le corollaire 1.5 qui se traduit ici par : rang D_{n} (K(J)) = 1 + f_{n}(J), on en déduit l’équivalence entre (1) et (2). On vérifie (1) par récurrence sur #J. Si J = ∅ alors (1) est évident. On suppose (1) (et donc (2)) vrai pour tout J ⊂ P tel que #J ≤ s et soit J_{0} ⊂ P de cardinal s + 1. On note l l’élément de J_{0} tel que {l} soit le plus petit élément des sous-ensembles de J_{0} relativement à ≺. D’après la définition de X_{n} (I, J) on peut associer à chaque sous-ensemble I non-vide de J_{0} (ou encore à chaque générateur de D_{n} (K(J_{0})) hormis ϵ_{n} (∅)) la suite exacte S_{n}(I) suivante :

1 w ⟨{ϵ_{n} (L) : L ⊂ J_{0}, L ≺ I, L ≠ I}⟩ w ⟨{ϵ_{n} (L) : L ⊂ J_{0}, L ≺ I}⟩ w X_{n} (I, J_{0}) w 1

On peut remarquer que S_{n}({l}) se lit :

1 w ⟨{ϵ_{n} (∅)}⟩ w ⟨{ϵ_{n} ({l}) , ϵ_{n} (∅)}⟩ w X_{n} ({l}, J_{0}) w 1

Les suites ci-dessus nous donnent les identités (vraies pour tout I strictement supérieur à {l} et strictement contenu dans J_{0}):

rang (⟨{ϵ_{n} (L) : L ⊂ J_{0}, L ≺ I}⟩) = rang (⟨{ϵ_{n} (L) : L ⊂ J_{0}, L ≺ I, L ≠ I}⟩)
+ rang (X_{n} (I, J_{0}))

Donc le lemme 2.10 nous donne les identités:

rang (⟨{ϵ_{n} (L) : L ⊂ J_{0}, L ≺ I}⟩) = rang (⟨{ϵ_{n} (L) : L ⊂ J_{0}, L ≺ I, L ≠ I}⟩) + rang (X_{n} (I))

En regroupant toutes ces égalités on obtient:

rang(⟨\{ϵ_{n} (I) : I ⊂ J_{0}, I ≠ J_{0}\}⟩) = rang (⟨ϵ_{n} (\{l\})⟩) + ∑_{{I⊂J_{0}, I≠∅ \atop I≠J_{0}, I≠\{l\}}} rang (X_{n} (I))

= p^{n} + rang X_{n} (\{l\}) + ∑_{{I⊂J_{0}, I≠∅ \atop I≠J_{0}, I≠\{l\}}} rang (X_{n} (I))

= p^{n} + ∑_{{I⊂J_{0} \atop I≠J_{0}, I≠∅}} rang(X_{n} (I))

= 1 + f_{n}(∅) + ∑_{{I⊂J_{0} \atop I≠J_{0}, I≠∅}} ∑_{L⊂I}(−1)^{#I−#L}f_{n}(L) par récurrence

= 1 + ∑_{{I⊂J_{0} \atop I≠J_{0}}} ∑_{L⊂I}(−1)^{#I−#L}f_{n}(L)

= 1 + ∑_{{I⊂J_{0} \atop I≠J_{0}}}(−1)^{#J_{0}−#I+1}f_{n}(I)

La dernière égalité s’obtient avec le lemme 2.14 ci-dessous, et prouve (1) pour J = J_{0} . □

Lemme 2.14. Soit s ∈ ℕ et soit ℝ^{ℙ({1,...,s})}, l’ensemble des applications de ℙ({1, ..., s}) dans ℝ. On définit une application ϕ ↦ T_{ϕ} de ℝ^{ℙ({1,...,s})} dans lui-même par :

T_{ϕ}(J) = ∑_{{I⊂J \atop I≠J}} ∑_{L⊂I}(−1)^{#I−#L}ϕ(L). Alors on a : T_{ϕ}(J) = ∑_{{I⊂J \atop I≠J}}(−1)^{#J−#I+1}ϕ(I)

Démonstration de 2.14 : c’est évident. Démonstration de 2.13 : (3) est immédiat. Pour (1) et (2), avec les modifications mineures expliquées ci-dessous la preuve est semblable à celle de 2.12 en faisant jouer le rôle de f_{n}(I) à g_{I}f_{I}. Ici il faut néanmoins commencer la récurrence à partir de #J_{0} ≥ 2, et remarquer que :

• S_{0}(J_{0}) se lit :

1 w⟨\{ϵ_{0} (I) : I ⊂ J_{0}, I ≠ J_{0}\}⟩  wD_{0} (K(J_{0})) ⊕ ⨁_{{l∈J_{0} \atop l∤cond(K(J_{0}))}} ℤ l  wX_{0} (J_{0}, J_{0})  w1

• Le rang du terme du milieu vaut g_{J_{0}}f_{J_{0}} + #J_{0}.

• La quantité #J_{0} est compensée par le terme ∑_{l∈J_{0}} 1, qui apparaît lorsqu’on somme les rangs des X_{0} ({l}) pour l ∈ J_{0}.

□

II.5 Preuve du théorème 2.6.

Les deux inclusions sont des conséquences des lemmes 2.8 et 2.9. Il ne reste plus qu’à trouver des z_{J} convenables. On utilise ≺ pour faire une récurrence sur les sous-ensembles de P. Si J = ∅ alors 2.6 suit directement de H_{n} (∅) = V_{n} (∅) = {0} qui se traduit par :

\frac{L_{n} (∅)}{H_{n} (∅) + V_{n} (∅)} = ℤ[G_{0}^{n}]w_{n} (∅) ≃ ⟨\{ϵ_{n} (∅)\}⟩_{K_{n}^{×}}

Soit I ⊂ P, avec I ≠ ∅. On suppose que 2.6 est vrai pour J = I′, le précédent immédiat de I. On note M (resp. β_{n} (I)) le module (resp. l’homomorphisme) suivant :

M = \{ \begin{matrix}ℤ[G(I)] si n = 0 et #I = 1 \\ \frac{ℤ[G (I)] ⊗ ℤ[G_{0}^{n}]}{N(I) ⊗ ℤ[G_{0}^{n}] + ⟨\{v_{n} (I)\}⟩} & sinon \end{matrix} resp. \begin{matrix}β_{n} (I) : M ⟶ & X_{n} (I) \\ x ⟼ & xϵ_{n} (I) \end{matrix}

β_{n} (I) est bien défini d’après 2.10 (2) et parce que v_{n} (I) ϵ_{n} (I) = 0 en vertu de (∗) et (∗∗). De plus β_{n} (I) est clairement surjectif. En comparant les rang calculés en 2.11, 2.12 et 2.13, on constate que le noyau de β_{n} (I) est fini. On note M_{1} (resp M_{2}) le module ⟨{ϵ_{n} (I′′) : I′′ ⊂ P, I′′ ≺ I′}⟩ (resp. ⟨{ϵ_{n} (I′′) : I′′ ⊂ P, I′′ ≺ I}⟩) et on considère le diagramme suivant :

\frac{L_{n} (I′)}{H_{n} (I′) + V_{n} (I′)}  w u_{ᾱ_{n} (I′)} \frac{L_{n} (I)}{H_{n} (I) + V_{n} (I)}  w^{π̄_{n} (I)} u_{ᾱ_{n} (I)} Mu β_{n} (I) w 1

1 w M_{1} w M_{2} w X_{n} (I) w 1

Les homomorphismes de la deuxième ligne sont évidemment bien définis et la suite est clairement exacte. Les applications verticales sont bien définies en factorisant les α_{n}. Soit π_{n} (I) : L_{n} (I) ⟼ ℤ[G (I)]⊗ℤ[G_{0}^{n}], la projection naturelle (de noyau L_{n} (I′)) qui envoie H_{n} (I)+V_{n} (I) surjectivement dans N(I) ⊗ ℤ[G_{0}^{n}] + v_{n} (I) si n ≠ 0 ou #I ≥ 2 (resp. dans {0} si n = 0 et #I = 1). En passant aux quotients on obtient la première ligne (exacte), et le diagramme commute clairement. Le lemme du serpent donne la suite :

\frac{ker α_{n} (I′)}{H_{n} (I′) + V_{n} (I′)}  w \frac{ker α_{n} (I)}{H_{n} (I) + V_{n} (I)}  w ker β_{n} (I) w 1

dont le premier terme est fini par récurrence. Comme ker β_{n} (I) est aussi fini il en est de même pour le second, ce qui montre 2.6 pour J = I. □

III ℤ[G_{0}^{n}]-structure de D_{n} (K)

Dans ce chapitre on conserve les notations et conventions du chapitre II, mais les modules sont ici des ℤ[G_{0}^{n}]-modules et les homomorphismes des homomorphismes de ℤ[G_{0}^{n}]-modules. (On “oublie” l’action de G_{K}) On travaille avec les hypothèses suivantes :

Hypothèse A :  ∀J ⊂ P : \frac{ℤ[G(J)]}{N(J)} est sans ℤ-torsion

Hypothèse B :  ∀J ⊂ P : \frac{ℤ[G(J)]}{N(J)} est sans p-torsion

Remarque 3.1. L’hypothèse A (resp. l’hypothèse B) entraîne trivialement que \frac{ℤ[G(J)]}{N(J)} ⊗ ℤ[G_{0}^{n}]

(resp. \frac{ℤ[G(J)]}{N(J)} ⊗ ℤ_{p}[G_{0}^{n}] ) est ℤ[G_{0}^{n}]-libre (resp. ℤ_{p}[G_{0}^{n}]-libre) pour tout J.

Remarque 3.2. Avant d’étudier H.A. ou H.B., on donne l’exemple d’un couple (K, p) qui ne vérifie pas la seconde hypothèse. Si on pose K = ℚ(\sqrt{5 . 17}, \sqrt{5 . 13}) et p = 2, alors on a le

Lemme 3.3.

\frac{ℤ[G(P)]}{N(P)} ≅ \frac{ℤ}{2ℤ}

Démonstration : Chaque générateur de N(P) est d’augmentation paire donc 1 ∉ P. Par contre on a : 2 = N_{5}^{P} + N_{17}^{P} + N_{13}^{P} − N_{5}^{P}N_{13}^{P} ∈ N(P) et pour tout g ∈ G_{K} on a aussi 1 + g ∈ N(P). □

Dans la suite de ce chapitre on établit la conséquence suivante des hypothèses A et B :

Théorème 3.4.

(1) Si (K, p) vérifie H.B., on a :

∀n ∈ ℕ − \{0\} : D_{n} (K) ⊗ ℤ_{p} ≅ (ℤ_{p}[G_{0}^{n}])^{r} ⨁ (\frac{ℤ_{p}[G_{0}^{n}]}{⟨N_{0}^{n}⟩})^{t}

(2) Si de plus K vérifie H.A. on a :

∀n ∈ ℕ − \{0\} : D_{n} (K) ≅ (ℤ[G_{0}^{n}])^{r} ⨁ (\frac{ℤ[G_{0}^{n}]}{⟨N_{0}^{n}⟩})^{t}

avec r = g_{P}f_{P} − g_{P} + 1 et t = g_{P} − 1

La preuve occupe le reste de ce chapitre. Dans toute la suite L_{n}, H_{n}, α_{n} etc. signifieront L_{n} (P) , H_{n} (P) , α_{n} (P) ... En outre D_{n} signifiera D_{n} (K). On fixe un n ∈ ℕ non nul. On suppose dans la suite de ce chapitre que (K, p) vérifie H.B. On pose R = ℤ si K vérifie H.A. et R = ℤ_{p} sinon. La preuve repose essentiellement sur la R[G_{0}^{n}]-liberté de \frac{L_{n}}{H_{n}} ⊗ R. Pour obtenir cette liberté on construit une application surjective d’un module libre dans \frac{L_{n}}{H_{n}} ⊗ R en section 3.1. On vérifie (en comparant les rangs) que cette application est injective en section 3.2, et la conclusion suivra en section 3.3.

III.1 retour sur \frac{L_{n}}{H_{n}}.

Proposition 3.5. Pour tout J ⊂ P il existe une surjection de R[G_{0}^{n}]-modules :

ψ_{n}(J) : ⨁_{{I⊂P \atop I≺J}} \frac{ℤ[G(I)]}{N(I)} ⊗ R[G_{0}^{n}] ⟶ \frac{L_{n} (J)}{H_{n} (J)} ⊗ R (= \frac{L_{n} (J)}{H_{n} (J)} si K vérifie H.A.)

Démonstration : On utilise à nouveau ≺ pour faire une récurrence sur J.

Pour J = ∅ on définit ψ_{n}(∅) par R[G_{0}^{n}]-linéarité avec 1 ↦ w_{n} (∅).

Soit I ⊂ P et soit I′ son précédent immédiat. On suppose l’existence d’une application ψ_{n}(I′) qui satisfaisait 3.5 pour J = I′. On considère le diagramme suivant :

0 w ⨁_{I′′⊂P,I′′≺I′} \frac{ℤ[G(I′′)]}{N(I′′)} ⊗ R[G_{0}^{n}] w u ψ̄_{n}(I′)  _{5 5 5 5 55 6} ψ ⨁_{I′′⊂P,I′′≺I} \frac{ℤ[G(I′′)]}{N(I′′)} ⊗ R[G_{0}^{n}]  w u ψ_{n}(I)  \frac{ℤ[G(I)]}{N(I)} ⊗ R[G_{0}^{n}] u β̄  w \ \ \ \ \ \ \ ^β̃  0

0  w\frac{L_{n} (I′)}{L_{n} (I′) ∩ H_{n} (I)} ⊗ R  w\frac{L_{n} (I)}{H_{n} (I)} ⊗ R  w\frac{L_{n} (I)}{H_{n} (I) + L_{n} (I′)} ⊗ R w0

Les lignes sont évidemment exactes (celle du dessus est même scindée). ψ̄_{n}(I′) est la composée

de ψ_{n}(I′) avec la surjection \frac{L_{n}(I′)}{H_{n}(I′)} ⊗ R ⟶ \frac{L_{n}(I′)}{L_{n}(I′)∩H_{n}(I)} ⊗ R, donc est surjective. β̄ provient

par passage au quotient de la surjection β : ℤ[G(I)] ⊗ R[G_{0}^{n}] ⟶ \frac{L_{n}(I)}{L_{n}(I′)} ⊗ R (en remarquant que

β(N(I)⊗R[G_{0}^{n}]) ⊂ (H_{n} (I)+L_{n} (I′))⊗R) et β̄ est donc surjectif. La R[G_{0}^{n}]-liberté de \frac{ℤ[G(I)]}{N(I)} ⊗R[G_{0}^{n}] (provenant de H.A. ou H.B.) garantit l’existence d’un β̃ relevant β̄. En posant ψ_{n}(I) = ψ ⊕ β̃ (ψ provenant de ψ̄_{n}(I′)) on obtient un diagramme commutatif aux lignes exactes. Les surjectivités de ψ̄_{n}(I′) et de β̄ entraînent (via le lemme du serpent) celle de ψ_{n}(I). Cela montre 3.5 pour J = I. □

Proposition 3.6. ψ_{n} est un isomorphisme. En particulier :

\frac{L_{n}}{H_{n}} ⊗ R est R[G_{0}^{n}]-libre

Démonstration : Il reste à voir que ψ_{n} est injective, et pour ce, que son noyau est de R-torsion. Maintenant 3.6 est une simple conséquence de la proposition 3.7 qui fait l’objet de la section suivante. □

III.2 Un autre calcul de rang.

Proposition 3.7. On a :

rang_{R} (H_{n} ⊗ R) = rang_{R} (⨁_{I⊂P} N(I) ⊗ R[G_{0}^{n}]) = rang_{R} (L_{n} ⊗ R) − g_{P}f_{P}p^{n}

Et comme rang_{R} (L_{n} ⊗ R) = rang_{R} (⊕ℤ[G(I)] ⊗ R[G_{0}^{n}]) = ∑_{I⊂P} g_{I}f_{I}p^{n} le rang du noyau de ψ_{n} est nul.

Démonstration : On calcule indépendamment les rangs de H_{n} ⊗ R et de ⨁_{I⊂P} N(I) ⊗ R[G_{0}^{n}] dans les lemmes qui suivent. □

Lemme 3.8.

rang_{R} ⨁_{I⊂P} N(I) ⊗ R[G_{0}^{n}] = rang_{R} L_{n} ⊗ R − g_{P}f_{P}p^{n}

Démonstration : On a :

rang_{R}(⨁_{I⊂P} N(I) ⊗ R[G_{0}^{n}]) = ∑_{I⊂P} ∑_{{J⊂I \atop J≠I}}(−1)^{#I−#J+1}g_{J}f_{J}p^{n} d’après 2.11 (1)

= − ∑_{{I⊂P \atop I≠P}} ∑_{J⊂I}(−1)^{#I−#J}g_{J}f_{J}p^{n} + ∑_{{I⊂P \atop I≠P}} g_{I}f_{I}p^{n} − ∑_{{J⊂P \atop J≠P}}(−1)^{#P−#J}g_{J}f_{J}p^{n}

= ∑_{{I⊂P \atop I≠P}} g_{I}f_{I}p^{n} d’après 2.14

= rang_{R}(L_{n} ⊗ R) − g_{P}f_{P}p^{n} comme annoncé

□ Le rang de H_{n} est un petit peu plus difficile à calculer. On utilise le :

Lemme 3.9.

rang(V_{n}) = ∑_{I⊂P,I≠∅} g_{I}, rang(N_{0}^{n}H_{n}) = ∑_{I⊂P,I≠P} g_{I}f_{I}

Démonstration : La première identité est facile, pour la seconde on considère l’homomorphisme surjectif δ : L_{n} ⟶ L_{0} défini par ℤ[G_{0}^{n}]-linéarité avec

∀I ∀g ∈ G(I) : g ⊗ 1 w_{n} (I) ↦ g w_{0} (I)

Il est clair que la restriction de δ réalise un isomorphisme entre N_{0}^{n}L_{n} et p^{n}L_{0}. De plus pour tout J ⊂ P de cardinal au moins 2 et tout l ∈ J on a δ(N_{0}^{n}R_{n} (J, l)) = p^{n}R_{0} (J, l), tandis que pour J = {l} on a δ(N_{0}^{n}R_{n} (J, l)) = p^{n}N_{l}^{{l}}w_{0} ({l}). Ainsi on obtient l’isomorphisme suivant :

N_{0}^{n}H_{n} ≅^{δ} p^{n}H_{0} + ⨁_{l∈P} p^{n}ℤN_{l}^{{l}}w_{0} ({l})

De plus, comme H_{0} ⊂ ker α_{0} et α_{0}(N_{l}^{{l}}w_{0} ({l})) = l, on a (δ(N_{0}^{n}H_{n}) ∩ ker α_{0}) = p^{n}H_{0}. Donc la suite suivante est exacte :

0  wp^{n}H_{0}  wδ(N_{0}^{n}H_{n})  w α_{0}  ⨁_{l∈P} p^{n}ℤl  w0

Et cette suite donne :

rang(N_{0}^{n}H_{n}) = rang(p^{n}H_{0}) + #P = rang(L_{0}) − rang D_{0} + #P
= rang(L_{0}) − g_{P}f_{P} − #P + #P d’après le corollaire 1.5
= ∑_{{I⊂P \atop I≠P}} g_{I}f_{I} comme annoncé

□

Lemme 3.10.

rang(H_{n}) = rang(L_{n}) − g_{P}f_{P}p^{n}

Démonstration : En utilisant les résultats précédents la preuve se résume au calcul suivant :

rang(H_{n}) = rang(H_{n} + V_{n}) − rang(V_{n}) + rang(H_{n} ∩ V_{n})
= rang(L_{n}) − rang(D_{n}) − rang(V_{n}) + rang(H_{n} ∩ V_{n}) d’après le théorème 2.6
= rang(L_{n}) − rang(D_{n}) − rang(N_{0}^{n}V_{n}) + rang(N_{0}^{n}H_{n} ∩ N_{0}^{n}V_{n})
car N_{0}^{n} agit comme p^{n} sur V_{n}
= rang(L_{n}) − rang(D_{n}) + rang(N_{0}^{n}H_{n}) − rang(N_{0}^{n}H_{n} + N_{0}^{n}V_{n})

En constatant que rang (N_{0}^{n}L_{n} ∩ ker α_{n}) = rang (N_{0}^{n} ker α_{n}), ce qui provient de l’inclusion du module p^{n} (N_{0}^{n}L_{n} ∩ ker α_{n}) dans le module N_{0}^{n} ker α_{n} on en déduit que:

rang(H_{n}) = rang(L_{n}) − rang(D_{n}) + rang(N_{0}^{n}H_{n}) − rang(N_{0}^{n}L_{n} ∩ ker α_{n})
= rang(L_{n}) − rang(N_{0}^{n}L_{n}) + rang(N_{0}^{n}H_{n}) − rang(D_{n}) + rang (N_{0}^{n}α_{n}(L_{n}))

Pour conclure il suffit ici d’utilser les identités suivantes : rang (N_{0}^{n}L_{n}) = ∑_{I⊂P} g_{I}f_{I} (évident), rang (N_{0}^{n}H_{n}) = ∑_{I⊂P, I≠P} g_{I}f_{I} (lemme 3.9), rang (D_{n}) = g_{P}f_{P}p^{n} − g_{P} + 1 (corollaire 1.5), et rang (N_{0}^{n} (α_{n} (L_{n}))) = rang (N_{0}^{n}D_{n}) = g_{P}f_{P} − g_{P} + 1 (corollaire 1.5). Cela nous donne :

rang(H_{n}) = rang(L_{n}) − g_{P}f_{P} − g_{P}f_{P}p^{n} + g_{P} − 1 + g_{P}f_{P} − g_{P} + 1
= rang(L_{n}) − g_{P}f_{P}p^{n} comme annoncé. □

Avec la liberté de \frac{L_{n}}{H_{n}}, l’essentiel de la preuve du théorème 3.4 est achevé. Par exemple lorsque g_{P} = 1 (i.e. p est inerte dans K), il est facile de voir que V_{n} ⊂ H_{n}, et, dans ce cas notre preuve est terminée. La section qui suit traite aussi les autres cas.

III.3 Preuve du théorème 3.4.

A partir d’ici κ_{n} : \frac{L_{n}}{H_{n}} ⊗ R ⟶ D_{n} ⊗ R désignera l’homomorphisme qui factorise α_{n} ⊗ 𝕀d.

Lemme 3.11. ker κ_{n} ⊂ (\frac{L_{n}}{H_{n}} ⊗ R)^{G_{0}^{n}} = N_{0}^{n} \frac{L_{n}}{H_{n}} ⊗ R Lemme 3.12. Soit M un R[G_{0}^{n}]-module libre, et soit {x_{1}, x_{2}, ..., x_{s}} une R-base de N_{0}^{n}M. Il existe une R[G_{0}^{n}]-base de M, disons {x̃_{1}, x̃_{2}, ..., x̃_{s}} qui vérifie :

∀i : N_{0}^{n}x̃_{i} = x_{i}

On admet momentanément les deux lemmes et on prouve 3.4. Comme D_{n} est sans ℤ-torsion (lemme 1.3 (1)), avec le lemme 3.11 on constate que :

\frac{N_{0}^{n} \frac{L_{n}}{H_{n}} ⊗ R}{ker κ_{n}} ↪^{κ_{n}} D_{n} ⊗ R et qu’on a donc la R-liberté de \frac{N_{0}^{n} \frac{L_{n}}{H_{n}} ⊗ R}{ker κ_{n}} et de ker κ_{n}

Il existe donc une R-base de N_{0}^{n} \frac{L_{n}}{H_{n}} ⊗ R qui contient une R-base de ker κ_{n}. En appliquant le lemme 3.12 à M = \frac{L_{n}}{H_{n}} ⊗ R et à cette base, on obtient, en passant aux quotients, un isomorphisme entre D_{n} et un module de la forme voulue. Il reste à calculer les entiers r et t du théorème 3.4. Or on a :

t = rang_{R}(ker κ_{n}) = rang_{R} (\frac{V_{n}}{V_{n} ∩ H_{n}} ) = g_{P} − 1 d’après la preuve de 3.10

Et en utilisant l’identité : p^{n}r + (p^{n} − 1)t = p^{n}g_{P}f_{P} − g_{P} + 1, on conclut que r est bien égal à g_{P}f_{P} − g_{P} + 1. □ Démonstration de 3.11 : La dernière identité est un corollaire de la liberté de \frac{L_{n}}{H_{n}} ⊗ R. pour l’inclusion soit x ∈ ker κ_{n} alors d’après le théorème 2.6 il existe un entier z non nul tel qu’on ait :

z x ∈ (\frac{V_{n}}{V_{n} ∩ H_{n}} ⊗ R) ⊂ (\frac{L_{n}}{H_{n}} ⊗ R)^{G_{0}^{n}} par définition de V_{n}

Soit g ∈ G_{0}^{n}, alors on a : z(x − gx) = 0 et comme \frac{L_{n}}{H_{n}} ⊗ R est sans R-torsion, on a bien x = gx.

Démonstration de 3.12 : Soit {y_{1}, y_{2}, ..., y_{s}} une R[G_{0}^{n}]-base de M, alors {N_{0}^{n}y_{1}, N_{0}^{n}y_{2}, ..., N_{0}^{n}y_{s}} est une R-base de N_{0}^{n}M. Il existe donc une matrice A = (a_{i,j}) dans Gl_{s}(R) telle que (en notant b_{i,j} les coefficients de A^{−1}) :

∀i : ∑_{j=1}^{j=s} a_{i,j}N_{0}^{n}y_{j} = x_{i}; ∀j : ∑_{i=1}^{i=s} b_{i,j}x_{i} = N_{0}^{n}y_{j}

On pose x̃_{i} = ∑_{j=1}^{j=s} a_{i,j}y_{j}. Alors les x̃_{i} vérifient clairement N_{0}^{n}x̃_{i} = x_{i}. Et quel que soit j, on a : y_{j} = (∑_{i=1}^{i=s} b_{i,j}x̃_{i}) ∈ (∑ Rx̃_{i}). Il suit donc :

M = ∑_{i} R[G_{0}^{n}]x̃_{i} = ⨁_{i} R[G_{0}^{n}]x_{i}

□

III.4 Applications cohomologiques.

Dans cette section on calcule sous l’hypothèse B les deux groupes de cohomologie modifiés à la Tate, associés à l’action de G_{n}^{m} sur C_{S}(K_{m}) (pour m > n ≥ 0). On les notera Ĥ^{0}(G_{n}^{m}, −) et Ĥ^{1}(G_{n}^{m}, −). Une conséquence directe de 3.4 (1) est :

Corollaire 3.13. Si (K, p) vérifie H.B, alors pour tout m ≥ n ≥ 0 :

Ĥ^{0}(G_{n}^{m}, D_{m} (K)) = \{0\} et Ĥ^{1}(G_{n}^{m}, D_{m} (K)) ≃ (\frac{ℤ}{p^{m−n} ℤ})^{g_{P} −1}

On peut en déduire les deux propositions suivantes :

Proposition 3.14. Si (K, p) vérifie H.B. alors on a pour tout m ≥ n ≥ 0 :

C_{S}(K_{m}) ∩ K_{n} = C_{S}(K_{n})

Proposition 3.15. (D_{0} (K))^{(^{\frac{K}{p}})−1} est contenu dans C_{S}(K) d’après 1.3 (5). Soit F le sous-ℤ-

module de torsion de _{\frac{C_{S}(K)}{(D_{0}(K))^{(\frac{K}{p})−1}}} et pour tout entier r ∈ ℤ soit F_{p^{r}} = ker\{F ⟶^{p^{r}} F \}. Si (K, p)

vérifie H.B. alors pour tout m > n ≥ 0 on a :

Ĥ^{0}(G_{n}^{m}, C_{S}(K_{m})) ≃ \frac{F}{p^{m−n}F} ⊕ (\frac{ℤ}{p^{m−n} ℤ})^{g_{P} −1} et Ĥ^{1}(G_{n}^{m}, C_{S}(K_{m})) ≃ F_{p^{m−n}} ⊕ (\frac{ℤ}{p^{m−n} ℤ})^{g_{P}}

Démonstration de 3.14 : Par la définition des deux modules, on a l’inclusion du module de droite dans le module de gauche. Réciproquement, soit x ∈ C_{S}(K_{m}) ∩ K_{n} alors d’après le lemme 1.3 (3) il existe x_{0} ∈ C_{S}(K) et x′ ∈ D_{m} (K) ∩ E(K_{m}) tels que x = x_{0}x′. Comme x et x_{0} sont fixés par G_{n}^{m}, x′ l’est aussi. Le corollaire 3.13 donne donc x′ ∈ N_{n}^{m}(D_{m} (K)) ⊂ D_{n} (K). On en déduit x′ ∈ D_{n} (K) ∩ E(K_{n}) puis x ∈ C_{S}(K_{n}) en utilisant à nouveau 1.3 (3) ou 1.3 (2). □ Démonstration de 3.15 : On calcule d’abord la cohomologie de D_{m} (K) ∩ E(K_{m}) à l’aide de la suite suivante dont l’exactitude est donnée par le lemme 1.3 (5) et par les identités N_{ℚ}^{K_{m}}(ϵ_{m} (I)) = 1 si I ≠ ∅ et N_{ℚ}^{K_{m}}(ϵ_{m} (∅)) = p^{f_{P} g_{P}} :

0  wD_{m} (K) ∩ E(K_{m})  wD_{m} (K)  w N_{ℚ}^{K_{m}} ℤ p^{f_{P} g_{P}}  w0

En utilisant la suite longue de cohomologie qui ici se simplifie en un hexagone exact (voir [12] pour les groupes de cohomologie modifiés) et le corollaire 3.13, on obtient Ĥ^{0}(G_{n}^{m}, D_{m} (K) ∩ E(K_{m})) = 0 et la suite exacte courte de ℤ/p^{m−n}ℤ-modules :

0  w\frac{ℤ}{p^{m−n}ℤ}  wĤ^{1}(G_{n}^{m}, D_{m} (K) ∩ E(K_{m}))  w(\frac{ℤ}{p^{m−n}ℤ})^{g_{P} −1}  w0

qui se scinde en Ĥ^{1}(G_{n}^{m}, D_{m} (K) ∩ E(K_{m})) ≃ (ℤ/p^{m−n}ℤ)^{g_{P}} puisque le dernier terme est libre. Cela étant, le corollaire 3.13 et le lemme 1.3 (4) donnent aussi :

C_{S}(K) ∩ D_{m} (K) ⊂ (D_{m} (K))^{G_{0}^{m}} = N_{0}^{m}(D_{m} (K)) = (D_{0} (K))^{(^{\frac{K}{p}})−1} ⊕ ℤ p

On en déduit avec le lemme 1.3 (5) :

C_{S}(K) ∩ D_{m} (K) ⊂ ((D_{0} (K))^{(^{\frac{K}{p}})−1} ⊕ ℤ p) ∩ E(K) ⊂ (D_{0} (K))^{(^{\frac{K}{p}})−1} ⊂ C_{S}(K) ∩ D_{m} (K)

d’où l’égalité C_{S}(K) ∩ D_{m} (K) = (D_{0} (K))^{(^{\frac{K}{p}})−1} et avec le lemme 1.3 (3) l’exactitude de la suite :

0  wD_{m} (K) ∩ E(K_{m})  wC_{S}(K_{m})  w\frac{C_{S}(K)}{(D_{0} (K))^{(^{\frac{K}{p}})−1}}  w0

Mais comme G_{n}^{m} agit trivialement sur C_{S}(K) on a aussi :

\frac{C_{S}(K)}{(D_{0} (K))^{(^{\frac{K}{p}})−1}} ≃ F ⊕ ℤ^{g_{P} −1}, car (D_{0} (K))^{(^{\frac{K}{p}})−1} est d’indice fini dans ker N_{K_{dec}}^{K} ∩ C_{S}(K)

Et l’hexagone exact de cohomologie donne :

\begin{matrix}0  w & Ĥ^{0}(G_{n}^{m}, C_{S}(K_{m}))  w & \frac{F}{p^{m−n}F} ⊕ (\frac{ℤ}{p^{m−n}} )^{g_{P} −1} u \\ F_{p^{m−n}} u & Ĥ^{1}(G_{n}^{m}, C_{S}(K_{m})) u & Ĥ^{1}(G_{n}^{m}, D_{m} (K) ∩ E(K_{m})) u ϕ \end{matrix}

Mais d’après 1.3 (3), pour tout générateur γ de G_{n}^{m}, on a C_{S}(K_{m})^{γ−1} = (C_{S}(K)(D_{m} (K) ∩ E(K_{m})))^{γ−1} = (D_{m} (K) ∩ E(K_{m}))^{γ−1} de telle sorte que ϕ est injective et que ce diagramme donne

Ĥ^{0}(G_{n}^{m}, C_{S}(K_{m})) ≅ \frac{F}{p^{m−n}F} ⊕ (\frac{ℤ}{p^{m−n}} )^{g_{P} −1} et la suite :

0  w(\frac{ℤ}{p^{m−n}ℤ})^{g_{P}}  wĤ^{1}(G_{n}^{m}, C_{S}(K_{m}))  wF_{p^{m−n}}  w0

Mais comme ℤ/Nℤ est injectif comme module sur lui-même la suite exacte ci-dessus est scindée et on a bien Ĥ^{1}(G_{n}^{m}, C_{S}(K_{m})) ≃ F_{p^{m−n}} ⊕ (\frac{ℤ}{p^{m−n}ℤ})^{g_{P}} . □

Pour l’étude de la cohomologie, il n’est plus nécessaire de supposer que les corps sont réels. En effet on a le :

Corollaire 3.16. Soit L un corps abélien imaginaire de sous-corps réel maximal K. Si p ≠ 2 et si (K, p) vérifie H.B, alors pour tout m > n ≥ 0 on a :

Ĥ^{0}(G_{n}^{m}, C_{S}(L_{m})) = Ĥ^{0}(G_{n}^{m}, C_{S}(K_{m})) ≃ \frac{F}{p^{m−n}F} ⊕ (\frac{ℤ}{p^{m−n} ℤ})^{g_{P} −1}

et Ĥ^{0}(G_{n}^{m}, C_{S}(L_{m})) = Ĥ^{0}(G_{n}^{m}, C_{S}(K_{m})) ≃ F_{p^{m−n}} ⊕ (\frac{ℤ}{p^{m−n} ℤ})^{g_{P}}

Démonstration : Les deux égalités viennent de la suite exacte (en notant μ(L_{m}) le groupe des racines de l’unité contenues dans L_{m}).

0  wμ(L_{m})  wC_{S}(L_{m})  w N_{K}^{L} C_{S}(K_{m})  w0

Comme p ≠ 2, μ(L_{m}) est cohomologiquement trivial. Cela donne les deux égalités. Et les deux isomorphismes sont ceux de la proposition 3.15. □

IV Quelques exemples

Dans ce chapitre, on donne des conditions suffisantes pour qu’un couple (K, p) vérifie H.B. On en déduit des conditions suffisantes pour que K vérifie H.A : ce qui revient à dire que quelque soit p, le couple (K, p) vérifie H.B. Pour la commodité de l’exposé on laisse varier le nombre premier p, mais on conserve les autres conventions du chapitre II. En deuxième section on détaillera l’exemple d’un couple (K, p) qui ne vérifie pas la conclusion locale (i.e. avec R = ℤ_{p}) de 3.4.

Si p est un nombre premier et G un groupe abélien, on notera G_{p} son (unique) p-sous-groupe de Sylow.

IV.1 les exemples positifs.

Proposition 4.1. Soit p un nombre premier, on suppose que le p-sous-groupe de Sylow de G_{K} est cyclique, alors (K, p) vérifie H.B.

Corollaire 4.2. Si G_{K} est cyclique, alors K vérifie H.A.

Démonstration de 4.2 : Cela vient de l’équivalence entre l’assertion K vérifie H.A et l’assertion pour tout p, (K, p) vérifie H.B. □ Démonstration de 4.1 : On fixe J ⊂ P. Comme G(J) est un quotient de G_{K}, son p-sous-groupe de Sylow est cyclique. On écrit G(J) = G′ × G_{p} où G_{p} est ce p-Sylow cyclique et où p ∤ #G′. Soit h un générateur de G_{p}. On note X l’ensemble des caractères ℚ_{p}-irréductibles de G′, et pour chaque élément χ de X, on note ẽ_{χ} l’idempotent de ℤ_{p}[G′] associé à χ. On a alors :

\frac{ℤ[G(J)]}{N(J)} ⊗ ℤ_{p} ≅ ⨁_{χ∈X} ẽ_{χ} \frac{ℤ[G(J)]}{N(J)} ⊗ ℤ_{p} ≅ ⨁_{χ∈X} \frac{ẽ_{χ}ℤ_{p}[G(J)]}{ẽ_{χ}N(J) ⊗ ℤ_{p}}

Soit G′_{l} le plus grand sous-groupe de Gal(K(J)/K(J − {l})) qui vérifie p ∤ #G′_{l}, alors pour chaque l ∈ J il existe un couple d’entiers s_{l} et t_{l} avec p^{s_{l}+t_{l}} = #G_{p} et tel que : N_{l}^{J} = ∑_{g∈G′_{l}} g ∑_{i=1}^{i=p^{t_{l}}} h^{is_{l}}. Et on a de plus :

ẽ_{χ}N_{l}^{J} = \{ \begin{matrix}0 si ∃ g ∈ G′_{l} tel que χ(g) ≠ χ(1) \\ #G′_{l} ẽ_{χ} ∑_{i=1}^{i=p^{t_{l}}} h^{is_{l}} sinon \end{matrix}

Soit s le maximum des s_{l} et t le minimum des t_{l}, alors comme p ∤ #G′ on a :

ẽ_{χ}N(J) ⊗ ℤ_{p} = ẽ_{χ} (∑_{i=1}^{i=p^{t}} h^{is}) ℤ_{p}[G(J)]

Si on note A_{χ} l’anneau A_{χ} = ẽ_{χ}ℤ_{p}[G′] on a donc :

\frac{ẽ_{χ}ℤ_{p}[G(J)]}{ẽ_{χ}N(J) ⊗ ℤ_{p}} ≅ \frac{A_{χ}[G_{p}]}{(∑_{i=1}^{i=p^{t}} h^{it}) A_{χ}[G_{p}]}

et comme pour tout χ ce dernier quotient est sans ℤ_{p}-torsion, cela conclut notre preuve. □

Proposition 4.3. Soit p un nombre premier. Pour chaque sous-ensemble J de P et chaque élément l de J, on note G_{l,p}^{J} le p-sous-groupe de Sylow du sous-groupe d’inertie en l de G(J). On suppose que G_{K,p} est le produit direct des sous-groupes : G_{K,p} = ∏_{l∈P} G_{l,p}^{P}. Alors pour tout J ⊂ P, G(J)_{p} est le produit direct : G(J)_{p} = ∏_{l∈J} G_{l,p}^{J} et (K, p) vérifie H.B.

Corollaire 4.4. Si K est un corps de genre au sens de [5], i.e. si G_{K} est le produit direct G_{K} = ∏_{l∈P} Gal(K/K(P − {l})), alors K vérifie H.A.

Corollaire 4.5. Soit p un nombre premier impair ne divisant pas le cardinal des G_{K} coinvariants du groupe des classes de K. Alors (K, p) vérifie H.B.

Démonstration de 4.3 : Par restriction on a l’isomorphisme :

G(J)_{p} ≅ \frac{∏_{l∈P} G_{l,p}^{P}}{∏_{l∉J} G_{l,p}^{P}}

Et cela donne la première affirmation avec la propriété de restriction des groupes d’inertie. Pour la deuxième, on fixe un J ⊂ P, on écrit G(J) = G′ × G_{p} comme dans la preuve de 4.1. et on reprend les notations ẽ_{χ}, A_{χ} et X de cette preuve. Ici aussi il s’agit de vérifier que pour tout χ, le quotient \frac{A_{χ}[G_{p}]}{ẽ_{χ}N(J)⊗ℤ_{p}} est sans ℤ_{p}-torsion. On considère le diagramme commutatif suivant où les flèches diagonales représentent des applications A_{χ}-multilinéaires et les autres des homomorphismes de A_{χ}-algèbres unitaires.

A_{χ}[G_{p}]  w ψ u  ⊗_{A_{χ}}_{l∈J} A_{χ}[G_{l,p}^{J}] u π

∏_{l∈J} A_{χ}[G_{l,p}^{J}] u s^{```````}˜

\frac{A_{χ}[G_{p}]}{ẽ_{χ}N(J) ⊗ ℤ_{p}} ϕ w⊗_{A_{χ}}_{l∈J} \frac{A_{χ}[G_{l,p}^{J}]}{ẽ_{χ}N_{l}^{J}A_{χ}[G_{l,p}^{J}]}

∏_{l∈J} \frac{A_{χ}[G_{l,p}^{J}]}{ẽ_{χ}N_{l}^{J}A_{χ}[G_{l,p}^{J}]}^{N N N N N N N N N N N N N N N Q} ω  ^{4 4 4 47} can

ψ est l’isomorphisme naturel donné par la première affirmation, et s est le produit des surjections naturelles. Comme can ∘ s est A_{χ}-multilinéaire, π s’obtient avec la propriété universelle du produit tensoriel. ω est l’application A_{χ}-multilinéaire définie à l’aide des homomorphismes ω_{l} : \frac{A_{χ}[G_{l}^{J}]}{ẽ_{χ}N_{l}^{J} A_{χ}[G_{l}^{J}]} ⟶ \frac{A_{χ}[G_{p}]}{ẽ_{χ}N(J)⊗ℤ_{p}} et de la multiplication dans le deuxième anneau. ϕ se définit

par factorisation avec π(ψ(ẽ_{χ}N_{l}^{J})) = 0. On peut vérifier que le diagramme commute. La propriété universelle du produit tensoriel donne donc , via ω, un homomorphisme réciproque à ϕ qui est un isomorphisme. On conclut la preuve en remarquant que chaque facteur de ⊗_{l} \frac{A_{χ}[G_{l,p}^{J}]}{ẽ_{χ}N_{l}^{J} A_{χ}[G_{l,p}^{J}]} est un

A_{χ}-module libre (de rang #G_{l,p}^{J} si ẽ_{χ}N_{l}^{J} = 0 et #G_{l,p}^{J} − 1 sinon) ce qui montre que leur produit tensoriel est sans ℤ_{p}-torsion. □ Démonstration de 4.4 : Voir la preuve de 4.2. □ Démonstration de 4.5 : Soit F_{K} le corps de genre abélien tel que K ⊂ F_{K} ⊂ ℚ(ζ_{cond(K)}) et tel que [F_{K} : K] est minimal. Alors l’extension F_{K}/K ne peut être ramifiée qu’aux places archimédiennes. F_{K}^{+}, le sous-corps réel maximal de K, est donc un sous-corps abélien sur ℚ du corps de classe de Hilbert de K. Donc p ∤ [F_{K}^{+} : K] et puisque p ≠ 2, p ne divise pas [F_{K} : K]. Cela prouve que la restriction réalise un isomorphisme entre la p-partie du groupe de Galois de F_{K} sur ℚ et celle du groupe de Galois de K sur ℚ. Les propriétés de restriction des sous-groupes d’inertie montrent que (K, p) vérifie l’hypothèse de 4.3 donc H.B. □

Proposition 4.6. Si #P(K) ≤ 2, alors K vérifie H.A.

Démonstration : Soit J ⊂ P. Si #J ≤ 1, il est clair que \frac{ℤ[G(J)]}{N(J)} est sans ℤ-torsion. On peut donc supposer que l’on a J = P = {l_{1}, l_{2}}. On note ici G_{i} = Gal(K/K({l_{i}})) (pour i = 1 ou 2). Soit x ∈ ℤ[G_{K}] dont l’image est de torsion. Il s’agit de montrer que x ∈ N(P). Par hypothèse, il existe s ∈ ℤ tel que sx ∈ N(J). Soit H = G_{1} ∩ G_{2} et on désigne par N_{H} = ∑_{h∈H} h. On a évidemment s x ∈ (ℤ[G_{K}])^{H} = N_{H}ℤ[G_{K}] et comme \frac{ℤ[G_{K}]}{N_{H}ℤ[G_{K}]} est sans torsion on a aussi x ∈ N_{H}ℤ[G_{K}]. Soit donc x′ un élément de ℤ[G_{K}] tel que x = N_{H}x′. On fixe pour i = 1 ou 2 deux systèmes de représentant dans G_{i}, disons \{g_{i,k}\}_{k=1}^{k=t_{i}} du quotient \frac{G_{i}}{H}. Par hypothèse, il existe deux éléments x_{1} et x_{2} de ℤ[G_{K}] qui vérifient :

sx = sN_{H}x′ = N_{l_{1}}^{P}x_{1} + N_{l_{2}}^{P}x_{2} = N_{H} (∑_{j=1}^{j=t_{1}} g_{1,j}x_{1} + ∑_{j=1}^{j=t_{2}} g_{2,j}x_{2})

On utilise ici l’isomorphisme :

N_{H}ℤ[G_{K}] →^{ψ} ℤ[\frac{G_{1}}{H}] ⊗ ℤ[\frac{G_{2}}{H}]
N_{H}g ↦ g_{1,i}H ⊗ g_{2,j}H avec g_{1,i}g_{2,j}H = gH

On voit alors qu’il existe deux éléments disons x̄_{1} et x̄_{2} de ℤ[\frac{G_{1}}{H}] ⊗ ℤ[\frac{G_{2}}{H}] tels que :

s ψ(N_{H}x′) = ( ∑_{g∈ \frac{G_{1}}{H}} g ⊗ 1)x̄_{1} + ( ∑_{g∈ \frac{G_{2}}{H}} 1 ⊗ g)x̄_{2}

Comme d’autre part il est clair que :

\frac{ℤ[\frac{G_{1}}{H}] ⊗ ℤ[\frac{G_{2}}{H}]}{ψ(N(J))} ≅ \frac{ℤ [\frac{G_{1}}{H} ]}{(∑_{k} g_{1,k}) ℤ [\frac{G_{1}}{H} ]} ⨂ \frac{ℤ [\frac{G_{2}}{H} ]}{(∑_{k} g_{2,k}) ℤ [\frac{G_{2}}{H} ]} est sans ℤ-torsion,

on a l’existence de deux éléments x′_{1} et x′_{2} tels que ψ(N_{H}x′) = (∑_{g} g ⊗ 1)x′_{1} + (∑_{g} 1 ⊗ g)x′_{2}. En appliquant ψ^{−1} on trouve ici :

x = N_{H}x′ = ∑_{i=1}^{i=t_{1}} g_{1,i}ψ^{−1}(x′_{1}) + ∑_{i=1}^{i=t_{2}} g_{2,i}ψ^{−1}(x′_{2}) ∈ N(P)

□

IV.2 Deux exemples négatifs.

Avec p = 2 et K = ℚ(\sqrt{5.17}, \sqrt{5.13}) (voir remarque 3.2), on obtient avec les mêmes techniques que celles qui suivent un exemple de couple (K, p) pour lequel Ĥ^{0}(G_{0}^{1}, D_{1} (K)) ≠ 0. On choisit de présenter ici un exemple plus significatif, avec p = 3, mais un peu plus difficile à décrire explicitement. Pour les problèmes survenant en 2 on pourra se rapporter à [10] où une amélioration explicite en 2 de C_{S}(K) est construite. Les calculs nécessaires à l’élaboration de cet exemple ont été réalisés à l’aide du logiciel GP PARI. Soit m = 7.181.673.3037, on va travailler dans un sous-corps de ℚ(ζ_{m}). Les premiers l_{i} ∈ {7, 181, 673, 3037} ont été choisis pour vérifier :

(1)  ∀i : l_{i} ≡ 1[3] et ∀j : i ≠ j ⟹ l_{i} est un cube modulo l_{j}

Les propriétés arithmétiques d’un corps K de conducteur m qui servent notre démarche sont les suivantes :

(a-)  G_{K} ≃ \frac{ℤ}{3ℤ} ⊕ \frac{ℤ}{3ℤ}

(b-) Chacun des quatre sous-groupes cycliques non-triviaux de G_{K} est le sous-groupe d’inertie de l’un des quatre éléments de P (ici cela revient à dire que dans chaque sous-corps cubique de K, exactement trois éléments de P sont ramifiés).

Plusieurs sous-corps bi-cubiques de ℚ(ζ_{m}) vérifient la condition (b-). A titre d’exemple, on prend pour K le corps de rupture (et de décomposition) du polynôme :

X^{9} − 3X^{8} − 6335955X^{7} + 2459856427X^{6} + 9080370048953X^{5} − 4520985235480441X^{4}
− 1924917910115362484X^{3} + 843128942882377125914X^{2}+
16946067409725768149949X − 14705849276302066316183777

Les quatre sous-corps cubiques de K (disons M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}) sont respectivement les corps de rupture des polynômes P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4} et respectivement les corps d’inertie dans K des premiers l_{1}, l_{2}, l_{3}, l_{4} suivants :

P_{1} = X^{3} − X^{2} − 123315360X + 296093881867; l_{1} = 7
P_{2} = X^{3} − X^{2} − 4769102X + 3507409816; l_{2} = 181
P_{3} = X^{3} − X^{2} − 1282626X − 442363571; l_{3} = 673
P_{4} = X^{3} − X^{2} − 284230X + 38592163; l_{4} = 3037

Enfin on a besoin de connaître le corps de décomposition de 3 dans K. Ici on a K_{dec} = M_{4}. On note {1, ψ, ψ^{2}} les éléments de G_{0}^{1} caractérisés par :

ψ = (\frac{𝔹_{1}}{7} )^{−1} = (\frac{𝔹_{1}}{673})^{−1} et ψ^{2} = (\frac{𝔹_{1}}{3037})^{−1}

Pour l ∈ P on notera J_{l} = P − {l}. En utilisant l’identité 3 = −N_{7}^{P}N_{181}^{P} + ∑_{l∈P} N_{l}^{P}, (∗), (∗∗) et le fait que 181 est décomposé dans 𝔹_{1} on constate qu’on a :

3ϵ_{1} (P) = ∑_{l∈P} N_{l}^{P}ϵ_{1} (P) − N_{7}^{P}N_{181}^{P}ϵ_{1} (P) = ∑_{l∈P} (1 − (\frac{K(J_{l})}{l})^{−1} (\frac{𝔹_{1}}{l} )^{−1}) ϵ_{1} (J_{l})

Mais ici les l ont été choisis de telle sorte que (\frac{K(J_{l})}{l}) = 1, et, notre équation se réécrit :

(†) 3ϵ_{1} (P) = (1 − ψ)ϵ_{1} (J_{7}) + (1 − ψ)ϵ_{1} (J_{673}) + (1 − ψ^{2})ϵ_{1} (J_{3037})

En utilisant les identités formelles (1 − ψ)(2 − ψ − ψ^{2}) = 3(1 − ψ), (1 − ψ^{2})(2 − ψ − ψ^{2}) = 3(1 − ψ)(1 + ψ) et (2 − ψ − ψ^{2}) = (1 − ψ)(1 − ψ^{2}) on voit qu’en multipliant (†) par 2 − ψ − ψ^{2} on obtient:

3(1 − ψ)(1 − ψ^{2})ϵ_{1} (P) = 3(1 − ψ) (ϵ_{1} (J_{7}) + ϵ_{1} (J_{673}) + (1 + ψ)ϵ_{1} (J_{3037}))

On note u = (1 − ψ^{2})ϵ_{1} (P) − (ϵ_{1} (J_{7}) + ϵ_{1} (J_{673}) + (1 + ψ)ϵ_{1} (J_{3037})). Comme D_{1} (K) est sans ℤtorsion, cette dernière identité donne (1 − ψ)u = 0 c’est-à-dire u ∈ D_{1} (K)^{G_{0}^{1}}. Notre but dans cette section est de montrer :

Proposition 4.7. u ∈ D_{1} (K)^{G_{0}^{1}} et u ∉ N_{0}^{1}D_{1} (K) de telle sorte que Ĥ^{0}(G_{0}^{1}, D_{1} (K)) ≠ 0 et que

D_{1} (K) ⊗ ℤ_{p} ≄ (ℤ_{p}[G_{0}^{1}])^{g_{P} f_{P} −g_{P} +1} ⊕ (\frac{ℤ_{p}[G_{0}^{1}]}{N_{0}^{1}})^{g_{P} +1}

Démonstration : Compte tenu de ce qui précède, il reste à voir que u ∉ N_{0}^{1}D_{1} (K). En fait, on montre quelque chose d’un peu plus fort :

Lemme 4.8. u ∉ D_{0} (K).

Remarque 4.9. Cela donne de plus que u ∈ C_{S}(K_{1})^{G_{0}^{1}} − C_{S}(K), et montre que l’hypothèse B n’est pas superflue, par exemple vis à vis de la proposition 3.14

Démonstration de 4.8 : On utilise une ℤ-base de D_{0} (K). Dans ce cas celle-ci est facile à construire. En fait les relations (∗) et (∗∗) permettent de voir, comme D_{0} (K) est sans ℤ-torsion et que tous les l ∈ P sont décomposés dans les K(J_{l}), que ϵ_{0} (P) = 1. On en déduit, en considérant les rangs sur ℤ, que D_{0} (K) coïncide avec la somme directe interne :

D_{0} (K) = ℤ 3 ⊕ ⨁_{l∈P} \frac{ℤ[G(J_{l})]}{N_{ℚ}^{K(J_{l})}} ϵ_{0} (J_{l}) ⊕ ⨁_{l∈P} ℤ l.

Pour conclure que u ∉ D_{0} (K), il suffit de calculer les coefficients dans cette base de 3u = N_{0}^{1}u. Or comme K_{dec} = K(J_{3037}) on a N_{0}^{1}ϵ_{1} (J_{3037}) = 1, et comme N_{0}^{1}ϵ_{1} (P) = 1, on en déduit :

N_{0}^{1}u = −N_{0}^{1}ϵ_{1} (J_{7}) − N_{0}^{1}ϵ_{1} (J_{673}) = − (1 − (\frac{K(J_{7})}{3})^{−1}) ϵ_{0} (J_{7}) − (1 − (\frac{K(J_{673})}{3})^{−1}) ϵ_{0} (J_{673})

Et comme 3 est inerte dans K(J_{7}) et K(J_{673}), ces coefficients ne sont pas divisibles par 3. □

Remerciements. Je tiens à exprimer ma reconnaissance envers C. Greither pour sa correspondance encourageante, X. F. Roblot pour sa précieuse connaissance du logiciel PARI et envers D. Solomon, qui m’a suggéré le problème et a eu la patience de lire la première version de ce travail.

Bibliographie.

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disponible sur ftp:megrez.math.u-bordeaux.fr, (1995) [3] A. Brumer, On the units of algebraic number fields, Mathematika 14 (1967), 121-124

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